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1、第 5章 時域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡結構 5.1 引言 5.2 用信號流圖表示網(wǎng)絡結構 5.3 無限長脈沖響應基本網(wǎng)絡結構 5.4 有限長脈沖響應基本網(wǎng)絡結構 5.5 線性相位結構 5.6 頻率采樣結構 5.1 引言 一般時域離散系統(tǒng)或網(wǎng)絡可以用差分方程 、 單位脈沖 響應以及系統(tǒng)函數(shù)進行描述 。 如果系統(tǒng)輸入輸出服從 N階差 分方程 01 ( ) ( ) ( ) MN ii ii y n b x n i a y n i 其系統(tǒng)函數(shù) H(z)為 0 1 () () () 1 M i i i N i i i bz Yz Hz Xz az 第 5章 時域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡結構 給定一個差分方程，不同的算法有很
2、多種，例如： 1 12 2 11 3 11 1 () 1 0.8 0.15 1.5 2.5 () 1 0.3 1 0.5 11 () 1 0.3 1 0.5 Hz zz Hz zz Hz zz 第 5章 時域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡結構 可以證明以上 H1(z)=H2(z)=H3(z)，但它們具有不同的算 法。不同的算法直接影響系統(tǒng)運算誤差、運算速度以及系統(tǒng) 的復雜程度和成本等，因此研究實現(xiàn)信號處理的算法是一個 很重要的問題。我們用網(wǎng)絡結構表示具體的算法，因此網(wǎng)絡 結構實際表示的是一種運算結構。 5.2 用信號流圖表示網(wǎng)絡結構 數(shù)字信號處理中有三種基本算法 ， 即乘法 、 加法和 單位延遲 ， 三種基本
3、運算用流圖表示如圖 5.2.1所示 。 z 1 x ( n ) x ( n 1 ) x ( n ) ax ( n ) a x 1 ( n ) x 2 ( n ) x 1 ( n ) x 2 ( n ) x ( n ) x ( n 1 )z 1 x ( n ) ax ( n )a x 1 ( n ) x 2 ( n ) x 1 ( n ) x 2 ( n ) 圖 5.2.1 三種基本運算的流圖表示 第 5章 時域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡結構 1. 信號流圖 12 22 2 1 2 2 1 2 1 1 2 0 2 ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4、 nn nn n x n a n a n y n b n b n b n (5.2.1) 第 5章 時域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡結構 圖 5.2.2 信號流圖 (a)基本信號流圖； (b)非基本信號流圖 不同的信號流圖代表不同的運算方法 ， 而對于同 一個系統(tǒng)函數(shù)可以有很多種信號流圖相對應 。 從基本 運算考慮 ， 滿足以下條件 ， 稱為 基本信號流圖 (Primitive Signal Flow Graghs)。 (1) 信號流圖中所有支路都是基本的 ， 即支路增 益是常數(shù)或者是 z-1； (2) 流圖環(huán)路中必須存在延時支路； (3) 節(jié)點和支路的數(shù)目是有限的。 第 5章 時域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡結構 例
5、5.2.1 求圖 5.2.2(a)信號流圖決定的系統(tǒng)函數(shù) H(z)。 1 12 1 22 2 1 2 2 1 2 1 1 2 0 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) W z W z z W z W z z W z X z a W z a W z Y z b W z b W z b W z 經(jīng)過聯(lián)立求解得到： 12 0 1 2 12 12 ()() ( ) 1 Y z b b z b zHz X z a z a z 第 5章 時域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡結構 解： 12 22 2 1 2 2 1 2 1 1 2 0 2 ( ) ( 1 ) (
6、 ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) nn nn n x n a n a n y n b n b n b n 對上式進行 z變換，得到： FIR網(wǎng)絡中一般不存在輸出對輸入的反饋支路 ， 因此差 分方程用下式描述： 0 ( ) ( ) M i i y n b x n i 其單位脈沖響應 h(n)是有限長的， h(n)表示為 ,0() 0, nb n Mhn 其它 n 2.網(wǎng)絡結構濾波器分類 1） . FIR濾波器 1 0 )()( N n nznhzH 第 5章 時域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡結構 IIR網(wǎng)絡結構存在輸出對輸入的反饋支路 ， 也就是 說 ， 信號流圖中存在
