《高三數學二輪復習 第一篇 專題通關攻略 專題七 概率統(tǒng)計 17_3 概率、隨機變量及其分布列課件 理 新人教版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高三數學二輪復習 第一篇 專題通關攻略 專題七 概率統(tǒng)計 17_3 概率、隨機變量及其分布列課件 理 新人教版（118頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。
1、第三講 概率、隨機變量及其分布列,【知識回顧】 1.互斥事件、對立事件的概率公式 (1)P(AB)=_.(2)P(A)=_. 2.古典概型的概率公式 P(A)= =_.,P(A)+P(B),1-P(B),3.幾何概型的概率公式 P(A)= 4.條件概率 P(B|A)=_.,5.相互獨立事件同時發(fā)生的概率 P(AB)=_.,P(A)P(B),6.獨立重復試驗與二項分布 如果事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是p，那么它在n次 獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率為 Pn(k)=_，k=0，1，2，n.用X表示事 件A在n次獨立重復試驗中發(fā)生的次數，則x服從二項分 布，即XB(n，p)且P(X=k)= pk
2、(1-p)n-k.,7.超幾何分布 在含有M件次品的N件產品中，任取n件，其中恰有X件 次品，則P(X=k)= k=0，1，2，m，其中 m=minM，n，且nN，MN，n，M，NN*.此時稱隨 機變量X服從超幾何分布.超幾何分布的模型是不放回 抽樣，超幾何分布中的參數是M，N，n.,8.離散型隨機變量的均值、方差 (1)離散型隨機變量的分布列為,離散型隨機變量的分布列具有兩個性質： pi0； p1+p2+pi+pn=1(i=1，2，3，n).,(2)E()=_為隨機變量的 數學期望或均值. D()=_ _叫做隨機變量的 方差.,x1p1+x2p2+xipi+xnpn,(x1-E()2p1+(
3、x2-E()2p2+(xi-,E()2pi+(xn-E()2pn,性質：E(a+b)=aE()+b，D(a+b)=a2D()； XB(n，p)，則E(X)=np，D(X)=np(1-p)； XN(，2)，則E(X)=，D(X)=2； X服從兩點分布，則E(X)=p，D(X)=p(1-p).,【易錯提醒】 1.混淆互斥、對立事件：對立事件是互斥事件，但互斥事件不一定是對立事件，“互斥”是“對立”的必要不充分條件.,2.關注條件：概率的一般加法公式P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)中，易忽視只有當AB=，即A，B互斥時，P(AB)=P(A)+P(B)，此時P(AB)=0.,3.混淆兩種概型
4、致誤：易混淆幾何概型與古典概型，兩者共同點是基本事件的發(fā)生是等可能的，不同之處是幾何概型的基本事件的個數是無限的，古典概型中基本事件的個數是有限的.,4.注意區(qū)分兩個事件：注意區(qū)分互斥事件和相互獨立事件，互斥事件是在同一試驗中不可能同時發(fā)生的兩個事件，相互獨立事件是指幾個事件的發(fā)生與否互不影響，當然可以同時發(fā)生.,【考題回訪】 1.(2016全國卷)某公司的班車在7：30，8：00，8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達發(fā)車站乘坐班車，且到達發(fā)車站的時刻是隨機的，則他等車時間不超過10分鐘的概率是(),【解析】選B.如圖所示，畫出時間軸： 小明到達的時間會隨機地落在圖中線段AB中，而當
