蘇科版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 勾股定理 同步專題培優(yōu)訓(xùn)練【含答案】

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1、蘇科版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 勾股定理 同步專題培優(yōu)訓(xùn)練 一．選擇題 1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2AC，若AC＝6，則BC的長(zhǎng)為（　　） A．8 B．12 C． D． 2．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝2，則BC的長(zhǎng)為（　?。? A．3 B． C．4 D． 3．如圖，在RtABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，CD是斜邊上的高，則CD長(zhǎng)是（　　） A．5 B． C． D． 4．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，E是邊BC的中點(diǎn)，AD＝ED＝3，則BC的長(zhǎng)為（　?。? A． B． C． D． 5．如圖是

2、一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面積分別為6，10，4，6，則最大正方形E的面積是（　?。? A．94 B．26 C．22 D．16 6．如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分別是AC、BD的中點(diǎn)，AC＝12，BD＝8，則MN的長(zhǎng)是（　?。? A．4 B．4 C．2 D．2 7．如圖，在四邊形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AB＝BC＝5，BD＝7，則Rt△ADC的周長(zhǎng)為（　?。? A．5 B．7 C．9 D．12 8．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各邊為邊作

3、三個(gè)正方形，點(diǎn)G落在HI上．若AC+BC＝6，空白部分面積為13.5，則AB＝（　?。? A．2 B． C．2 D． 9．如圖，是我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的，若AC＝12，BC＝7，將四個(gè)直角三角形中邊長(zhǎng)為12的直角邊分別向外延長(zhǎng)一倍，得到如圖所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”，則這個(gè)風(fēng)車的外圍周長(zhǎng)是（　?。? A．148 B．100 C．196 D．144 10．正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，其面積記為S1，以CD為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積記為S2，…按此規(guī)律繼續(xù)下去，則s2021的值為（　?。? A．

4、（）2019 B．（）2018 C．（）2019 D．（）2018 二．填空題 11．若一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別是4cm，3cm，則第三條邊長(zhǎng)是 　 　cm． 12．如圖，小正方形邊長(zhǎng)為2，連接小正方形的三個(gè)頂點(diǎn)可得△ABC，則AC邊上的高為　 ?。? 13．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABD＝45°，BD＝13，CD＝5，則AD的長(zhǎng)度為 　 ?。? 14．如圖，四個(gè)全等的直角三角形圍成一個(gè)大正方形ABCD，中間陰影部分是一個(gè)小正方形EFGH，這樣就組成一個(gè)“趙爽弦圖”．若AB＝10，A

5、E＝8，則正方形EFGH的面積為　 ?。? 15．在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，若點(diǎn)D滿足AD＝AB，BD＝AB，點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)，則＝　 ?。? 三．解答題 16．如圖，∠BAC＝90°，BC＝28，AC＝14，BD＝13，AD＝15． （1）求AB的長(zhǎng)度； （2）作DH⊥AB，并求△ADB的面積． 17．如圖，△ABC中，AB＝BC，BE⊥AC于點(diǎn)E，AD⊥BC于點(diǎn)D，∠BAD＝45°，AD與BE交于點(diǎn)F，連接CF． （1）求證：BF＝2AE； （2）若CD＝2，求AD的長(zhǎng)． 18．在學(xué)習(xí)勾股定理時(shí)，我們學(xué)會(huì)運(yùn)用圖（

6、Ⅰ）驗(yàn)證它的正確性．圖中大正方形的面積可表示為（a+b）2，也可表示為c2+4×ab，即（a+b）2＝c2+4×ab．由此推出勾股定理a2+b2＝c2這種方法可以極簡(jiǎn)單地直觀推論或驗(yàn)證出數(shù)學(xué)規(guī)律和公式． （1）請(qǐng)你用圖（Ⅱ）的面積表達(dá)式驗(yàn)證勾股定理（其中四個(gè)全等的直角三角形圍成一個(gè)大正方形ABCD，中間的部分是一個(gè)小正方形EFGH，AE＝a，BE＝b，AB＝c）； （2）請(qǐng)你用圖（Ⅲ）提供的圖形進(jìn)行組合，用組合圖形的面積表達(dá)式驗(yàn)證：（x+y）2＝x2+2xy+y2． 參考答案 一．選擇題 1．解：∵△ABC為直角三角形，且∠C＝90°， ∴AB2＝AC2+BC2， ∵AB

