《中考數(shù)學(xué) 第一部分 教材梳理 第六章 圖形的相似與解直角三角形 第24講 銳角三角函數(shù)復(fù)習(xí)課件 新人教版.ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《中考數(shù)學(xué) 第一部分 教材梳理 第六章 圖形的相似與解直角三角形 第24講 銳角三角函數(shù)復(fù)習(xí)課件 新人教版.ppt（90頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第 24講 銳角三角函數(shù) 考點一 銳角三角函數(shù)的定義 如圖 ， 在 Rt ABC 中 ， C 90 ， A ， B ， C 的對邊分別 為 a ， b ， c ， 則 s i n A a c ， c o s A b c ， t a n A a b 溫馨提示： 1 銳角三角函數(shù)是在直角三角形中定義的 2 s i n A ， c os A ， ta n A 表示的是一個整體 ， 是指 兩條線段的比 ， 沒有單位 3 銳角三角函數(shù)的大小僅與角的大小有關(guān) ， 與該 角所處的直角三角形的大小無關(guān) 4 當(dāng) A 為銳角時 ， 0 s i n A 1 ， 0 c os A 1 ， t an A 0. 考點二
2、特殊角的三角函數(shù)值 溫馨提示： 1 30 ， 45 ， 60 角的正弦值的分母都是 2 ， 分子 從小到大分別是 1 ， 2 ， 3 ， 隨著角度的增大 ， 正弦 值逐漸增大； 30 ， 45 ， 60 角的余弦值的分母也都是 2 ， 而分子從大到小分別是 3 ， 2 ， 1 ， 余弦值 隨角度 的增大而減小 2 30 ， 60 角的正切值互為倒數(shù) ， 都和 3 有關(guān) ， 45 角的正切值是 1 ， 隨著角度的增大 ， 正切值也在逐 漸增大 考點三 三角函數(shù)之間的關(guān)系 1 同角三角函數(shù)之間的關(guān)系 s i n 2 c os 2 1 ； t an s i n c os . 2 互余兩角的三角函數(shù)之
3、間的關(guān)系 若 A B 90 ， 則 s i n A c os B ， s i n B c os A ， t an A t a n B 1 3 銳角三角函數(shù)的增減性 當(dāng) 為銳角時， 0 s i n 1 ， 0 c os 1 ，且 s i n ， t an 的值都隨 的增大而 增大 ； c os 的值隨 的增大而 減小 溫馨提示： 這些關(guān)系式都是恒等式 ， 正反均可運用 ， 同時還 要注意它們的變形公式 考點一 銳角三角函數(shù)的定義 例 1 ( 20 16 樂山 ) 如圖， 在 Rt ABC 中， BAC 90 ， AD BC 于點 D ，則下 列結(jié)論不正確的是 ( ) A s i n B AD A
4、B B s i n B AC BC C s i n B AD AC D s i n B CD AC 【點撥】 在 Rt ABC 中 ， BAC 90 ， s i n B AC BC . AD BC ， A D B A D C 90 .在 Rt ABD 中 ， s i n B AD AB . 在 Rt A D C 中 ， s i n D A C CD AC . B BAD 90 ， BAD D A C 90 ， B D A C ， s i n B s i n D A C CD AC . 綜上 ， 只有 C 項不正確故選 C 【答案】 C 方法總結(jié)： 在直角三角形中 ， 根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義 ，
5、 代 入對應(yīng)的邊即可表示出要求的三角函數(shù)；若沒有圖形 ， 最好用數(shù)形結(jié)合的思想畫出圖形幫助分析求解；若沒 有直角三角形可作出適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造直角三角形 考點二 特殊角的三角函數(shù)值和三角函數(shù)之 間的關(guān)系 例 2 ( 20 16 永州 ) 下列式子錯誤的是 ( ) A c os 40 s i n 50 B t an 15 t an 75 1 C s i n 2 25 c os 2 25 1 D s i n 60 2s i n 30 【點撥】 A c os 40 c os ( 90 50 ) s i n 50 ， 式 子正確； B t an 15 t an 75 t a n 15 1 t an 15
