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1、第 31講 圖形的相似 浙江專用 1 比例線段 ( 1 ) 比例線段：對于四條線段 a ， b ， c ， d ， 如果 a 與 b 的比等于 c 與 d 的 比 ， 即 a b c d ， 那么這四條線段 a ， b ， c ， d 叫做成比例線段 ， 簡稱 __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ ( 2 ) 比例中項：一般地 ， 如果三個數(shù) a ， b ， c 滿足比例式 a b b c ( 或 a b b c) ， 那么 b 就叫做 a ， c 的 __ _ _ _ _ _ _ _ _ __ ( 3 ) 黃金分割：把一條線段 ( A B )
2、分成兩條線段 ， 使其中較長線段 ( A C ) 是原 線段 ( A B ) 與較短線 段 ( B C ) 的比例中項 ， 就叫做把這條線段 __ _ _ _ _ _ _ __ 即 AC 2 __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ ， AC __ _____ __ ， AC __ ___ _ _ A B . 一條線段 的黃金分割點有 ____ 個 比例線段 比例中項 黃金分割 ABBC 5 12 兩 0.618 2 比例的基本性質(zhì)及定理 ( 1 ) a b c d ad bc ； ( 2 ) a b c d a b b c d d
3、； ( 3 ) a b c d m n (b d n 0) a c m b d n a b . 3 平行線分線段成比例定理 ( 1 ) 兩條直線被一組平行線所截 ， 所得的對應線段成 __ ____ __ ； ( 2 ) 平行于三角形一邊截其他兩邊 ( 或兩邊的延長線 ) ， 所得的對應線段成 __ _ _ _ _ _ _ _ _ __ ； 比例 比例 4 相似三角形的定義 對應角相等、對應邊成比例的三角形叫做 ________________ 相似比：相似三角形的對應邊的比 ， 叫做兩個相似三角形的 _________ 5 相似三角
4、形的判定 (1)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊 (或兩邊的延長線 )相交 ， 所截得 的三角形與原三角形相似； (2)兩角對應相等 ， 兩三角形相似； (3)兩邊對應成比例且夾角相等 ， 兩三角形相似； (4)三邊對應成比例 ， 兩三角形相似； (5)兩個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例 ， 兩直角三角形相似 ； (6)直角三角形中被斜邊上的高分成的兩個三角形都與原三角形相似 相似三角形 相似比 6 相似三角形性質(zhì) 相似三角形的對應角相等 ， 對應邊成比例 ， 對應高、對應中線、對應角 平分線的比都等于相似比 ， 周長比等于相似比 ， 面積比等于相似比的平 方 7
5、 相似多邊形的性質(zhì) (1)相似多邊形對應角 ____________， 對應邊 ____________ (2)相似多邊形周長之比等于 ___________________， 面積之比等于 _______________________ 8 位似圖形 (1)概念：如果兩個多邊形不僅 ____________， 而且對應頂點的連線相交 于 _______， 這樣的圖形叫做位似圖形這個點叫做 _____________ (2)性質(zhì)：位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于 ___________________ (3)在平面直角坐標系中 ， 如果位似變換是以原點為中心 ， 相
6、似比為 k， 那么位似圖形對應點的坐標比等于 k或 k. 相等 成比例 相似比 相似比的平方 相似 一點 位似中心 位似比 1 注意問題 ( 1 ) 求兩條線段的比時 ， 對兩條線段要采用同一長度單位 ( 2 ) 證明兩個三角形相似時 ， 要注意將對應頂點寫在相應位置上 ( 3 ) 相似多邊形的面積比等于相似比的平方 ， 要注意與周長比的區(qū)別 2 “ 三點定形 ” 法 證明比例式或等積式的方法主要有 “ 三點定形 ” 法： ( 1 ) 橫向定形：欲證 AB DE BC EF ， 橫向觀察 ， 比例式中分子的兩條線段是 AB 和 BC ， 三個字母 A ， B