5、他 到達時間落在線段AC或DB時，才能保證他等車的時間 不超過10分鐘，根據幾何概型，所求概率P=,2.(2016全國卷)從區(qū)間0，1隨機抽取2n個數x1，x2，xn，y1，y2，yn，構成n個數對(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中兩數的平方和小于1的數對共有m個，則用隨機模擬的方法得到的圓周率的近似值為(),【解析】選C.由題意得：(xi，yi)(i=1，2，n)在 如圖所示的正方形中，而平方和小于1的點均在如圖 所示的陰影中， 由幾何概型概率計算公式知 所以=,3.(2015全國卷)投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試.已知某同學每次投籃投中的概率為0.6，且
6、各次投籃是否投中相互獨立，則該同學通過測試的概率為() A.0.648B.0.432C.0.36D.0.312,【解析】選A.根據獨立重復試驗公式得，該同學通過 測試的概率為 0.620.4+ 0.63=0.648.,4.(2014全國卷)某地區(qū)空氣質量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質量為優(yōu)良的概率是() A.0.8B.0.75C.0.6D.0.45,【解析】選A.設某天空氣質量優(yōu)良，則隨后一天空氣質量也優(yōu)良的概率為p， 則據題有0.6=0.75p，解得p=0.8.,熱點考向一古典概型、幾何概型及條件
7、概型 命題解讀：高考對本考向的考查難度不大，主要是考查古典概型、幾何概型公式的應用及條件概率公式的應用，三種題型都有可能出現.,【典例1】(1)(2016北京高考)從甲、乙等5名學生中隨機選出2人，則甲被選中的概率為(),(2)(2016泉州一模)如圖，矩形ABCD中，點A在x軸 上，點B的坐標為(1，0)，且點C與點D在函數f(x)= 的圖象上.若在矩形ABCD內隨機取一點， 則此點取自陰影部分的概率等于(),(3)一個口袋中裝有6個小球，其中紅球4個，白球2個.如果不放回地依次摸出2個小球，則在第1次摸出紅球的條件下，第2次摸出紅球的概率為_.,【解題導引】(1)本題屬于古典概型的概率計算
8、問題. (2)先求C點的坐標，再求D點與A點的坐標，進而求得矩形面積與陰影部分圖形的面積，代入幾何概型概率公式求解.,(3)先根據題意確定條件概率中的兩個事件：“從口袋中摸出2個小球，第1次摸出紅球”這是前提，“從口袋中摸出2個小球，第1次摸出紅球，第2次摸出的也是紅球”，求出相應的基本事件個數，然后代入古典概型的概率計算公式求值，最后代入條件概率的計算公式求值即可.,【規(guī)范解答】(1)選B.把5名同學依次編號為甲乙丙丁 戊，基本事件空間=甲乙，甲丙，甲丁，甲戊，乙 丙，乙丁，乙戊，丙丁，丙戊，丁戊，包含基本事件 總數n=10.設A表示事件“甲被選中”，則A=甲乙，甲 丙，甲丁，甲戊，包含基本
9、事件數m=4.所以概率為P=,(2)選B.因為f(x)= B點坐標為(1，0)， 所以C點坐標為(1，2)，D點坐標為(-2，2)，A點坐標 為(-2，0)，故矩形ABCD的面積為23=6，陰影部分 的面積為 31= ，故,(3)設“第1次摸出紅球”為事件A，“第2次摸出紅球”為事件B，則“第1次和第2次都摸出紅球”為事件AB，所求事件為B|A.,事件A發(fā)生的概率為P(A)= 事件AB發(fā)生的概率為P(AB)= 由條件概率的計算公式可得，所求事件的概率為 答案：,【一題多解】本題還可用以下方法求解： 因為已知第一次摸出的球為紅球，故第二次摸球等價 于從3個紅球、2個白球中任取一個球，故所求概率P
10、= 答案：,【方法規(guī)律】 1.利用古典概型求概率的關鍵及注意點 (1)關鍵：正確求出基本事件總數和所求事件包含的基本事件總數，這常常用到排列、組合的有關知識. (2)注意點：對于較復雜的題目計數時要正確分類，分類時應不重不漏.,2.幾何概型的適用條件及求解關鍵 (1)適用條件：當構成試驗的結果的區(qū)域為長度、面積、體積、弧長、夾角等時，應考慮使用幾何概型求解.,(2)求解關鍵：構成試驗的全部結果的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的尋找是關鍵，有時需要設出變量，在坐標系中表示所需要的區(qū)域.,3.條件概率的求法 (1)利用定義，分別求P(A)和P(AB)，得P(B|A)= 這是通用的求條件概率的方法. (2)借
