蘇科版八年級數(shù)學上冊 第3章　勾股定理　單元測試題【含答案】

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1、第3章　勾股定理　 一、選擇題(每小題4分,共24分) 1.在△ABC中,∠C=90°,AB=2,則AC2+BC2+AB2的值是 (　　) A.2 B.4 C.6 D.8 2.如果一個三角形的三邊長分別為6,8,10,那么最長邊上的高為 (　　) A.2.4 B.4.8 C.6 D.8 3.下列四組數(shù)中,是勾股數(shù)的是 (　　) A.0.3,0.4,0.5 B.32,42,52 C.3,4,5 D.13,14,15 4.如圖1,在△ABC中,D為AB的中點,E在AC上,且BE⊥AC,若DE=5,AE=8,則BE的長度是 (　　) 圖1 A.6.5 B.6 C

2、.5.5 D.5 5.如圖2,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,M為BC的中點,MN⊥AC于點N,則MN等于 (　　) 圖2 A.1.5 B.2.4 C.2.5 D.3.5 6.如圖3,“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形,若小正方形的邊長為1,大正方形的邊長為5,則一個直角三角形的周長是 (　　) 圖3 A.6 B.7 C.12 D.15 二、填空題(每小題4分,共24分) 7.如圖4,在△ABC中,∠ACB=90°,以它的三邊為邊分別向外作正方形,面積分別為S1,S2,S3,已知S1=6,S2=8,則S3=　　　　.?

3、 圖4 8.如果△ABC的三邊長分別為a,b,c,且滿足關(guān)系式(a+2b-60)2+|b-18|+(c-30)2=0,那么△ABC是　　　　　三角形.? 9.將一根長12厘米的筷子置于底面圓半徑為3厘米,高為8厘米的圓柱形杯子中,則筷子露在杯子外面的長度至少為　　　　厘米.? 10.如圖5,將兩個大小、形狀完全相同的△ABC和△A'B'C'拼在一起,其中點A'與點A重合,點C'落在邊AB上,連接B'C.若∠ACB=∠AC'B'=90°,AC=BC=3,則B'C2的值為　　　　.? 圖5 11.在△ABC中,AB=25,AC=26,BC邊上的高AD=24,則△ABC的周長為　　

4、　　.? 12.如圖6,△ABC中,∠ACB=90°,BC=6,AC=8,AB=10,動點P在邊AB上運動(不與端點重合),點P關(guān)于直線AC,BC對稱的點分別為P1,P2,則在點P的運動過程中,線段P1P2的長的最小值是　　　　.? 圖6 三、解答題(共52分) 13.(8分)如圖7,在四邊形ABCD中,∠C=90°,BD平分∠ABC,AD=3,E為AB上一點,AE=4,ED=5,求CD的長. 圖7 14.(8分)如圖8,在△ABC中,AC=21,BC=13,D是AC邊上一點,BD=12,AD=16. (1)求證:BD⊥AC; (2)若E是AB邊

5、上的動點,連接DE,求線段DE的最小值. 圖8 15.(8分)如圖9所示,將長方形ABCD沿對角線BD折疊,使點C落在點C'處,BC'交AD于點E,AD=16,AB=8,求DE的長. 圖9 16.(8分)高速公路的同一側(cè)有A,B兩城鎮(zhèn),如圖10所示,它們到高速公路所在直線MN的距離分別為AA'=2 km,BB'=4 km,且A'B'=8 km,要在高速公路上A',B'之間建一個出口P,使A,B兩城鎮(zhèn)到出口P的距離之和最短,求這個最短距離. 圖10 17.(10分)若以3,4,5為邊長

6、的三角形是直角三角形,則稱3,4,5為勾股數(shù)組,記為(3,4,5),類似地,還可得到下列勾股數(shù)組:(8,6,10),(15,8,17),(24,10,26)等. (1)根據(jù)上述四組勾股數(shù)的規(guī)律,寫出第六組勾股數(shù)組; (2)用含n(n≥2,且n為整數(shù))的數(shù)學等式描述上述勾股數(shù)組的規(guī)律,并證明. 18.(10分)如圖11,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=7 cm,AC=25 cm.點P從點A出發(fā)沿射線AB方向以1 cm/s的速度運動至點B,點Q從點B出發(fā)沿射線BC方向以6 cm/s的速度運動至點C,P,Q兩點同時出發(fā). (1)求BC的長; (2)當點