7、， C 恰為 A B C 的頂點；分母的兩條線段是 DE 和 EF ， 三個字母 D ， E ， F 恰為 DEF 的三個頂點 因此只需證 A BC DEF ； ( 2 ) 縱向定形：欲證 AB BC DE EF ， 縱向觀察 ， 比例式中左邊的兩條線段 AB 和 BC 中的三個字母 A ， B ， C 恰為 A B C 的頂點；右邊的兩條線段 DE 和 EF 中的三個字母 D ， E ， F 恰為 DEF 的三個頂點 因此只需證 A B C DE F ； ( 3 ) 由于運用三點定形法時常會碰到三點共線或四點中沒有相同點的情況 ， 此時可考慮運用等線、等比或等積進行
8、變換后 ， 再考慮運用三點定形法尋 找相似三角形 ， 這種方法就是等量代換法 在證明比例式時 ， 常常要用到 中間比 3 判定兩個三角形相似的技巧 ( 1 ) 先找兩對對應角相等 ， 一般這個條件比較簡單； ( 2 ) 若只能找到一對對應角相等 ， 則判斷相等角的兩夾邊是否對應成比例； ( 3 ) 若找不到角相等 ， 就判斷三邊是否對應成比例； ( 4 ) 若題目出現(xiàn)平行線 ， 則直接運用基本定理得出相似的三角形 4 分類討論思想 近幾年中考常出現(xiàn)有關(guān)相似形的多解問題 ， 這類題特征是不給出幾 何圖形 ， 要求分類討論 ， 不要漏解 1 ( 2 0 1 6 杭州 )
9、 如圖 ， 已知直線 a b c ， 直線 m 交直線 a ， b ， c 于點 A ， B ， C ， 直線 n 交直線 a ， b ， c 于點 D ， E ， F ， 若 AB BC 1 2 ， 則 DE EF ( ) A. 1 3 B. 1 2 C. 2 3 D 1 B 2 (2016鹽城 )如圖 ， 點 F在平行四邊形 ABCD的邊 AB上 ， 射線 CF交 DA的延長線于點 E， 在不添加輔助線的情況下 ， 與 AEF相似的三角 形有 ( ) A 0個 B 1個 C 2個 D 3個 C 3 ( 2 0 1 6 安徽 ) 如圖 ， A B
10、 C 中 ， AD 是中線 ， BC 8 ， B D AC ， 則線段 AC 的長為 ( ) A 4 B 4 2 C 6 D 4 3 B 4 ( 2 0 1 6 泰安 ) 如圖 ， A B C 內(nèi)接于 O ， AB 是 O 的直徑 ， B 30 ， CE 平分 AC B 交 O 于 E ， 交 AB 于點 D ， 連結(jié) AE ， 則 S A DE ： S CDB 的值等于 ( ) A 1 2 B 1 3 C 1 2 D 2 3 D 點撥： AB 是 O 的直徑 ， A C B 90 ， B 30
11、 ， BC 3 2 AB 3 OA . CE 平分 AC B ， E 為 A EB 中點 ， OE AB ， AE 2 OA ， E B ， B A E ECB ， A DE C D B ， S ADE S CDB ( AE BC ) 2 ( 2 OA 3 OA ) 2 2 3. 5 ( 2 0 1 6 杭州 ) 如圖 ， 在 AB C 中 ， 點 D ， E 分別在邊 AB ， AC 上 ， A ED B ， 射線 AG 分別交線段 DE ， BC 于點 F ， G ， 且 AD AC DF CG . ( 1 ) 求證：
12、 A DF AC G . ( 2 ) 若 AD AC 1 2 ， 求 AF FG 的值 解： ( 1 ) 證明： A ED B ， DA E D A E ， A D F C ， 又 AD AC DF CG ， A D F AC G ； ( 2 ) A DF AC G ， AD AC AF AG ， 又 AD AC 1 2 ， AF AG 1 2 ， AF FG 1. 比例的基本性質(zhì)、黃金分割 【例 1 】 ( 1 ) ( 2 0 1 5 東營 ) 若 y x 3 4 ， 則 x y x 的值為 ( ) A 1 B