7、＝2AC， ∴3AC2＝BC2＝108， 解得BC＝6， 故選：C． 2．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝2， 根據(jù)勾股定理得：BC＝＝＝． 故選：B． 3．解：在RtABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4， 由勾股定理得：AB＝＝＝5， ∵S△ABC＝×AC×BC＝×AB×CD， ∴×3×4＝×5×CD， 解得：CD＝， 故選：B． 4．解：∵AD＝ED＝3，AD⊥BC， ∴△ADE為等腰直角三角形， 根據(jù)勾股定理得：AE＝， ∵Rt△ABC中，E為BC的中點(diǎn)， ∴AE＝BC， 則BC＝2AE＝6， 故選：A． 5．

8、解：根據(jù)勾股定理的幾何意義，可得A、B的面積和為S1，C、D的面積和為S2，S1+S2＝S3， 即S3＝6+10+4+6＝26． 故選：B． 6．解：連接BM、DM， ∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中點(diǎn)，AC＝12， ∴BM＝AC＝6，DM＝AC＝6， ∴BM＝DM， 又N是BD的中點(diǎn)， ∴MN⊥BD， ∵BD＝8， ∴BN＝4， 在Rt△BMN中， MN＝＝＝2， 故選：C． 7．解：延長(zhǎng)DC到E，使CE＝AD，連接BE， ∵∠ADC＝∠ABC＝90°， ∴∠DAB+∠DCB＝360°﹣90°﹣90°＝180°， ∵∠BCE+∠DCB＝

9、180°， ∴∠BCE＝∠BAD， 在△ADB和△CEB中， ， ∴△ADB≌△CEB（SAS）， ∴∠1＝∠2，DB＝BE＝7， ∵∠1+∠3＝90°， ∴∠2+∠3＝∠DBE＝90°， ∴△DBE為等腰直角三角形， ∴DE＝＝＝7， ∵AB＝BC＝5，∠ABC＝90°， ∴AC＝＝＝5， ∴Rt△ADC的周長(zhǎng)＝AD+DC+AC ＝CE+CD+AC ＝DE+AC ＝7+5 ＝12． 故選：D． 8．解：∵四邊形ABGF是正方形， ∴∠FAB＝∠F＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠FAC+∠BAC＝∠BAC+∠ABC＝90°， ∴∠FAC＝∠AB

10、C， 在△FAM與△ABN中， ， ∴△FAM≌△ABN（AAS）， ∴S△FAM＝S△ABN， ∴S△ABC＝S四邊形FNCM， 在△ABC中，∠ACB＝90°， ∴AC2+BC2＝AB2， ∵AC+BC＝6， ∴（AC+BC）2＝AC2+BC2+2AC?BC＝36， ∴AB2+2AC?BC＝36， ∵AB2﹣2S△ABC＝13.5， ∴AB2﹣AC?BC＝13.5， ∴3AB2＝63， 解得AB＝或﹣（負(fù)值舍去）． 故選：D． 9．解：設(shè)將CA延長(zhǎng)到點(diǎn)D，連接BD， 根據(jù)題意，得CD＝12×2＝24，BC＝7， ∵∠BCD＝90°， ∴BC2+CD2＝

11、BD2，即72+242＝BD2， ∴BD＝25， ∴AD+BD＝12+25＝37， ∴這個(gè)風(fēng)車的外圍周長(zhǎng)是37×4＝148． 故選：A． 10．解：∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，以CD為斜邊作等腰直角三角形， ∴S2+S2＝S1． 觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：S1＝22＝4，S2＝S1＝2，S3＝S2＝1，S4＝S3＝，…， ∴Sn＝（）n﹣3． 當(dāng)n＝2021時(shí)，S2021＝（）2021﹣3＝（）2018， 故選：B． 二．填空題 11．解：當(dāng)長(zhǎng)為4cm的邊是直角邊時(shí)，斜邊長(zhǎng)＝＝5（cm）， 當(dāng)長(zhǎng)為4cm的邊是斜邊時(shí)，另一條直角邊＝＝（cm）， 綜上所述，第三條邊長(zhǎng)為5cm

12、或cm， 故答案為：5或． 12．解：四邊形DEFA是正方形，面積是16； △ABF，△ACD的面積相等，且都是×4×2＝4． △BCE的面積是：×2×2＝2． 則△ABC的面積是：16﹣4﹣4﹣2＝6． 在直角△ADC中根據(jù)勾股定理得到：AC＝＝2． 設(shè)AC邊上的高線長(zhǎng)是x． 則AC?x＝x＝6， 解得：x＝． 故答案為：． 13．解：如圖，過D作DM⊥BD交AB于M，過M作MN⊥AC于N， 則∠BDM＝∠MND＝∠MNA＝90°， 在△BCD中，∠C＝90°，BD＝13，CD＝5， ∴BC＝＝＝12， ∵∠ABD＝45°， ∴△BDM是等腰直角三角形，