7、P,Q運動2 s時,求P,Q兩點之間的距離; (3)當P,Q兩點運動幾秒時,AP=CQ? 圖11 答案 1.D　[解析] ∵∠C=90°,AB=2, ∴AC2+BC2=AB2=4. ∴AC2+BC2+AB2=4+4=8. 故選D. 2.B　[解析] 因為62+82=102,由勾股定理的逆定理可以判斷此三角形是直角三角形,利用直角三角形面積的兩種表達形式可得ab=ch(其中a,b為直角邊長,c為斜邊長,h為斜邊上的高). 3.C　[解析] 0.32+0.42=0.52,能構(gòu)成直角三角形,但不是整數(shù),所以不是勾股數(shù),故A選項不符合題意;(32)2+(4

8、2)2≠(52)2,不是勾股數(shù),故B選項不符合題意;32+42=52,是勾股數(shù),故C選項符合題意;142+152≠132,不是勾股數(shù),故本選項不符合題意.故選C. 4.B　[解析] ∵BE⊥AC,∴∠BEA=90°.∵DE=5,D為AB的中點,∴AB=2DE=10.∵AE=8,∴由勾股定理,得BE2=AB2-AE2=36,即BE=6.故選B. 5.B　[解析] 連接AM,如圖所示. ∵AB=AC,M為BC的中點, ∴AM⊥CM,BM=CM. ∵BC=6, ∴BM=CM=3. 在Rt△ABM中,AB=5,BM=3, ∴根據(jù)勾股定理,得AM2=AB2-BM2=52-32=16,

9、即AM=4. 又S△AMC=12MN·AC=12AM·CM, ∴MN=AM·CMAC=125=2.4.故選B. 6.C　[解析] 設(shè)直角三角形的兩條直角邊長分別為a和b(a>b).由題意可知中間小正方形的邊長為a-b=1,根據(jù)大正方形的面積等于4個直角三角形的面積加上小正方形的面積可知,25=4×12ab+1,所以2ab=24.根據(jù)勾股定理,得a2+b2=52,所以(a+b)2=a2+b2+2ab=25+24=49.因為a+b>0,所以a+b=7,7+5=12,所以一個直角三角形的周長是12.故選C. 7.14　[解析] ∵∠ACB=90°,S1=6,S2=8, ∴AC2=6,BC2

10、=8. ∴AB2=AC2+BC2=6+8=14. ∴S3=14. 故答案為14. 8.直角　[解析] ∵(a+2b-60)2+|b-18|+(c-30)2=0, ∴a+2b-60=0,b-18=0,c-30=0. ∴a=24,b=18,c=30. ∵242+182=302, ∴△ABC是直角三角形. 故答案為直角. 9. 2　[解析] 如圖所示,筷子在杯子內(nèi)的部分、杯子的高、杯子的底面圓直徑正好構(gòu)成直角三角形. ∵62+82=100=102, ∴筷子在圓柱形杯子內(nèi)的最大長度為10 cm. ∴筷子露在杯子外面的長度至少為12-10=2(cm). 故答案為2.

11、10.27　[解析] ∵∠ACB=∠AC'B'=90°,AC=BC=3,∴AB2=18,∠CAB=45°. ∵△ABC和△A'B'C'大小、形狀完全相同, ∴∠C'AB'=∠CAB=45°,AB'2=AB2=18. ∴∠CAB'=90°. ∴B'C2=AC2+AB'2=9+18=27. 11.68或54　[解析] (1)如圖①,若∠B是銳角,此時高AD在三角形的內(nèi)部.在Rt△ABD中,BD2=AB2-AD2=49,即BD=7. 在Rt△ACD中,CD2=AC2-AD2=100, ∴CD=10,∴BC=7+10=17,此時△ABC的周長=AB+AC+BC=68; (2)如圖②