13、. 4 7 C. 5 4 D. 7 4 D ( 2 ) ( 2 0 1 5 山西 ) 寬與長的比是 5 1 2 ( 約 0 .6 1 8 ) 的矩形叫做黃金矩形 ， 黃金 矩形蘊藏著豐富的美學價值 ， 給我們以協(xié)調(diào)和勻稱的美感我們可以用 這樣的方法畫出黃金矩形：作正方形 A B C D ， 分別取 AD ， BC 的中點 E ， F ， 連結(jié) EF ；以點 F 為圓心 ， 以 FD 為半徑畫弧 ， 交 BC 的延長線于點 G ； 作 GH AD ， 交 AD 的延長線于點 H ， 則圖中下列矩形是黃金矩形的是 ( ) D A 矩形 ABFE B矩形 EFCD C 矩形 EFG
14、H D矩形 DCGH 【點評】 ( 1 ) 此題考查了比例的性質(zhì) 此題比較簡單 ， 解題的關(guān)鍵是注 意掌握比例的性質(zhì)與比例變形； ( 2 ) 此題主要考查了黃金分割 ， 解決問 題的關(guān)鍵是掌握黃金矩形的概念 解題時注意 ， 寬與長的比是 5 1 2 的 矩形叫做黃金矩形 ， 圖中的矩形 AB GH 也為黃金矩形 對應訓練 1 ( 1 ) ( 2 0 1 5 六盤水 ) 已知 c 4 b 5 a 6 0 ， 則 b c a 的值為 ____. ( 2 ) 已知 a 2 b 5 c 7 ， 且 a b c 0 ， 則 2a 3b 2c a b c 的
15、值為 ( ) A. 5 14 B. 5 11 C. 14 5 D. 16 17 3 2 點撥：設 a 2 k ， b 5 k ， c 7 k ， 則 2 a 3 b 2 ca b c 4 k 15 k 14 k2 k 5 k 7 k 5 k14 k 514 . A 三角形相似的性質(zhì)及判定 【 例 2】 (2016泰州 )如圖 ， ABC中 ， AB AC， E在 BA的延長 線上 ， AD平分 CAE. (1)求證： AD BC； (2)過點 C作 CG AD于點 F， 交 AE于點 G， 若 AF 4， 求 BC的長 ( 1 ) 證明：
16、 AD 平分 C A E ， D A G 1 2 C A G ， AB AC ， B A C B ， C A G B A C B ， B 1 2 C A G ， B D A G ， AD BC ； ( 2 ) 解： CG AD ， AF C AFG 90 ， 在 A F C 和 AFG 中 ， C A F G AF ， AF AF ， AFC AFG A F C AFG( AS A ) ， CF GF ， AD BC ， AGF B GC ， GF GC AF BC 1 2 ，
17、 BC 2 A F 2 4 8. 【 點評 】 此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)注意證 得 AGF BGC是解題的關(guān)鍵 對應訓練 2 (2016臨夏州 )如圖 ， 已知 EC AB， EDA ABF. (1)求證：四邊形 ABCD是平行四邊形； (2)求證： OA2 OEOF. 證明： ( 1 ) EC AB ， EDA D A B ， ED A A B F ， DA B A B F ， AD BC ， DC AB ， 四邊形 AB C D 為平行四 邊形 ( 2 ) EC AB ， O A B OED ， OA OE O
18、B OD ， AD BC ， OB F OD A ， OB OD OF OA ， OA OE OF OA ， OA 2 OE OF . 相似三角形綜合問題 【 例 3】 (2016呼和浩特 )如圖 ， 已知 AD是 ABC的外角 EAC的平 分線 ， 交 BC的延長線于點 D， 延長 DA交 ABC的外接圓于點 F， 連結(jié) FB， FC. (1)求證： FBC FCB； (2)已知 FAFD 12， 若 AB是 ABC外接圓的直徑 ， FA 2， 求 CD的長 ( 1 ) 證明： 四邊形 A FB C 內(nèi)接于圓 ， FB C F A C 1
19、8 0 ， C A D F AC 180 ， FB C C A D ， AD 是 A B C 的外角 E AC 的平分線 ， E AD C AD ， E A D F A B ， F A B C A D ， 又 F A B F C B ， FB C F C B ( 2 ) 解：由 ( 1 ) 得： FB C F C B ， 又 F C B F A B ， F A B FB C ， B F A B FD ， A F B B FD ， BF FD FA BF ， BF 2 F A FD 12 ， BF