6、 1 ， 式子 正確； C s i n 2 25 c o s 2 25 1 ， 式子正確； D s i n 60 3 2 ， s i n 30 1 2 ， 則 s i n 60 2s i n 30 ， 式子錯誤故 選 D 【答案】 D 方法總結(jié)： 本題考查了互余兩角 ( A B 90 ) 的正弦和 余弦及正切之間的關(guān)系 ： ( 1) 一個角的正弦等于其余角 的余弦 ， 即 s i n A c os B ； ( 2) 一個角正弦的平方與其余 弦的平方的和等于 1 ， 即 s i n 2 A c o s 2 A 1 ； ( 3 ) 一個角 的正切與其余角的正切互為倒數(shù) ， 即 t an A t a
7、n B 1 考點三 三角函數(shù)的增減性 例 3 如圖 ， 若銳角 ABC 內(nèi)接于 O ， 點 D 在 O 外 ( 與點 C 在 AB 同側(cè) ) ， 則下列三個結(jié)論： s i n C s i n D ； c o s C c o s D ； t an C t an D 中正確的結(jié)論為 ( ) A B C D 【點撥】 如圖 ， 連接 BE ， 根 據(jù)圓周角定理 ， 可得 C AEB ， AEB D D B E ， AEB D C D 根據(jù)銳角三角形函數(shù)的增減性 ， 可 得 s i n C s i n D ， 故 正確； c o s C c os D ， 故 錯誤； t an C t an D ， 故
8、 正確故選 D 【答案】 D 方法總結(jié)： 當(dāng) 0 90 時 ， 0 s i n 1 ， 且 s i n 隨 的增 大而增大； 0 c o s 1 ， 且 c o s 隨 的增大而減??； t a n 0 ， 且 t a n 隨 的增大而增大 1 在 Rt ABC 中， C 90 ， s i n A 3 5 ，則 t an A 等于 ( A ) A 3 4 B 4 3 C 3 5 D 4 5 2 如圖 ， 已知 ABC 的三個頂點均在格點上 ， 則 c os A 的值為 ( ) A 3 3 B 5 5 C 2 3 3 D 2 5 5 【解析】 如圖 ， 過點 B 作 BD AC ， D 點在格點上
9、 ， 設(shè) 每個小正方形的邊長為 1 ， 由 勾 股定理 ，得 AB 3 2 1 2 10 ， AD 2 2 2 2 2 2 .在 Rt ABD 中 ， c o s A AD AB 2 2 10 2 5 5 . 故選 D 【答案】 D 3 把 ABC 三邊的長度都擴大到原來的 3 倍 ， 則 銳角 A 的正弦值 ( A ) A 不變 B 縮小為原來的 1 3 C 擴大到原來的 3 倍 D 不能確定 4 在銳角三角形 ABC 中 ， 若 s i n A 3 2 (1 t an B ) 2 0 ， 則 C 的度數(shù)是 ( C ) A 45 B 60 C 75 D 105 5 如圖 ， 在 ABC 中
10、， C 90 ， 點 D 在 AC 上 ， 將 BCD 沿 BD 翻折 ， 點 C 落在斜邊 AB 上 ， 若 AC 12 cm , DC 5 cm ， 則 s i n A 5 7 6 已知 是銳角且 t a n 3 4 ，則 s i n c o s 7 5 7 已知 ABC 中 ， A 與 B 滿足 (1 t an A ) 2 c os B 1 2 0. ( 1) 試判斷 ABC 的形狀； ( 2) 求 (1 s i n A ) 2 2 c os B (3 t a n C ) 0 的值 解： ( 1 ) (1 t an A ) 2 c os B 1 2 0 ， 1 t an A 0 ， c
11、o s B 1 2 0 ， t an A 1 ， c os B 1 2 ， A 45 ， B 60 ， C 18 0 A B 75 . ABC 是銳角三角形 ( 2) 由 ( 1) 知 ， s i n A 2 2 ， c os B 1 2 ， (1 s i n A ) 2 2 c o s B (3 t a n C ) 0 1 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 . 一、選擇題 ( 每小題 4 分，共 48 分 ) 1 如圖， ABC 中， B 90 ， BC 2 AB ，則 c os A ( D ) A 5 2 B 1 2 C 2 5 5 D 5 5 2 ( 2016
