《《微積分基本定理》PPT課件.ppt》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《《微積分基本定理》PPT課件.ppt（34頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、課堂講練互動(dòng) 課前探究學(xué)習(xí) 1.6 微積分基本定理 課堂講練互動(dòng) 課前探究學(xué)習(xí) 【 課標(biāo)要求 】 1 了 解微積分基本定理的內(nèi)容與含義 2會(huì)利用微積分基本定理求函數(shù)的定積分 【 核心掃描 】 1用微積分基本定理求函數(shù)的定積分是本課的重點(diǎn) 2對(duì)微積分基本定理的考查常以選擇、填空題的形式出現(xiàn) 課堂講練互動(dòng) 課前探究學(xué)習(xí) 內(nèi)容 如果 f ( x ) 是區(qū)間 a ， b 上的 函數(shù)，并且 F ( x ) ，那么 dxxf b a )( 這個(gè) 結(jié)論叫做微積分基本定理 符號(hào) f ( x )d x F ( x ) b a 1 微積分基本定理 連續(xù) f(x) F(b) F(a) F(b) F(a) 課堂講練互
2、動(dòng) 課前探究學(xué)習(xí) 2 定積分和曲邊梯形面積的關(guān)系 設(shè) 曲邊梯形在 x軸上方的面積為 S上 ， x軸下方的面積為 S下 ， 則 (1)當(dāng)曲邊梯形的面積在 x軸上方時(shí) ， 如圖 (1)， 則 圖 (1) 圖 (2) 課堂講練互動(dòng) 課前探究學(xué)習(xí) ( 2) 當(dāng)曲邊梯形的面積在 x 軸下方時(shí)，如圖 ( 2) ， 則 a b f ( x )d x ( 3) 當(dāng)曲邊梯形的面積在 x 軸上方、 x 軸下方均存在時(shí)，如圖 ( 3) ， 則 a b f ( x )d x 若 S 上 S 下 ，則 a b f ( x )d x . 圖 (3) S下 S上 S下 0 課堂講練互動(dòng) 課前探究學(xué)習(xí) 想一想： 在上面圖 (
3、1)、 圖 (2)、 圖 (3)中的三個(gè)圖形陰影部分的面積 分別怎樣表示 ？ 提示 根據(jù)定積分與曲邊梯形的面積的關(guān)系知： 課堂講練互動(dòng) 課前探究學(xué)習(xí) 1 微積分基本定理的理解 (1)微積分基本定理揭示了導(dǎo)數(shù)與定積分之間的聯(lián)系 ， 同時(shí)它也 提供了計(jì)算定積分的一種有效方法 (2)根據(jù)定積分的定義求定積分往往比較困難 ， 而利用微積分基 本定理求定積分比較方便 課堂講練互動(dòng) 課前探究學(xué)習(xí) (3)設(shè) f(x)是定義在區(qū)間 I上的一個(gè)函數(shù) ， 如果存在函數(shù) F(x)， 在區(qū)間 I上的任意一點(diǎn) x處都有 F(x) f(x)， 那么 F(x)叫做函數(shù) f(x)在區(qū)間 I上 的一個(gè)原函數(shù) 根據(jù)定義 ， 求函
4、數(shù) f(x)的原函數(shù) ， 就是要求一個(gè)函 數(shù) F(x)， 使它的導(dǎo)數(shù) F(x)等于 f(x) 由于 F(x) c F(x) f(x)， 所 以 F(x) c也是 f(x)的原函數(shù) ， 其中 c為常數(shù) (4)利用微積分基本定理求定積分 的關(guān)鍵是找出滿足 F(x) f(x)的函數(shù) F(x)， 通常 ， 我們可以運(yùn)用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式 和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則從反方向上求出 F(x) 課堂講練互動(dòng) 課前探究學(xué)習(xí) 2 被積函數(shù)為分段函數(shù)或絕對(duì)值函數(shù)時(shí)的正確處理方式 分 段函數(shù)和絕對(duì)值函數(shù)積分時(shí)要分段去積和去掉絕對(duì)值符號(hào)去 積 處理這類積分一定要弄清分段臨界點(diǎn) ， 同時(shí)對(duì)于定積分的 性質(zhì) ， 必須熟記在