11、助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事 件數n(A)，再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的基 本事件數，即n(AB)，得P(B|A)=,【題組過關】 1.(2016全國卷)為美化環(huán)境，從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個花壇中，余下的2種花種在另一個花壇中，則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是(),【解析】選C.將4種顏色的花任選2種種在花壇中，余 下的2種花種在另一個花壇中，有6種種法，其中紅色 和紫色的花不在同一花壇的種數有4種，故概率為,2.已知a-2，0，1，3，4，b1，2，則函數 f(x)=(a2-2)x+b為增函數的概率是() 【解析】選B.因為f(x)=(a2-
12、2)x+b為增函數，所以a2- 20，又a-2，0，1，3，4，所以a-2，3，4， 又b1，2，所以函數f(x)為增函數的概率是,3.(2016山東高考)在-1，1上隨機地取一個數k，則事件“直線y=kx與圓(x-5)2+y2=9相交”發(fā)生的概率為_.,【解析】若直線y=kx與圓(x-5)2+y2=9相交，則有圓 心到直線的距離d= 即 所以所求概率 答案：,【加固訓練】1.(2016貴陽二模)若k-3，3，則k的值使得過A(1，1)可以作兩條直線與圓(x-k)2+y2=2相切的概率等于(),【解析】選C.由題可知點在圓外，過該點可作兩條直 線與圓相切.故使圓心與點A的距離大于半徑即可，即
13、(1-k)2+12，解得k2，所以所求k-3，0) (2，3，所求概率P=,2.(2016唐山一模)甲、乙、丙三個車床加工的零件分別為350個、700個、1050個，現用分層抽樣的方法隨機抽取6個零件進行檢驗.,(1)求從甲、乙、丙三個車床中抽取的零件的件數. (2)從抽取的6個零件中任意取出2個，已知這2個零件都不是甲車床加工的，求其中至少有一個是乙車床加工的概率.,【解析】(1)由抽樣方法可知，從甲、乙、丙三個車床中抽取的零件數分別為1，2，3. (2)記抽取的6個零件為a1，b1，b2，c1，c2，c3.,事件“這2個零件都不是甲車床加工的”可能結果為(b1，b2)，(b1，c1)，(b
14、1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)，共10種可能；,事件“其中至少有一個是乙車床加工的”可能結果為(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，共7種可能. 故所求概率為P=0.7.,熱點考向二互斥事件、對立事件及相互獨立事件的概率 命題解讀：互斥事件、對立事件常與古典概型相結合考查，相互獨立事件主要考查事件同時發(fā)生的概率的求法，難度不大，各種題型都有可能出現.,【典例2】(1)某個部件由兩個 電子元件按如圖方式連接而成， 元件1或元件2正常
15、工作，則部件正常工作，設兩個電子元件的使用壽命(單位：小時)均服從正態(tài)分布N(1000，502)，且各個元件能否正常工作相互獨立.那么該部件的使用壽命超過1000小時的概率為_.,(2)(2016昆明一模)在一塊耕地上種植一種作物，每 季種植成本為1000元，此作物的市場價格和這塊地上 的產量均有隨機性，且互不影響，其具體情況如下表：,設X表示在這塊地上種植1季此作物的利潤，求X的分布列； 若在這塊地上連續(xù)3季種植此作物，求這3季中至少有2季的利潤不少于2000元的概率.,【解題導引】(1)由題意可知，只要元件1和元件2中有一個正常工作，則該部件就能正常工作，故可利用互斥事件的概率公式求解.,