12、永州 ) 下列式子錯誤的是 ( ) A c os 40 s i n 50 B t a n 15 t an 75 1 C s i n 2 25 c os 2 25 1 D s i n 60 2 s i n 30 【解析】 s i n 4 0 s i n ( 9 0 50 ) c o s 5 0 ； t a n 1 5 t a n 7 5 t a n 1 5 c o t 1 5 1 ； s i n 2 2 5 c o s 2 25 1 ； s i n 6 0 3 2 ， s i n 3 0 1 2 ， 則 s i n 6 0 2 s i n 3 0 錯誤故 選 D 【答案】 D 3 ( 2016
13、淄博 ) 如圖是由邊長相同的小正方形組 成的網(wǎng)格， A ， B ， P ， Q 四點均在正方形網(wǎng)格的格 點上線段 AB ， PQ 相交于點 M . 則圖中 Q M B 的 正切值是 ( ) 【導(dǎo)學(xué)號 90280264 】 A 1 2 B 1 C 3 D 2 【解析】 如圖 ， 過點 P 作 PC AB ， 連接 Q C 則 Q M B P ， 借助網(wǎng)格可 判斷 PQ 2 10 ， PC 2 2 ， QC 4 2 ， PQ 2 PC 2 QC 2 ， 三角形 P C Q 為直角三角形 ， P C Q 9 0 ， t a n Q M B t a n P QC PC 2 .故選 D 【答案】 D 4
14、 ( 2016 綿陽 ) 如圖， ABC 中 AB AC 4 ， C 72 ， D 是 AB 中點，點 E 在 AC 上， DE AB ， 則 c o s A 的值為 ( ) 【導(dǎo)學(xué)號 90280265 】 A 5 1 2 B 5 1 4 C 5 1 4 D 5 1 2 【解析】 ABC 中 ， AB AC 4 ， C 72 ， ABC C 72 ， A 36 . D 是 AB 中點 ， DE A B , AE BE ， ABE A 36 ， EBC ABC ABE 36 ， BEC 180 EBC C 72 ， BEC C , BE BC ， AE BE B C 設(shè) AE x ，則 BE B
15、C x ， CE 4 x . 在 BCE 與 ABC 中 ， CBE BAC 36 ， C ABC 7 2 ， BCE ABC ， CE BC BE AC ， 即 4 x x x 4 ， 解得 x 2 2 5 ( 負(fù)值舍去 ) ， AE 2 2 5 . 在 A D E 中 ， A D E 9 0 ， c os A AD AE 2 2 2 5 5 1 4 .故選 C 【答案】 C 5 ( 2016 福州 ) 如圖，以 O 為圓心，半 徑為 1 的弧 交坐標(biāo)軸于 A ， B 兩點， P 是 AB 上一點 ( 不與 A ， B 重合 ) ，連接 OP ，設(shè) P O B ，則點 P 的坐標(biāo)是 ( )
16、A ( s i n ， s i n ) B ( c os ， c os ) C ( c os ， s i n ) D ( s i n ， c os ) 【解析】 如圖 ， 過 P 作 PQ OB ， 交 OB 于點 Q ， 在 Rt O P Q 中 ， OP 1 ， P O Q ， s i n PQ OP ， c os OQ OP ， 即 PQ s i n ， OQ c os ， 則點 P 的坐標(biāo)為 ( c os ， s i n ) 故選 C 【答案】 C 6 如圖 ，點 A 為 邊上的任意一點，作 AC BC 于點 C ， CD AB 于點 D ，下列用線段比表示 c os 的 值，錯誤的是
17、 ( C ) A BD BC B BC AB C AD AC D CD AC 7 在 ABC 中， ( 3 t an A 3 ) 2 |2 c os B 3 | 0 ， 則 ABC 為 ( ) 【導(dǎo)學(xué)號 90280266 】 A 直角三角形 B 等邊三角形 C 含 60 的任意三角形 D 是頂角為鈍角的等腰三角 形 【解析】 ( 3 t a n A 3) 2 | 2 c o s B 3 | 0 ， 3 t a n A 3 0 ， 2 c o s B 3 0 . t a n A 3 ， c o s B 3 2 . A 60 ， B 3 0 . ABC 為直角三角形故選 A 【答案】 A 8 (