12、,∠B是鈍角,在Rt△ABD中,BD=7,在Rt△ACD中,CD=10,∴BC=10-7=3,此時△ABC的周長=AB+AC+BC=54. 綜上,△ABC的周長為68或54. 12.9.6　[解析] 如圖,連接CP.由題意,可得點P1,C,P2在同一直線上. ∵點P關(guān)于直線AC,BC對稱的點分別為P1,P2,∴P1C=PC=P2C, ∴線段P1P2的長等于2CP. 當CP⊥AB時,CP的長最小,此時線段P1P2的長最小. ∵∠ACB=90°,BC=6,AC=8,AB=10, ∴CP=AC·BCAB=4.8, ∴線段P1P2的長的最小值是9.6. 13.解:∵AD=3,

13、AE=4,ED=5, ∴AD2+AE2=ED2. ∴∠A=90°.∴AD⊥AB. ∵∠C=90°,∴CD⊥BC. ∵BD平分∠ABC,∴CD=AD. ∵AD=3,∴CD=3. 14.解:(1)證明:∵AC=21,AD=16, ∴CD=AC-AD=5. ∵BD2+CD2=122+52=169=BC2, ∴∠BDC=90°, ∴BD⊥AC. (2)當DE⊥AB時,DE最短. 在Rt△ABD中,∵AB2=AD2+BD2, ∴AB=20. ∵12AD·DB=12AB·DE, ∴DE=16×1220=9.6, ∴線段DE的最小值為9.6. 15.[解析] 先根據(jù)折疊的性

14、質(zhì)得出CD=C'D,∠C=∠C'=90°,再設(shè)DE=x,則AE=16-x,由全等三角形的判定定理得出Rt△ABE≌Rt△C'DE,可得出BE=DE=x,在Rt△ABE中利用勾股定理即可求出x的值,進而得出DE的長. 解:在長方形ABCD中,CD=AB=8. 由折疊的性質(zhì),得CD=C'D=8,∠C=∠C'=90°.　 設(shè)DE=x,則AE=16-x. 在△ABE和△C'DE中, ∠AEB=∠C'ED,∠A=∠C'=90°,AB=C'D, ∴△ABE≌△C'DE. ∴BE=DE=x. 在Rt△ABE中,由勾股定理,得 AB2+AE2=BE2,即82+(16-x)2=x2, 解得x

15、=10,即DE=10. 16.解:如圖所示,作點A關(guān)于直線MN的對稱點C,連接CB交直線MN于點P,則點P即為出口的位置,此時A,B兩城鎮(zhèn)到出口P的距離之和最短,最短距離為AC的長.過點B作BD⊥CA交CA的延長線于點D. ∵AA'=2 km,BB'=4 km,A'B'=8 km, ∴A'C=AA'=2 km,A'D=BB'=4 km, 則CD=6 km. 在Rt△CDB中,CB2=62+82=100, ∴CB=10(km). 故這個最短距離為10 km. 17.解:(1)第六組勾股數(shù)為(48,14,50). (2)勾股數(shù)組為(n2-1,2n,n2+1)(n≥2,且n為整

16、數(shù)). 證明如下: ∵(n2-1)2+(2n)2=n4+2n2+1, (n2+1)2=n4+2n2+1, ∴(n2-1)2+(2n)2=(n2+1)2, ∴n2-1,2n,n2+1是勾股數(shù)組(n≥2,且n為整數(shù)). 18.解:(1)∵在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=7 cm,AC=25 cm, ∴BC2=AC2-AB2=252-72=242. ∴BC=24(cm). (2)連接PQ. 由題意知BP=7-1×2=5(cm),BQ=6×2=12(cm). 在Rt△BPQ中,由勾股定理,得PQ2=BP2+BQ2=52+122=132, ∴PQ=13(cm). (3)設(shè)P,Q兩點運動t s時,AP=CQ,則t=24-6t,解得t=247. 答:當P,Q兩點運動247 s時,AP=CQ.