16、(2)利用“利潤=產量市場價格-成本”，計算出不同的利潤，再求出各自的概率即可列出分布列；由可知第i季利潤不少于2000元的概率，將問題轉化為獨立重復試驗概率求解問題.,【規(guī)范解答】(1)由正態(tài)分布知元件1，2的平均使用壽 命為1000小時，設元件1，2的使用壽命超過1000小時 分別記為事件A，B，顯然P(A)=P(B)= 所以該部件的 使用壽命超過1000小時的事件為 所以其 概率P= 答案：,(2)設A表示事件“作物產量為300kg”，B表示事件“作物市場價格為6元/kg”， 由題設知P(A)=0.5，P(B)=0.4， 因為利潤=產量市場價格-成本，,所以X所有可能的取值為 50010
17、-1000=4000，5006-1000=2000， 30010-1000=2000，3006-1000=800. P(X=4000)=P( )P( )=(1-0.5)(1-0.4)=0.3， P(X=2000)=P( )P(B)+P(A)P( ) =(1-0.5)0.4+0.5(1-0.4)=0.5，,P(X=800)=P(A)P(B)=0.50.4=0.2， 所以X的分布列為,設Ci表示事件“第i季利潤不少于2000元”(i=1，2，3)， 由題意知C1，C2，C3相互獨立，由知， P(Ci)=P(X=4000)+P(X=2000) =0.3+0.5=0.8(i=1，2，3)，,3季的利潤
18、均不少于2000元的概率為 P(C1C2C3)=P(C1)P(C2)P(C3)=0.83=0.512； 3季中有2季利潤不少于2000元的概率為 =30.820.2=0.384，,所以，這3季中至少有2季的利潤不少于2000元的概率為0.512+0.384=0.896.,【母題變式】1.若將本例(1)中部件構成圖變?yōu)槿鐖D，其中元件3服從的正態(tài)分布與元件1，元件2相同， 元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則部件正常工作，則結果如何？,【解析】設元件1，2，3的使用壽命超過1000小時的事 件分別記為A，B，C，顯然P(A)=P(B)=P(C)= 所以該 部件的使用壽命超過1000小時的事
19、件為： 所以該部件的使用壽命超過1000小時的概率為,2.若將本例(1)的條件變?yōu)橐粋€電路如圖所示，A，B， C，D，E，F為6個開關，其閉合的概率都是 且是相 互獨立的，則燈亮的概率是多少？,【解析】設A與B中至少有一個不閉合的事件為T，E與F 至少有一個不閉合的事件為R，C，D不閉合的事件分別 為C，D，則P(T)=P(R)= 所以燈亮的概率 P=1-P(T)P(R)P(C)P(D)=,【方法規(guī)律】求復雜事件概率的方法及注意點 (1)直接法：正確分析復雜事件的構成，將復雜事件轉化為幾個彼此互斥的事件的和事件或幾個相互獨立事件同時發(fā)生的積事件或一獨立重復試驗問題，然后用相應概率公式求解.,(
20、2)間接法：當復雜事件正面情況比較多，反面情況較少，則可利用其對立事件進行求解.對于“至少”“至多”等問題往往也用這種方法求解. (3)注意點：注意辨別獨立重復試驗的基本特征：在每次試驗中，試驗結果只有發(fā)生與不發(fā)生兩種情況；在每次試驗中，事件發(fā)生的概率相同.,【題組過關】 1.(2016南昌二模)現有編號從一到四的四個盒子， 甲把一個小球隨機放入其中一個盒子，但有 的概率 隨手扔掉，然后讓乙按編號順序打開每一個盒子，直 到找到小球為止(或根本不在四個盒子里).假設乙打開,前兩個盒子沒有小球，則小球在最后一個盒子里的概 率為(),【解析】選B.不妨在原有的4個盒子的基礎上增加一 個盒子，且第5個