5、心 課堂講練互動(dòng) 課前探究學(xué)習(xí) 3 常用的基本初等函數(shù) f ( x ) 和它的一個(gè)原函數(shù) F ( x ) 如下： (1) 若 f ( x ) c ( c 為常數(shù) ) ，則 F ( x ) cx ； (2) 若 f ( x ) x n ( n 1) ，則 F ( x ) 1 n 1 x n 1 ； (3) 若 f ( x ) 1 x ，則 F ( x ) l n x ( x 0 ) ； (4) 若 f ( x ) e x ，則 F ( x ) e x ； (5) 若 f ( x ) a x ，則 F ( x ) 1 ln a a x ( a 0 且 a 1) ； (6) 若 f ( x ) si
6、n x ，則 F ( x ) c os x ； (7) 若 f ( x ) c os x ，則 F ( x ) sin x . 課堂講練互動(dòng) 課前探究學(xué)習(xí) 題型一 求簡(jiǎn)單函數(shù)的定積分 【 例 1】 計(jì) 算下列定積分 思路探索 解答本題可先求被積函數(shù)的原函數(shù)；然后利用微積 分基本定理求解 課堂講練互動(dòng) 課前探究學(xué)習(xí) 解 (1) 因?yàn)?(3 x ) 3 ， 所以 3d x (3 x ) 2 1 3 2 3 1 3. (2) 因?yàn)?( x 2 3 x ) 2 x 3 ， 所以 (2 x 3) d x ( x 2 3 x ) 2 0 2 2 3 2 (0 2 3 0) 10. (3) 因?yàn)?2 x 2
7、 x 3 3 4 x x 2 ， 所以 (4 x x 2 )d x 2 x 2 x 3 3 3 1 2 3 2 3 3 3 2 1 2 1 3 3 20 3 . 課堂講練互動(dòng) 課前探究學(xué)習(xí) ( 4) 因?yàn)?1 6 x 1 6 ( x 1) 5 ， 所以 ( x 1) 5 d x 1 6 ( x 1) 6 2 1 1 6 (2 1) 6 1 6 (1 1) 6 1 6 . 課堂講練互動(dòng) 課前探究學(xué)習(xí) (1)用微積分基本定理求定積分的步驟： 求 f(x)的一個(gè)原函數(shù) F(x)； 計(jì)算 F(b) F(a) (2)注意事項(xiàng)： 有時(shí)需先化簡(jiǎn) ， 再求積分； f(x)的原函數(shù)有無(wú)窮多個(gè) ， 如 F(x)
8、c， 計(jì)算時(shí) ， 一般只寫一個(gè)最 簡(jiǎn)單的 ， 不再加任意常數(shù) c. 課堂講練互動(dòng) 課前探究學(xué)習(xí) 【 變式 1】 求下列定積分： 課堂講練互動(dòng) 課前探究學(xué)習(xí) 題型二 求較復(fù)雜函數(shù)的定積分 【例 2 】 求 下列定積分： 思路探索 化簡(jiǎn)被積函數(shù) 轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)的積分 求原函數(shù) 求定積分 課堂講練互動(dòng) 課前探究學(xué)習(xí) 解 ( 1) x (1 x ) x x ， 課堂講練互動(dòng) 課前探究學(xué)習(xí) 課堂講練互動(dòng) 課前探究學(xué)習(xí) 求較復(fù)雜函數(shù)的定積分的方法： (1)掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則 ， 正確求解被積 函數(shù)的原函數(shù) ， 當(dāng)原函數(shù)不易求時(shí) ， 可將被積函數(shù)適當(dāng)變形后求 解 ， 具體方法是能化簡(jiǎn)的
9、化簡(jiǎn) ， 不能化簡(jiǎn)的變?yōu)閮绾瘮?shù) 、 正 、 余 函數(shù) 、 指數(shù) 、 對(duì)數(shù)函數(shù)與常數(shù)的和與差 (2)精確定位積分區(qū)間 ， 分清積分下限與積分上限 課堂講練互動(dòng) 課前探究學(xué)習(xí) 【變式 2 】 計(jì)算下列定積分： 解 ( 1) sin x sin 2 x 的一個(gè)原函數(shù)是 c os x 1 2 c os 2 x ， c os x 1 2 c os 2 x 3 0 1 2 1 4 1 1 2 1 4 . 課堂講練互動(dòng) 課前探究學(xué)習(xí) 課堂講練互動(dòng) 課前探究學(xué)習(xí) 題型三 定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用 【例 3 】 已知 f ( a ) (2 ax 2 a 2 x )d x ，求 f ( a ) 的最大值 思路探索 求 2
