【備戰(zhàn)2014】高中數(shù)學(xué)第36講基本不等式配套試題(含解析)理新人教B版

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1、 [ 第 36 講 基本不等式 ] ( 時間： 45 分鐘 分值： 100 分 ) 基礎(chǔ)熱身 1．已知直角三角形的面積等于 50，則兩直角邊 的和的最小值是 ( ) A． 25 B ． 20 C． 16 D ． 10 2．[2013 青島模擬 ] 已知 >0， >0，且 2 ＋ ＝ 4，則 1 的最小值為 () a b a b ab 1 1

2、A. 4 B ． 4 C. 2 D ． 2 3．[2013 福建卷 ] 下列不等式一定成立的是 ( ) 2 1 A． lg x ＋4 ＞ lg x( x＞ 0) 1 x≥ 2( x≠ kπ ， k∈ Z) B． sin x＋ sin C． x2＋1≥2| x|( x∈ R) 1 D. x2＋ 1＞1( x∈ R) 4．[2013 鄭州質(zhì)檢 ] 設(shè) a

3、>0， b>0，若 a b 1 1 3是 3 與 3 的等比中項，則 a＋ b的最小值為 ________． 能力提升 5．已知函數(shù) g( x) ＝ 2x ，且有 g( a) g( b) ＝ 2，若 a>0 且 b>0，則 ab 的最大值為 ( ) 11 A. 2 B. 4 C． 2 D ． 4 6．下列函數(shù)中，最小值為 2 的函數(shù)是 () 2 1 A． y ＝ x ＋ 2＋ x2＋ 2 B． y ＝ x2＋ 1 x

4、 C． y＝x(2 2－ x)(0< x<2 2) D． ＝ x2＋ 2 x2＋ 1 y a 7．[2013 福州質(zhì)檢 ] 設(shè) a>0，若關(guān)于 x 的不等式 x＋ x－ 1≥ 5 在 (1 ，＋∞ ) 上恒成立， 則 a 的最小 值為 ( ) 1 A． 16 B ． 9 C． 4 D ． 2 1 1 8．已知向量 a＝ ( x，－ 1) ， b＝ ( y－ 1， 1) ， x， y∈R＋ ，若 a∥b，則 t

5、 ＝ x＋ x＋y＋ y的 最小值是 ( ) A． 4 B ． 5 C ． 6 D ． 8 9．某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準(zhǔn)備費用為 800 元．若每批生產(chǎn) x 件，則平 x 1 元．為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費 均倉儲時間為 8天，且每件產(chǎn)品每天的倉儲費用為 用與倉儲費用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品( ) A． 60 件 B ． 80 件 C． 100 件 D ．120 件

6、 10．公差為 ，各項均為正整數(shù)的等差數(shù)列中，若 1 ＝ 1， n＝ 51，則 n ＋ d 的最小值等 d a a 于 ________． 11．[2013 寧波質(zhì)檢 ] 已知點 A( m， n) 在直線 x＋ 2y－ 1＝ 0 上，則 2m＋ 4n 的最小值為 ________． x≤ 1， 12 ．已知不等式組 x＋ y＋2≥0，表示的平面區(qū)域為 Ω ，其中 k ≥ ，則當(dāng) Ω 的面積最 0 kx － y≥0

7、 小時的 k 為________． 13．[2013 興化二模 ] 已知 f ( x) ＝log 2( x－ 2) ，若實數(shù) m， n 滿足 f ( m) ＋ f (2 n) ＝ 3， 則 m＋ n 的最小值為 ________． 14． (10 分 ) 已知 a， b，c 都是正實數(shù)，且滿足 log 9(9 a＋ b) ＝log 3 ab，求使 4a＋ b≥ c 恒成立的 c 的取值范圍． 15．(13 分)[2013 煙臺一調(diào) ] 某商店預(yù)備在

8、一個月內(nèi)分批購入每張價值為 20 元的書 桌共 36 張，每批都購入 x 張 ( x 是正整數(shù) ) ，且每批均需付運費 4 元，儲存購入的書桌一個 月所付的保管費與每批購入書桌的總價值 ( 不含運費 ) 成正比 ，若每批購入 4 張，則該月需 用去運費和保管費共 52 元，現(xiàn)在全月只有 48 元資金可以用于支付運費和保管費． (1) 求該月需用去的運費和保管費的總費用f ( x) ； (2) 能否恰當(dāng)?shù)匕才琶颗M(jìn)貨的數(shù)量，使資金夠用？寫出你的結(jié)論，并說明理由． 2

9、 難點突破 16．(12 分)[2013 江蘇卷 ] 如圖 K36－1，建立平面直角坐標(biāo)系 xOy，x 軸在地平面上， y 軸垂直于地平面，單位長度為 1 km，某炮位于坐標(biāo)原點．已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程 y ＝ kx － 1 (1 ＋k2) x2( k＞ 0) 表示的曲線上， 其中 k 與發(fā)射方向有關(guān)． 炮的射程是指炮彈落地點 20 的橫坐標(biāo)． (1) 求炮的最大射程； (2) 設(shè)在第一象限有一飛行物 ( 忽略其大小 ) ，其飛行高度為 3.2 km ，試問它的橫