21、盒子不能打開， 小球被隨手扔掉可看做放入第5個盒子. 此時小球在第五個盒子里的概率都是 由于小球不 在第一、第二個盒子里，,就只能在第三、四、五個盒子里，又因為在每個盒子 里的概率相等， 所以這個小球在最后一個盒子里的概率為,2.(2016貴陽一模)在某中學舉辦的校園文化周活動中，從周一到周五的五天中，每天安排一項內容不同的活動供學生選擇參加，要求每位學生必須參加三項活動，其中甲同學必須參加周一的活動，不參加周五的活動，其余三天的活動隨機選擇兩項參加，乙同學和丙同學可以在周一到周五中隨機選擇三項參加.,(1)求甲同學選周三的活動且乙同學未選周三的活動的概率. (2)設X表示甲、乙、丙三名同學選
22、擇周三的活動的人數之和，求X的分布列.,【解析】(1)設A表示事件“甲同學選周三的活動”， B表示事件“乙同學選周三的活動”，則P(A)= 因為事件A，B相互獨立， 所以甲同學選周三的活動且乙同學未選周三的活動的 概率為,(2)設C表示事件“丙同學選周三的活動”，則 P(C)= X的可能取值為0，1，2，3.,所以X的分布列為,【加固訓練】1.現有10道題，其中6道甲類題，4道乙 類題，張同學從中任選3道題作答.已知所選的3道題中 有2道甲類題，1道乙類題.設張同學答對每道甲類題的 概率都是 答對每道乙類題的概率都是 且各題答 對與否相互獨立，則張同學恰好答對2道題的概率為 _.,【解析】設張
23、同學答對甲類題的數目為x，答對乙 類題的數目為y，答對題的總數為X，則X=x+y. 所以P(X=2)=P(x=2，y=0)+P(x=1，y=1)= 答案：,2.(2016漢中二模)甲、乙、丙3位大學生同時應聘某 個用人單位的職位，3人能被選中的概率分別為 且各自能否被選中互不影響. (1)求3人同時被選中的概率. (2)3人中有幾人被選中的情況最容易出現？,【解析】記甲、乙、丙能被選中的事件分別為A，B， C，則 (1)3人同時被選中的概率為 P1=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=,(2)3人中有2人被選中的概率為P2= 3人中只有1人被選中的概率為,3人均未被選中的概率為P4= 由于
24、P3P2P1=P4，即P3最大. 綜上可知，3人中只有1人被選中的情況最容易出現.,熱點考向三離散型隨機變量的分布列 命題解讀：離散型隨機變量的分布列、均值、方差和概率的計算問題常常結合在一起進行考查，試題類型有選擇題，也有填空題，但更多的是解答題，難度中檔.,命題角度一超幾何分布 【典例3】(2016蘭州一模)袋中裝有大小相同的8個小球，其中5個白球的編號分別為1，2，3，4，5，3個黑球的編號分別為1，2，3，從袋中任意取出3個球.,(1)求取出的3個球編號都不相同的概率. (2)記X為取出的3個球中編號的最大值，求X的分布列與數學期望. (3)記每次取出的3個球所得的分數為Y，其中Y=2
25、X+1(X為取出的3個球中編號的最大值)，求Y的數學期望.,【解題導引】(1)因為一共取出3個球，故由題意可知 編號都不相同的對立事件是3個球中有兩個球的編號相 同，所以先利用排列、組合知識求出所求事件的對立 事件的概率，然后轉化為所求即可.(2)先根據小球編 號情況確定X的所有可能取值，分析其每個值對應事件 的性質和類型，利用排列、組合的知識求出相應的概,率，然后列表即得分布列，最后代入數學期望的計算公式求值即可.(3)根據兩個變量之間的關系確定兩個變量的數學期望之間的關系，然后直接利用(2)的結果表示所求.,【規(guī)范解答】(1)記“取出的3個球編號都不相同”為 事件A，“取出的3個球中恰有兩
26、個球編號相同”為事 件B，則由題意知，事件A與事件B互為對立事件. 事件B表示從3對編號相同的小球中選取一對，再從其 余的6個小球中任選一個即可，故P(B)= 所以P(A)=1-P(B)=,(2)由題意，知X表示取出的3個球中編號的最大值， 故X的所有可能取值為2，3，4，5.,所以X的分布列為 故其數學期望為E(X)= (3)由已知得Y=2X+1，所以E(Y)=2E(X)+1=,命題角度二與獨立重復試驗有關的分布列 【典例4】(2016山東高考)甲、乙兩人組成“星隊” 參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語， 在一輪活動中，如果兩人都猜對，則“星隊”得3分； 如果只有一個人猜對，則“星