7、環(huán)路 。 這類網(wǎng)絡的單位脈沖響應 是無限長的 。 IIR網(wǎng)絡差分方程為 2） .IIR濾波器 1 0 0 1 )( )( )( N i i M i i za zb zX zY zH i i 01 ( ) ( ) ( ) MN ii ii y n b x n i a y n i 第 5章 時域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡結構 5.3 IIR數(shù)字濾波器的基本結構 直接型結構 級聯(lián)型結構 并聯(lián)型結構 第 5章 時域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡結構 直接型 I結構 M i N i ii inyainxbny 0 1 )()()( )1( nx )(nx z1 z1 z1 )2( nx )1( Mnx )( Mnx b0 b1 b
8、2 bM 1 bM a1 a2 aN 1 aN )(ny )1( ny )1( Nny )( Nny )2( ny z1 z1 z1 )1( nx )(nx z1 z1 z1 )2( nx )1( Mnx )( Mnx b0 b0 b2 bM 1 bM a1 a2 aN 1 aN )(ny )1( ny )1( Nny )( Nny )2( ny z1 z1 z1 )(1 zH N i i i M i i i za zb zH 1 0 1 )( N 1i i i M 0i i i za1 1 zb )(2 zH 一、直接型 1、結構 第 5章 時域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡結構 第一個網(wǎng)絡實現(xiàn) 零點 ，即
9、實現(xiàn) x(n)加權延時 : )( 0 inxb M i i 第二個網(wǎng)絡實現(xiàn) 極點 ，即實現(xiàn) y(n)加權延時 : N k i inya 1 )( 可見，第二網(wǎng)絡是輸出延時，即反饋網(wǎng)絡。 *共需（ M+N）個存儲延時單元。 第 5章 時域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡結構 M i i i zbzH 0 1 )( N i i i za )z(H 1 2 1 1 )(2 zH x(n) )(1 zH y2(n) y(n) 直接型 II結構 第 5章 時域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡結構 2. 優(yōu)缺點 優(yōu)點： 簡單直觀 缺點： 1. 改變某一個 ak 將影響所有的極點 2. 改變某一個 bk 將影響所有的零點 3. 對有限字長效應
10、太敏感，容易出現(xiàn)不穩(wěn)定現(xiàn)象 對于三階以上的 IIR濾波器，幾乎都不采用直接型結構， 而是采用級聯(lián)型、并聯(lián)型等其它形式的結構。 第 5章 時域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡結構 圖 5.3.1 IIR網(wǎng)絡直接型結構 b 0 b 1 b 2 z 1 z 1 z 1 z 1 a 1 a 2 x ( n ) x ( n 1 ) x ( n 2 ) y ( n ) y ( n 1 ) y ( n 2 ) x ( n ) y ( n )b 0 b 1 b 2 z 1 z 1 z 1 z 1 a 1 a 2 w 2 w 1 H 1 ( z ) H 2 ( z ) H 2 ( z ) H 1 ( z ) x ( n ) y
11、( n ) a 1 a 2 b 0 b 1 b 2 z 1 z 1 （ a ） （ b ） （ c ） M=N=2時的系統(tǒng)函數(shù)為 2 2 1 1 2 2 1 10 1)( zaza zbzbbzH 第 5章 時域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡結 構 例 5.3.1 IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) H(z)為 1 2 3 1 2 3 8 4 11 2() 5 3 11 4 4 8 z z zHz z z z 解 由 H(z)寫出差分方程如下： 5 3 1( ) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 8 ( ) 4 ( 1 ) 4 4 8 11 ( 2 ) 2 ( 3 ) y n y n y n y n x n x n
12、 x n x n 第 5章 時域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡結 構 畫出該濾波器的直接型結構。 圖 5.3.2 例 5.3.1圖 x ( n ) y ( n ) z 1 z 1 z 1 4 8 11 2 45 43 81 第 5章 時域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡結 構 yn=filter(B, A.xn) 其中 xn為濾波器輸入信號向量， yn為濾波器輸出信號向量， 按照直接型結構實現(xiàn)對 xn的濾波，計算系統(tǒng)對輸入信號向量 xn 的零狀態(tài)響應輸出信號向量 yn， yn與 xn長度相等。 B和 A與數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)的關系如下： A= a0, a1, a2, , aN , B= b0, b1, b2, , bM N i