13、 ∴MD＝BD， ∵∠MND＝∠BDM＝90°， ∴∠DMN+∠MDN＝∠MDN+∠BDC＝90°， ∴∠DMN＝∠BDC， 在△DMN與△BDC中， ， ∴△DMN≌△BDC（AAS）， ∴DN＝BC＝12，MN＝CD＝5， ∴CN＝DN+CD＝17， ∵M(jìn)N⊥AC，BC⊥AC， ∴MN∥BC， ∴△AMN∽△ABC， ∴＝， 即＝， 解得：AN＝， ∴AD＝AN+DN＝+12＝， 故答案為：． 14．解：直角三角形直角邊的較短邊為＝6， 正方形EFGH的面積＝10×10﹣8×6÷2×4＝100﹣96＝4． 故答案為：4． 15．解：延長(zhǎng)PB，在P

14、B的延長(zhǎng)線上截取BE＝AP，連接PC， ∵BD＝AB，點(diǎn)P是AD的中點(diǎn)， ∴BP⊥AD， ∴∠BPA＝90°， ∵∠ACB＝90°，∠BPA+∠PAC+∠ACB+∠CBP＝360°，∠CBP+∠EBC＝180°， ∴∠PAC+∠CBP＝180°， ∴∠EBC＝∠PAC， 在△EBC和△PAC中， ， ∴△EBC≌△PAC（SAS）， ∴EC＝PC，∠ECB＝∠PCA， ∵∠PCA+∠PCB＝90°， ∴∠ECB+∠PCB＝90°， 即∠PCE＝90°， ∵AD＝AB， 設(shè)AB＝25x，則AD＝14x，AP＝7x， ∴BE＝7x，BP＝＝＝24x， ∴PE＝BE

15、+BP＝7x+24x＝31x， ∵EC＝PC，∠PCE＝90°， ∴PC＝， ∴＝， 故答案為：． 三．解答題 16．解：（1）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝28，AC＝14， ∵BC：AC＝2：， ∴AB＝BC＝14； （2）如圖，過點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H， ∴∠DHB＝∠AHD＝90°， 設(shè)BH＝x，則AH＝14﹣x， 在Rt△BDH中，∠DHB＝90°，BH＝x，BD＝13， 由勾股定理可得，DH2＝BD2﹣BH2＝132﹣x2， 在Rt△ADH中，∠AHD＝90°，AD＝15，AH＝14﹣x， 由勾股定理可得，DH2＝AD2﹣AH2＝1

16、52﹣（14﹣x）2， ∴132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2， 解得，x＝5， ∴DH2＝132﹣x2＝169﹣25＝144， ∴DH＝12， ∴S△ABD＝＝＝84． 17．（1）證明：∵AD⊥BC，∠BAD＝45°， ∴△ABD是等腰直角三角形， ∴AD＝BD， ∵BE⊥AC，AD⊥BC， ∴∠CAD+∠ACD＝90°， ∠CBE+∠ACD＝90°， ∴∠CAD＝∠CBE， 在△ADC和△BDF中， ， ∴△ADC≌△BDF（ASA）， ∴BF＝AC， ∵AB＝BC，BE⊥AC， ∴AC＝2AE， ∴BF＝2AE； （2）解：∵△ADC≌△BD

17、F， ∴DF＝CD＝2， 在Rt△CDF中，CF＝＝＝2， ∵BE⊥AC，AE＝EC， ∴AF＝CF＝2， ∴AD＝AF+DF＝2+2． 18．解：（1）大正方形的面積為：c2，中間小正方形面積為：（b﹣a）2； 四個(gè)直角三角形面積和為：4×ab； 由圖形關(guān)系可知：大正方形面積＝小正方形面積+四直角三角形面積， 即有：c2＝（b﹣a）2+4×ab＝b2﹣2ab+a2+2ab＝a2+b2； （2）如圖示： 大正方形邊長(zhǎng)為（x+y）所以面積為：（x+y）2，它的面積也等于兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為x，y和兩個(gè)長(zhǎng)為x寬為y的矩形面積之和，即x2+2xy+y2 所以有：（x+y）2＝x2+2xy+y2成立；