20、 2 3 ， FA 2 ， FD 6 ， AD 4 ， AB 為圓的直徑 ， B F A BCA 90 ， ta n F B A AF BF 2 2 3 3 3 ， FB A 30 ， 又 FDB FB A 30 ， CD AD co s 30 4 3 2 2 3 . 【 點評 】 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、三角 函數(shù)等知識 ， 證明三角形相似是解決問題的關(guān)鍵 對應訓練 3 ( 2 0 1 5 武漢 ) 已知銳角 AB C 中 ， 邊 BC 長為 12 ， 高 AD 長為 8. ( 1 ) 如圖
21、， 矩形 EFGH 的邊 GH 在 BC 邊上 ， 其余兩個頂點 E ， F 分別在 AB ， AC 邊上 ， EF 交 AD 于點 K. 求 EF AK 的值； 設 EH x ， 矩形 E FGH 的面積為 S ， 求 S 與 x 的函數(shù)關(guān)系式 ， 并求 S 的 最大值； ( 2 ) 若 AB AC ， 正方形 P QMN 的兩個 頂點在 A B C 一邊上 ， 另兩個頂點 分別在 A B C 的另兩邊上 ， 直接寫出正方形 P QMN 的邊長 解： ( 1 ) EF BC ， AK AD EF BC ， EF AK BC AD 12 8 3 2 ， 即
22、EF AK 的值是 3 2 EH x ， KD EH x ， AK 8 x ， EF AK 3 2 ， EF 3 2 ( 8 x ) ， S E H EF 3 2 x ( 8 x ) 3 2 ( x 4 ) 2 2 4 ， 當 x 4 時 ， S 的最大值是 24 ( 2 ) 設正方形的邊長為 a ， 當正方形 P QM N 的兩個頂點在 BC 邊上時 ， 8 a a 8 12 ， 解得 a 24 5 當正方形 P QM N 的兩個頂點在 AB 或 AC 邊上 時 ， AB AC ， AD BC ， B D CD 1 2 2
23、 6 ， AB AC AD 2 BD 2 6 2 8 2 10 ， AB 或 AC 邊上的高等于： A D B C A B 8 1 2 1 0 48 5 ， 48 5 a a 48 5 10 ， 解得 a 240 49 . 綜上 ， 可得正方形 P QM N 的 邊長是 24 5 或 240 49 . 相似多邊形與位似圖形 【 例 4】 (2015漳州 )如圖 ， 在 10 10的正方形網(wǎng)格中 ， 點 A， B， C， D均在格點上 ， 以點 A為位似中心畫四邊形 ABCD， 使它與四邊形 ABCD位似 ， 且位似比為 2. (1)在圖中畫出四邊形 AB
24、CD； (2)填空： ACD是 _____________三角形 等腰直角 解： (1)如圖所示 (2) AC2 42 82 16 64 80， AD2 62 22 36 4 40， CD2 62 22 36 4 40， AD CD， AD2 CD2 AC2， ACD是等腰直角三角形 【 點評 】 畫位似圖形的一般步驟為：確定位似中心 ， 分別連結(jié)并 延長位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點；根據(jù)相似比 ， 確定能代表所作 的位似圖形的關(guān)鍵點；順次連結(jié)上述各點 ， 得到放大或縮小的圖形同 時考查了勾股定理及其逆定理等知識熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)以及位似變換 的定義是解題的關(guān)鍵 對應訓練
25、 4 ( 1 ) ( 2 0 1 6 煙臺 ) 如圖 ， 在平面直角坐標系中 ， 正方形 A B C D 與正方形 B EFG 是以原點 O 為位似中心的位似圖形 ， 且相似比為 1 3 ， 點 A ， B ， E 在 x 軸上 ， 若正方形 B EFG 的邊長為 6 ， 則 C 點坐標為 ( ) A (3 ， 2 ) B (3 ， 1 ) C (2 ， 2 ) D (4 ， 2 ) A ( 2 ) ( 2 0 1 6 威海 ) 如圖 ， 直線 y 1 2 x 1 與 x 軸交于點 A ， 與 y 軸交于點 B ， B OC 與 B O C 是以點 A