13、i i M i i i za zb zH 0 0)( 第 5章 時域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡結構 3. 直接型的 MATLAB的實現(xiàn) 將濾波器系統(tǒng)函數(shù) H(z)的分子和分母分解為 一階和二階實系數(shù)因子之積的形式 1.結構 )z(HA j K j 1 2 ,2 1 ,1 2 ,2 1 ,1,0 1 1 )( zz zz AzH jj jjjK j )z(H j二階 基本 網(wǎng)絡 二、級 聯(lián) 型 結 構 N i i M i i N i i i M i i i zd zc A za zb zH 1 1 1 1 1 0 )1( )1( 1 )( 2.級聯(lián)型結構優(yōu)點 優(yōu)點： 1. 每一個基本節(jié)系數(shù)變化只影響該子系
14、統(tǒng)的零極點 ， 調節(jié)濾波器的頻率特性 。 2. 對系數(shù)變化的敏感度小 ， 受有限字 長的影響比直接型低 第 5章 時域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡結構 i i iE i zp A 11 將 H(z)展成部分分式形式 : N i i i i N zp A A ZHZHZHAZH 1 0 210 1 )()()()( 三 并聯(lián)型型結構 1.結構 0A)Z(H 2 2 1 1 1 10 1 1 ZZ Z ii iiF i FEN 2 第 5章 時域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡結構 0A )(nx )(ny 1A 1p 1Z F1 F2 1Z F1 1Z F0 11 21 1Z 11 1Z 10 第 5章 時域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡結構
15、 2.并聯(lián)型結構優(yōu)缺點 優(yōu)點： 1. 各基本節(jié)的誤差互不影響 2. 可以單獨調整極點的位置 缺點 : 不能向級聯(lián)型那樣直接調整零點 第 5章 時域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡結構 MATLAB信號處理工具箱提供了 14種線性系統(tǒng)網(wǎng)絡結 構變換函數(shù)，實現(xiàn)各種結構之間的變換?？上鄙俨⒙?lián)結 構于其他結構之間的變換函數(shù)，參考文獻 10， 18中開 發(fā)了直接型與并聯(lián)型的相互變換函數(shù) tf2par和 par2tf。本書 涉及的 3種常用結構（直接型、級聯(lián)型、格型）之間的變 換函數(shù)有如下 4種： (1) tf2sos (2) sos2tf (3) tf2latc (4) latc2tf 格型到直接型結構變換。 四 MA
16、TLAB信號處理工具箱實現(xiàn)各種結構之間的變換函數(shù) 第 5章 時域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡結構 下面先簡要介紹變換函數(shù) tf2sos和 sos2tf及其調用 (1) S, G = tf2sos(B, A): 實現(xiàn)直接型到級聯(lián)型 的變換。 B和 A分別為直接型系統(tǒng)函數(shù)的分子和分母 多項式系數(shù)向量，當 A=1時，表示 FIR系統(tǒng)函數(shù)。返 回 L級二階級聯(lián)型結構的系數(shù)矩陣 S和增益常數(shù) G。 LLLLL aabbb aabbb aabbb S 21210 2212221202 2111121101 1 1 1 第 5章 時域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡結構 S為 L 6矩陣，每一行表示一個二階子系統(tǒng)函數(shù)的系 數(shù)向量，第 k行
17、對應的 2 級聯(lián)結構的系統(tǒng)函數(shù)為 H(z)=H1(z)H2(z) HL(z) L,1 , 2 ,k zaza1 zbzbb(z)H 2 2k 1 1k 2 2k 1 1k0k k 第 5章 時域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡結構 例 5.3.2 B= 8， 4， 11， 2 A= 1， 1.25， 0.75， 0.125 S， G =tf2sos(B, A) S = 1.0000 0.1900 0 1.0000 0.2500 0 1.0000 0.3100 1.3161 1.0000 1.0000 0.5000 G = 8 第 5章 時域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡結構 21 21 1 1 0 . 5 zz1 1 . 3