27、隊”得1分；如果兩人都 沒猜對，則“星隊”得0分.已知甲每輪猜對的概率,是 乙每輪猜對的概率是 每輪活動中甲、乙猜對 與否互不影響.各輪結果亦互不影響.假設“星隊”參 加兩輪活動，求： (1)“星隊”至少猜對3個成語的概率. (2)“星隊”兩輪得分之和X的分布列和數學期望E(X).,【解題導引】(1)要弄清“至少猜對3個”所包含的事件. (2)找全兩輪得分之和為X的可能值，然后計算每種可能值的概率.,【規(guī)范解答】(1)由題意，“星隊”至少猜對3個成語包含“甲對一乙對二”與“甲對二乙對一”“甲乙全對”，,(2)“星隊”兩輪得分之和X的可能值為：0，1，2，3，4，6.,可得隨機變量X的分布列為,
28、【規(guī)律方法】求解隨機變量分布列問題的兩個關鍵點 (1)求離散型隨機變量分布列的關鍵是正確理解隨機變量取每一個值所表示的具體事件，然后綜合應用各類概率公式求概率.,(2)求隨機變量均值與方差的關鍵是正確求出隨機變量的分布列.若隨機變量服從二項分布，則可直接使用公式法求解.,【題組過關】 1.(2016平頂山二模)隨著人口老齡化的到來，我國 的勞動力人口在不斷減少，“延遲退休”已經成為人 們越來越關注的話題，為了了解公眾對“延遲退休” 的態(tài)度，某校課外研究性學習小組對某社區(qū)隨機抽取 了50人進行調查，將調查情況進行整理后制成下表：,年齡在25，30)，55，60)的被調查者中贊成人數分別是3人和2
29、人，現從這兩組的被調查者中各隨機選取2人，進行跟蹤調查.,(1)求年齡在25，30)的被調查者中選取的2人都是贊成的概率. (2)求選中的4人中，至少有3人贊成的概率. (3)若選中的4人中，不贊成的人數為X，求隨機變量X的分布列和數學期望.,【解析】(1)設“年齡在25，30)的被調查者中選取 的2人都是贊成”為事件A，所以 (2)設“選中的4人中，至少有3人贊成”為事件B， 所以,(3)X的可能取值為0，1，2，3. 所以P(X=0)=,所以X的分布列是 所以E(X)=,2.(2016蕪湖二模)2015年12月6日寧安高鐵正式通車 后，極大地方便了沿線群眾的出行生活.小明與小強都 是在蕪湖
30、工作的馬鞍山人，他們每周五下午都乘坐高 鐵從蕪湖返回馬鞍山.因為工作的需要，小明每次都要 在15：30至18：30時間段出發(fā)的列車中任選一車次乘 坐；小強每次都要在16：00至18：30時間段出發(fā)的列,車中任選一車次乘坐.(假設兩人選擇車次時都是等可能地隨機選取),(1)求2016年1月8日(周五)小明與小強乘坐相同車次回馬鞍山的概率. (2)記隨機變量X為小明與小強在1月15日(周五)，1月22日(周五)，1月29日(周五)這3天中乘坐的車次相同的次數，求隨機變量X的分布列與數學期望.,附：2016年1月1日至1月31日每周五下午蕪湖站至馬鞍山東站的高鐵時刻表.,【解析】(1)設“2016年
31、1月8日(周五)小明與小強兩人 乘坐同一趟列車回馬鞍山”為事件A，由題意，小明可 選擇的列車有3趟，小強可選擇的列車有2趟，其中兩 人可以同時乘坐的有2趟. 所以P(A)=,(2)隨機變量X的可能取值為0，1，2，3. 由題，X,隨機變量X的分布列為：,【加固訓練】(2016湛江二模)甲、乙兩人輪流投 籃，每人每次投一球.約定甲先投且先投中者獲勝，一 直到有人獲勝或每人都已投球3次時投籃結束.設甲每 次投籃投中的概率為 乙每次投籃投中的概率為 且各次投籃互不影響.(1)求甲獲勝的概率. (2)求投籃結束時甲的投籃次數的分布列與期望.,【解析】設Ak，Bk分別表示甲、乙在第k次投籃投中， 則P(Ak)= P(Bk)= (k=1，2，3). (1)記“甲獲勝”為事件C， 則P(C)=,(2)投籃結束時甲的投籃次數的可能值為1，2，3,的分布列為 期望,
高三數學二輪復習 第一篇 專題通關攻略 專題七 概率統(tǒng)計 17_3 概率、隨機變量及其分布列課件 理 新人教版