18、2016 攀枝花 ) 如圖，點 D ( 0 ， 3 ) ， O ( 0 ， 0 ) ， C ( 4 ， 0 ) 在 A 上， BD 是 A 的一條弦，則 s i n O B D ( ) A 1 2 B 3 4 C 4 5 D 3 5 【解析】 D (0 ， 3) ， C (4 ， 0) ， OD 3 ， OC 4 . C O D 90 ， CD 3 2 4 2 5 .如圖 ， 連接 CD ， O B D O C D ， s i n O B D s i n O C D OD CD 3 5 .故選 D 【答案】 D 9 如圖，在 Rt BAD 中，延長斜邊 BD 到點 C ， 使 DC 1 2 B
19、D ，連接 AC ，若 t an B 5 3 ，則 t an CAD 的值為 ( ) A 3 3 B 3 5 C 1 3 D 1 5 【解析】 如圖 ， 延長 AD ， 過點 C 作 CE AD ， 垂足為 E ， t an B 5 3 ， 即 AD AB 5 3 ， 設(shè) AD 5 x ( x 0) ， 則 AB 3 x. C D E B D A ， CED BAD ， C D E BD A CE AB DE AD CD BD 1 2 . CE 3 2 x ， DE 5 2 x. AE 15 2 x. t an CAD EC AE 1 5 .故選 D 【答案】 D 10 如圖，在 ABC 中，
20、 BAC 90 ， AB AC ，點 D 為邊 AC 的中點， DE BC 于點 E ，連接 BD ，則 t a n D B C 的值為 ( ) 【導(dǎo)學(xué)號 90280267 】 A 1 3 B 2 1 C 2 3 D 1 4 【解析】 在 ABC 中 ， BAC 90 ， AB AC ， ABC C 45 ， BC 2 A C 又 點 D 為邊 AC 的中點 ， AD DC 1 2 A C DE BC 于點 E ， C D E C 45 . DE EC 2 2 DC 2 4 A C t an D B C DE BE 2 4 AC 2 AC 2 4 AC 1 3 . 故選 A 【答案】 A 11
21、 ( 2016 菏澤 ) 如圖， ABC 與 A B C 都是等 腰三角形，且 AB AC 5 ， A B A C 3 ，若 B B 90 ，則 ABC 與 A B C 的面積比為 ( ) 【導(dǎo)學(xué)號 90280268 】 A 25 9 B 5 3 C 5 3 D 5 5 3 3 【解析】 如圖 ， 過點 A 作 AD BC 于點 D ， 過點 A 作 A D B C 于點 D ， ABC 與 A B C 都是等腰三角形 ， B C ， B C ， BC 2 BD ， B C 2 B D ， AD AB s i n B ， A D A B s i n B ， BC 2 BD 2 AB c os
22、B ， B C 2 B D 2 A B c os B . B B 90 ， s i n B c os B ， s i n B c o s B S BAC 1 2 AD BC 1 2 AB s i n B 2 AB c os B 25s i n B c os B ， S A B C 1 2 A D B C 1 2 A B c os B 2 A B s i n B 9 s i n B c os B ， S BAC S A B C 25 9 . 故選 A 【答案】 A 12 如圖，在四邊形 ABCD 中， AB AD 6 ， AB BC ， AD CD ， BAD 60 ，點 M ， N 分別在 A
23、B ， AD 邊上，若 AM MB AN ND 1 2 ， 則 t an M C N ( ) 【導(dǎo)學(xué)號 90280269 】 A 3 3 13 B 2 5 11 C 2 3 9 D 5 2 【解析】 如圖 ， 連接 AC ， MN ， 在 Rt ABC 和 Rt A D C 中 ， AC AC ， AB AD ， Rt ABC Rt AD C BAC D A C 30 . 在 Rt ABC 中 ， BAC 30 ， AB 6 ， BC 2 3 ， BM 4 . 在 Rt B M C 中 ， 根據(jù)勾股定理 ， 得 MC 2 7 ， 同理可得 NC 2 7 . 在 A M N 中 ， AM AN
24、， M A N 60 ， A M N 是等邊三角形 ， MN 2 . 在 C M N 中 ， MC 2 7 ， NC 2 7 ， MN 2 ， 過點 M 作 MH CN 于點 H ， 并設(shè) AC 與 MN 的交點為 O ， CO （ 2 7 ） 2 1 2 3 3 . 由面積相等 ， 可得 M N C O C N M H ， 即 2 3 3 2 7 MH ， MH 3 21 7 ， CH ( )2 7 2 3 21 7 2 13 7 7 . 在 Rt M H C 中 ， t an M C N MH CH 3 3 13 . 故選 A 【答案】 A 二、填空題 ( 每小題 4 分，共 20 分 )