18、1 6 z0 . 3 1 z1 0 . 2 5 z1 0 . 1 9 z18H (z) (2) B, A =sos2tf(S, G)：實現(xiàn)級聯(lián)型到直接型網(wǎng)絡結構 的變換。 B、 A、 S和 G的含義與 S, G = tf2sos(B, A)中相 第 5章 時域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡結構 例 5.3.3已知某三階數(shù)字濾波器 的系統(tǒng)函數(shù)為 ) 2 1 2 1 1)( 3 1 1( 3 2 3 5 3 )( 211 21 zzz zz zH 試畫出其直接型、級聯(lián)型和并聯(lián)型結構。 第 5章 時域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡結構 直接型 321 21 6 1 3 1 6 1 1 3 2 3 5 3 )( zzz zz zH
19、將系統(tǒng)函數(shù) H(z)表達為 3 / 1 6 / 1 6 / 1 3 / 2 3 / 5 1 z n x n y 1 z 1 z 3 第 5章 時域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡結構 級聯(lián)型 21 21 1 2 1 2 1 1 3 2 3 5 3 3 1 1 1 )( zz zz z zH 將系統(tǒng)函數(shù) H(z)表達為一階、二階實系數(shù)分式之積 3 / 1 1 z n x n y 2 / 1 1 z 1 z 3 3 / 5 3 / 2 2 / 1 第 5章 時域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡結構 并聯(lián)型 將系統(tǒng)函數(shù) H(z)表達為部分分式之和的形式 21 1 1 2 1 2 11 1 3 11 2)( zz z z zH 3 /
20、1 1 z 2 / 1 1 z 1 z 1 2 / 1 1 n x n y 2 第 5章 時域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡結構 5.4 FIR數(shù)字濾波器的基本結構 直接型結構 級聯(lián)型結構 第 5章 時域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡結構 一 . 直接型 (橫截型 ,卷積型 ） 1 0 )()()( N m mnxmhny系統(tǒng)輸出： 1Z h(1) 1Z h(2) h(0) )(nx 1Z h(N-2) h(N-1) )(ny 數(shù)字濾波器傳遞函數(shù) : n N k znhzH )( 1 0 第 5章 時域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡結構 將 H（ Z） 分解為實系數(shù)二階因子的乘積形式 1 0 1 2 2 1 10 )()()( N n M
21、k iii n ZaZaaZnhZH 1Z 1Z 02a 12a 22a 01a 11a 21a 1Z 1Z )(nx 1Z 1Z Ma0 Ma1 Ma2 )(ny 二 . 級聯(lián)型 第 5章 時域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡結構 級聯(lián)型結構每一個一階因子控制一個零點， 每一個二階因子控制一對共軛零點，因此調整零點 位置比直接型方便，但 H(z)中的系數(shù)比直接型多， 因而需要的乘法器多。另外，當 H(z)的階次高時， 也不易分解。因此，普遍應用的是直接型。 第 5章 時域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡結構 例 5.4.1 設 FIR網(wǎng)絡系統(tǒng)函數(shù) H(z)如下式： H(z)=0.96+2.0z-1+2.8z-2+1.5z-3
22、畫出 H(z)的直接型結構和級聯(lián)型結構。 解： 直接型 第 5章 時域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡結 構 將 H(z)進行因式分解，得到： H(z)=(0.6+0.5z-1)(1.6+2z-1+3z-2) 級聯(lián)型 第 5章 時域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡結 構 級聯(lián)型結構如圖所示 線性相位結構是 FIR系統(tǒng)的直接型結構的簡化網(wǎng)絡 結構，特點是網(wǎng)絡具有線性相位特性，比直接型結構節(jié) 約了近一半的乘法器。如果系統(tǒng)具有線性相位，它的單 位脈沖響應滿足下面公式 : （ 5.5.1） )1()( nNhnh 5.5 線性相位結構 式中，“”代表 第一類線性相位濾波器 ; “”號代表 第 二類線性相位濾波器 。 第 5章 時域離散系