10、 ax 2 a 2 x 的原函數(shù) 求 f a 利用二次函數(shù)性質(zhì)求最值 課堂講練互動(dòng) 課前探究學(xué)習(xí) 解 2 3 ax 3 1 2 a 2 x 2 2 ax 2 a 2 x ， 即 f ( a ) 2 3 a 1 2 a 2 1 2 a 2 4 3 a 4 9 2 9 1 2 a 2 3 2 2 9 ， 當(dāng) a 2 3 時(shí)， f ( a ) 有最大值 2 9 . 課堂講練互動(dòng) 課前探究學(xué)習(xí) 定積分的應(yīng)用體現(xiàn)了積分與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，可以通過(guò) 積分構(gòu)造新的函數(shù)，進(jìn)而對(duì)這一函數(shù)進(jìn)行性質(zhì)、最值等方面的考 查，解題過(guò)程中注意體會(huì)轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用 課堂講練互動(dòng) 課前探究學(xué)習(xí) 【變式 3 】 已 知 f ( x
11、) ax 2 bx c ( a 0) ，且 f ( 1) 2 ， f (0) 0 ， f ( x )d x 2 ，求 a 、 b 、 c 的值 解 由 f ( 1) 2 ，得 a b c 2. 又 f ( x ) 2 ax b ， f (0) b 0 ， 1 3 a 1 2 b c ， 1 3 a 1 2 b c 2 ， 由 式得 a 6 ， b 0 ， c 4. 課堂講練互動(dòng) 課前探究學(xué)習(xí) 題型四 求分段函數(shù)的定積分 【例 4 】 計(jì)算下列定積分： (1) 分段函數(shù)的定積分采用分段來(lái)求 (2) 求帶絕對(duì)值符號(hào)的函數(shù)的定積分，先去掉絕對(duì)值符號(hào)，然 后再分段求解 課堂講練互動(dòng) 課前探究學(xué)習(xí) 課堂
12、講練互動(dòng) 課前探究學(xué)習(xí) 課堂講練互動(dòng) 課前探究學(xué)習(xí) 【 題后反思 】 (1)求分段函數(shù)的定積分時(shí) ， 可利用積分性質(zhì)將其表 示為幾段積分和的形式； (2)帶絕對(duì)值的解析式 ， 先根據(jù)絕對(duì)值的意義找到分界點(diǎn) ， 去掉絕 對(duì)值號(hào) ， 化為分段函數(shù)； (3)含有字母參數(shù)的絕對(duì)值問(wèn)題要注意分類討論 課堂講練互動(dòng) 課前探究學(xué)習(xí) 【變式 4 】 求 ( | 2 x 3| |3 2 x | ) d x . 解 |2 x 3| |3 2 x | 4 x ， x 3 2 ， 課堂講練互動(dòng) 課前探究學(xué)習(xí) 課堂講練互動(dòng) 課前探究學(xué)習(xí) 誤區(qū)警示 原函數(shù)求錯(cuò)而導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤 【示例】 計(jì)算 1 x d x . 錯(cuò)解 (l n x ) 1 x ， ln( 1) 、 ln( 2) 無(wú)意義， 此積分不能用初等函數(shù)表示 課堂講練互動(dòng) 課前探究學(xué)習(xí) 被積函數(shù)的原函數(shù)求錯(cuò) 積分區(qū)間為 2 ， 1 ， x 0 ， 因此有 ( ln | x |) ( ln( x ) 1 x ( x 0) 課堂講練互動(dòng) 課前探究學(xué)習(xí) 求 f(x)在某個(gè)區(qū)間上的定積分，關(guān)鍵是求出被積函數(shù) f(x) 的一個(gè)原函數(shù)，即要正確運(yùn)用求導(dǎo)運(yùn)算與求定積分運(yùn)算互為逆運(yùn) 算的關(guān)系
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