25、 13 ( 2016 杭州 ) t a n 60 3 14 ( 2016 臨沂 ) 一般地，當(dāng) ， 為任意角時， s i n ( ) 與 s i n ( ) 的值可以用下面的公式求得： s i n ( ) s i n c os c os s i n ； s i n ( ) s i n c os c os s i n .例如 s i n 90 s i n ( 60 30 ) s i n 60 c os 30 c os 60 s i n 30 3 2 3 2 1 2 1 2 1. 類似地，可以 求得 s i n 15 的值是 【解析】 s i n 15 s i n ( 60 45 ) s i n
26、60 c o s 45 c os 60 s i n 45 3 2 2 2 1 2 2 2 6 2 4 . 【答案】 6 2 4 15 ( 2016 福州 ) 如圖， 6 個形狀、大小完全相同的 菱形組成網(wǎng)格，菱形的頂點稱為格點已知菱形的一 個角 ( O ) 為 60 ， A ， B ， C 都在格點上，則 t a n ABC 的值是 【導(dǎo)學(xué)號 90280270 】 【解析】 如圖 ， 延長 BC 交網(wǎng)格于格點 E ， 連接 EA ， 設(shè)菱形的邊長為 a ， 由題意得 AEF 30 ， BEF 60 ， AE 3 a ， EB 2 a AEB 90 ， t a n ABC AE BE 3 a 2
27、 a 3 2 . 【答案】 3 2 16 如圖，在 ABC 中， AB AC 5 ， BC 8. 若 B P C 1 2 BAC ，則 t an B P C 【導(dǎo)學(xué)號 90280271 】 【解析】 如圖 ， 作 AD BC 于點 D ， AB AC 5 ， BC 8 ， BD CD 1 2 BC 4 ， B A D 1 2 BA C 在 Rt ABD 中 ， AD AB 2 BD 2 5 2 4 2 3 . B P C 1 2 BAC ， t a n B P C t an BAD BD AD 4 3 . 【答案】 4 3 17 ( 2016 鹽城 ) 已知 ABC 中， t an B 2 3
28、 ， BC 6 ， 過點 A 作 BC 邊上的高，垂足為點 D ，且滿足 BD CD 2 1 ，則 ABC 面積的所有可能值為 【導(dǎo)學(xué)號 90280272 】 【解析】 如圖 1 所示 ， BC 6 ， BD CD 2 1 , BD 4 . AD BC ， t an B 2 3 ， AD BD 2 3 ， AD 2 3 BD 8 3 ， S AB C 1 2 BC AD 1 2 6 8 3 8 ； 如圖 2 所示 ， BC 6 ， BD CD 2 1 ， BD 12 . AD BC ， t an B 2 3 ， AD BD 2 3 ， AD 2 3 BD 8 , S AB C 1 2 B C
29、A D 1 2 6 8 24 . 綜上可知 ， ABC 面積的所有可能值為 8 或 24 . 【答案】 8 或 24 三、解答題 ( 共 32 分 ) 18 ( 每小題 4 分，共 8 分 ) ( 1 ) 計算： c o s 60 2 2 s i n 45 t an 30 c os 30 . 解： 原式 1 2 2 2 2 2 3 3 3 2 1 2 1 2 1 2 3 2 . ( 2 ) 計算： ( 2 0 1 5 ) 0 1 3 1 | 3 1| 3 t a n 3 0 6 1 3 . 解： 原式 1 3 3 1 3 3 3 2 3 2 3 3 . 19 ( 6 分 ) ( 2 0 1 6
30、 連云港 ) 如圖，在 ABC 中， C 150 ， AC 4 ， t a n B 1 8 . ( 1 ) 求 BC 的長； 解： 如圖 1 所示 ， 過點 A 作 AD BC ， 交 BC 的 延長線于點 D 在 Rt A D C 中 ， AC 4 ， ACB 150 ， ACD 30 ， AD 1 2 AC 2 , C D AC c os 30 4 3 2 2 3 . 在 Rt ABD 中 ， t a n B AD BD 2 BD 1 8 ， BD 16 ， BC BD CD 16 2 3 ； ( 2 ) 利用此圖形求 t an 15 的值 ( 精確到 0. 1 ， 參考數(shù)據(jù)： 2 1.