26、為位似中心的位似圖形 ， 且相似比為 1 3 ， 則點 B 的對應點 B 的坐標為 __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ ( 8， 3)或 (4， 3) 試題 如圖 ， A B C 中 ， D ， E 分別為 AB ， BC 上的點 ， AE ， CD 相 交于點 O. ADDB 23 ， BEEC 54 ， 求 AOOE 和 DOOC 的值 審題視角 三角形內(nèi)從兩個頂點出發(fā) ， 分別與其對邊相交的線段 ， 它們又相交于一 點這時 ， 三角形的兩邊、上述兩條相交線段均被有關(guān)分點分成不同的 線段比 ， 這些線段的
27、比之間存在相互依存和制約的關(guān)系 ， 知道其中任意 兩條線段被分點分成的比 ， 就可以求出其他任一線段被分點所分成的比 這一問題的解決辦法 ， 主要是利用平行線 (作輔助線 )輔助線的作法： 主要是過三角形邊上的點作欲求分比線段的平行線 ， 構(gòu)成兩對相似三角 形本題可以過點 E作 EG CD交 AB于點 G， 則有 BEG BCD， ADO AGE.本題也可過點 D作 AE的平行線 ， 同樣也可以求得相關(guān) 的比值 規(guī)范答題 解：過點 E 作 EG CD 交 AB 于點 G ， 則 B EG BCD ， BG GD BE EC 5 4 ， BG GD GD 5 4
28、 4 ， 即 BD GD 9 4 ， AD GD 2 3 DB GD 2 3 9 4 3 2 ， 又 A DO A GE ， AO OE AD DG 3 2 ， DO GE AD AG 3 5 ， GE DC BE BC 5 9 ， DO GE GE DC 3 5 5 9 1 3 ， 即 DO DC 1 3 ， DO OC 1 2 . 答題思路 第一步：審題 ， 理解問題 ， 清楚問題中的已知條件與未知結(jié)論； 第二步：過三角形邊上的點作欲求分比線段的平行線 ， 構(gòu)成兩對相似三 角形； 第三步：根據(jù)相似三角形的性質(zhì) ， 得出與欲求分比線段相
29、關(guān)聯(lián)的兩線段 的比值； 第四步：根據(jù)比例的性質(zhì)逐步求得欲求分比線段的比值； 第五步：反思回顧 ， 查看關(guān)鍵點、易錯點 ， 完善解題步驟 試題 如圖 ， 在 Rt A B C 與 Rt A DC 中 ， A C B ADC 90 ， AC 6 ， AD 2 ， 問：當 AB 的長為多少時 ， 這兩個直角三角形相似？ 錯解 在 Rt A DC 中 ， AC 6 ， AD 2 ， CD AC 2 AD 2 2 . 要使這兩個三角形相似 ， 有 AC AD AB AC ， AB AC 2 AD （ 6 ） 2 2 3. 故當 AB 的長為 3 時 ，
30、 這兩個直角三角形相似 剖析 (1)此題中 ， Rt ABC與 Rt ADC中 ， ACB ADC 90 ， B可能與 ACD相等 ， 也可能與 CAD相等 ， 三角形 ABC與 ADC相似可能是 ABC ACD或 ABC CAD.根據(jù)對應邊成比 例 ， 有兩種情況需要分類討論 (2)分類討論在幾何中的應用也很廣泛 ， 可以說整個平面幾何的知識結(jié) 構(gòu)貫穿了分類討論的思想方法 (3)在解題過程中 ， 不僅要掌握問題中的條件與結(jié)論 ， 還要在推理的過 程中不斷地發(fā)現(xiàn)題目中的隱含條件 ， 以便全面、正確、迅速地解決問 題忽視已知條件 ， 實質(zhì)上是對概念理解不詳、把握不準的表現(xiàn) 正解 在 Rt A D C 中 ， AC 6 ， AD 2 ， CD AC 2 AD 2 2 . 要使這兩個三角形相似 ， 有 AC AD AB AC 或 AC CD AB AC ， AB AC 2 AD （ 6 ） 2 2 3 ， 或 AB AC 2 CD （ 6 ） 2 2 3 2 . 故當 AB 的長為 3 或 3 2 時 ， 這兩個 直角 三角形相似
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