23、統(tǒng)的網(wǎng)絡結構 當 N為偶數(shù)時 , （ 5.5.3） 2 1)1(1)2 1( 0 )2 1()()( NnNN n n zNhzznhzH 當 N為奇數(shù)時 , )()( )1( 12/ 0 nN N n n zznhzH （ 5.5.2） 運算時先進行方括號中的加法（減法）運算，再進行乘法運 算，這樣就節(jié)約了乘法運算。按照這兩個公式，第一類線性相位 網(wǎng)絡結構的流圖、第二類線性相位網(wǎng)絡結構的流圖如圖所示。 第 5章 時域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡結構 第 5章 時域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡結構 )()( )1( 12/ 0 nN N n n zznhzH 第 5章 時域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡結構 直接型結構比較，如果 N取偶
24、數(shù)，直接 型需要 N個乘法器，而線性相位結構減少到 N/2個乘法器，節(jié)約了一半的乘法器。如果 N 取奇數(shù)，則乘法器減少到 (N 1)/2個，也近 第 5章 時域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡結構 1 0 11 )(1)( N k k N N zW kH N zzH 1N,1,0i,ez Ni2ji 零點： 1N,1,0k,ez N/kj2 k 極點： 5.6 FIR 頻率采樣型結構 H（ z)用內插公式表示為： 梳狀濾波器 )( zH c 諧振網(wǎng)絡 )( ZH k 1 0 )()(1)( N k kc ZHzHNZH 0 )( jc eH N 2 N 4 1. 結構 第 5章 時域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡結 構 頻率取
25、樣型結構流圖 0 N W 1 z H 0 y(n) 1/ N x(n) N z 1 N W 1 z H 1 ) 1 ( N N W 1 z H N 1 第 5章 時域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡結構 （ 1） 在頻率采樣點 k處， , 只要調整 H(k)（即一階網(wǎng)絡 Hk(z)中乘法器的系數(shù) H(k)），就可以有效 地調整頻響特性，使實踐中的調整方便，可以實現(xiàn)任意形狀 )()e( j kHH k （ 2） 只要 h(n)長度 N相同，對于任何頻響形狀，其梳狀 濾波器部分和 N個一階網(wǎng)絡部分結構完全相同，只是各支路增 益 H(k)不同。這樣，相同部分便可以標準化、模塊化。各支 路增益可做成可編程單元，生產可編
26、程 FIR 頻率域采樣結構優(yōu)點： 第 5章 時域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡結構 （ 2） 結構中， H(k)和 一般為復數(shù)，要求乘法器完 成復數(shù)乘法運算，這對硬件實現(xiàn)是不方便的。 kNW kNW （ 1） 系統(tǒng)穩(wěn)定是靠位于單位圓上的 N個零極點相 互對消保證的。實際上，因為寄存器字長都是有限的， 對網(wǎng)絡中支路增益 量化時產生量化誤差，可能使 零極點不能完全對消，從而影響系統(tǒng)穩(wěn)定性。 頻率采樣結構缺點： 為了克服上述缺點，對頻率采樣結構作以下修正。 第 5章 時域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡結構 3.頻率取樣型結構改進 1 0 11 )(1)1()( N k k N N ZW kH NZZH 1 0 11 )(1)1()
27、( N k k N rNN zrW kH N zrzH )()( kHkH r 1 0 11 )(1)1()( N k kN NN zrW kH NzrzH 在 r圓上進行 (r1但近似等于 1)取樣 ， 即用 rz-1代替 z-1， 使極點和相應的零點移到單位圓內 。 修正的頻率采樣型結構 11 11 zrW kNH zrW kHzH kN N k N k )( )()()( 1k N 1k N z)W(r1 )k(H zrW1 )k(H 20 Nk )(R e 21 kHWr kNk 2 2 1 1 1 0 ) 2 cos( 2 1 z r k N rz z k k )(R e 20 kH
28、k 的諧振器結構：Nk2 k / a) H(z)根為 共軛虛根 當 h(n)為實序列 N為偶數(shù)：有 z r， z r兩個實根 10 1 )0()( rz HzH 12 1 )2()( rz NHzH N 12 1 20 1 N k kN N zHzHzH N zrzH N )()()()( N為奇數(shù)：有 z r一個實根 21 1 0 1 )( )()()( N k k NN zHzH N zrzH b) H(z)根為實根 修正后的頻率采樣型結構 第 5章 時域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡結構 當采樣點數(shù) N很大時，其結構顯然很復雜，需要的 乘法器和延時單元很多。但對于窄帶濾波器，大部分 頻率采樣值 H(k)為零，從而使二階網(wǎng)絡個數(shù)大大減少。 第 5章 時域離散系統(tǒng)的網(wǎng)絡結構
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