31、4 ， 3 1. 7 ， 5 2. 2 ) 解： 如圖 2 所示 ， 在 BC 邊上取一點 M ， 使 得 CM AC ， 連接 A M . ACB 150 ， A M C M A C 15 ， t an 1 5 t a n A M D AD MD 2 4 2 3 1 2 3 1 2 1 . 7 0 . 3 . 20 ( 8 分 ) 如圖，在 Rt ABC 中， C 90 ， A 的平分線交 BC 于點 E ， EF AB 于點 F ， 點 F 恰好是 AB 的一個三等分點 ( AF BF ) 【導(dǎo)學(xué)號 90280273 】 ( 1 ) 求證： ACE AFE ； 分析： 可用 A A S 證
32、明也可用 HL 證明兩個直角三 角形全等； 證明： 方法 1 ： AE 平分 CAB ， CAE BAE. 又 AE AE ， C AFE 90 ， ACE AFE. 方法 2 ： AE 平分 CAB ， C 90 ， EF AB 于點 F ， EC E F . 又 AE AE ， ACE AFE. ( 2 ) 求 t a n CAE 的值 分析： 設(shè) AB 3 x ( x 0) ， 因此 AC ， AF ， BF ， BC 均能用含 x 的代數(shù)式表示 ， 再在 BEF 中利用勾股定 理 ， 將 EF ， CE 轉(zhuǎn)化為用含 x 的代數(shù)式表示 ， 從而 t a n CAE 可求 解： 設(shè) AB
33、3 x ( x 0) ， 則 AF AC 2 x ， BC AB 2 AC 2 9 x 2 4 x 2 5 x. 由 ( 1) 知 CE EF ， 設(shè) CE EF m ( m 0) 在 BEF 中 ， BE 2 EF 2 BF 2 ， 即 ( 5 x m ) 2 m 2 x 2 ， x 0 ， m 2 5 5 x. 故 t an CAE CE AC 2 5 5 x 2 x 5 5 . 點評： 本題考查了 直角三角形全等的判定及銳角 正切的概念 ， 解題的關(guān)鍵是第 ( 2 ) 問求 CE 與 AC ， 可通 過設(shè) AB 3 x ， 用含 x 的代數(shù)式表示 CE. 21 ( 10 分 ) 閱讀下面
34、的材料，先完成閱讀填空， 再按要求答題： s i n 30 1 2 ， c os 30 3 2 ， 則 s i n 2 30 c os 2 30 1 ； s i n 45 2 2 ， c os 45 2 2 ， 則 s i n 2 45 c os 2 45 1 ； s i n 60 3 2 ， c os 60 1 2 ， 則 s i n 2 60 c os 2 60 1 ； 觀察上述等式，猜想：對任意銳角 A ，都有 s i n 2 A c os 2 A 1 【導(dǎo)學(xué)號 90280274 】 ( 1 ) 如圖，在銳角三角形 ABC 中，利用三角函數(shù)的 定義及勾股定理對 A 證明你的猜想； ( 1) 證明： 如圖 ， 過點 B 作 BH AC 于點 H ， 則 BH 2 AH 2 AB 2 ， s i n A BH AB ， c os A AH AB . s i n 2 A c o s 2 A BH 2 AB 2 AH 2 AB 2 BH 2 AH 2 AB 2 1 . ( 2 ) 已知： A 為銳角 ( c os A 0 ) 且 s i n A 3 5 ， 求 c os A 解： s i n 2 A c os 2 A 1 ， s i n A 3 5 ， c os 2 A 1 3 5 2 16 25 . c os A 0 ， c os A 4 5 .
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