10、坐標(biāo) a 不超過多少時，炮彈可以擊中它？請說明理由． 圖 K36－ 1 3 )

11、 4 課時作業(yè) ( 三十六 ) 【基礎(chǔ)熱身】 1 1． B [ 解析 ] 設(shè)兩直角邊長為

12、a，b，則 2ab＝ 50，即 ab＝ 100， ∴ a＋ b≥2 ab＝ 20，當(dāng)且僅當(dāng) a＝b＝ 10 時， a＋ b 有最小值，最小值為 20，故選 B. 1 4 2a＋ b 1 1 1 1 1 1 2． C [ 解析 ] 因為 a>0，b>0，則 ＝ ＝ 4ab ＝ ＋ ≥ 2 ，即 ≥ . ab 4ab 2b 4a 2b 4a ab 2 當(dāng)且僅當(dāng) b＝ 2 a，即 a＝

13、1， b＝ 2 時，等號成立，故選 C. ． 解析 ] 對于 A 選項，當(dāng) x ＝ 1時， lg x2＋ 1 ＝ lg x ；所以 A 不一定正確； B 選項， 3 C [ 2 4 需要滿足當(dāng) sin x>0 時，不等式成立，所以 B 也不正確； C 選項顯然正確； D 不正確，∵ x2 1

14、 ＋1≥1，∴ 0< x2＋ 1≤ 1，所以正確的是 C. 4． 4 [ 解析 ] 由 3是 3a 與 3b 的等比中項，得 3a 3b＝ ( 3) 2，即 a ＋ ＝ 1， b b a ∴ a＋b＝ ( a＋ b) a＋ b ＝ 2＋a＋ b1111 b a 1 1 1 ≥ 2＋ 2 a b＝ 4，當(dāng)且僅當(dāng) a＝ b＝ 2時，等號成立

15、，即 a＋b的最小值為 4. 【能力提升】 a b a＋ b ＋ b 2 1 5． B [ 解析 ] a ∵2 2 ＝ 2 ＝ 2，∴ ＋ ＝ 1， ≤ ＝ ，故選 B. a b ab 2 4

16、 6．D [ 解析 ] 這 是用基本不等式求最值的問題，選項 A 中等號成立時的方程 x2＋ 2＝ 1 x <0 時，函數(shù)沒有最小值；選項 C 中函數(shù)沒有最小值；所以只有選 無解；選項 B 中， x2＋ 2 項 D 正確，故選 D. 7． C [ 解析 ] 由 x∈(1 ，＋∞ ) ，得 x－ 1>0， a

17、 a ∴ x－ 1＋ x－ 1≥2 a，當(dāng)且僅當(dāng) x－ 1＝ x－1，即 x＝1＋ a時，等號成立， 則 2 a≥ 4，即 a≥4，故選 C. 8． B [ 解析 ] 由已知可得 x＋ y＝ 1，利用基本不等式可得 1 1 1 1 x＋ y 1 1 2＝ 5. 故選 B. t ＝ x＋ x＋ y＋ y＝ 1＋ y＋ x＝1＋ xy ＝ 1＋ xy≥ 1＋ x＋ y

18、 2 9．B [ 解析 ] 若每批生產(chǎn) x 件產(chǎn)品，則每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費用是 800 x ，倉儲費用是 ， x 8 總的費用是 800 x ≥2 800 x 800 x x＝ 80，故選 B. x ＋ x ＝ 20，當(dāng)且僅當(dāng) ＝

19、 時取等號，得 8 8 x 8 10． 16 [ 解析 ] 由 a ＝ 51，得 a 1＋ ( － 1) ＝ 51，即 ( － 1) d ＝ 50， n d n n ∴ n＋ d＝ n－ 1＋d＋1≥2 （ n－ 1） d＋ 1＝ 10 2＋1，當(dāng)且僅當(dāng) n－ 1＝ d 時，等號成立， 又?jǐn)?shù)列各項為整數(shù)，則公差也是整數(shù)，故

20、 d ＝ 5， ＝ 11 時， ＋ d 有最小值，最小值等 n n 于 16. 11． 2 2 [ 解析 ] 由點 A( m， n) 在直線 x＋2y－ 1＝ 0 上， 得 ＋2 ＝ 1， m n ∴ m n m 2n m＋ 2n 2 ＋ 4 ≥2 2 2 ＝ 2 2 ＝ 2 2，

21、 1 mn 當(dāng)且僅當(dāng) m＝ 2n＝ 2時，等號成立，故 2 ＋ 4 的最小值為 2 2. 12 ． 1 [ 解析 ] Ω 表示 的是三角 形，其頂 點坐 標(biāo)分別為 (1 ， k) ， (1 ， － 3) ， 5 2 2k 1 2 1 2 － k ＋ 1，－ ＋ 1 ，則面積 S＝ 2 k ＋ 1＋1 ( k＋ 3) ＝ k ＋ 1＋1 [( k＋1) ＋ 2] k

22、 2 1 4 1 4 ＝ 2 4＋ k＋ 1＋（ k＋1） ≥2 4＋ 2 k＋ 1（ k＋ 1） ＝ 4， 4 當(dāng)且僅當(dāng) k＋ 1＝k＋ 1，即 k＝ 1 時等號成立． 13． 7 [ 解析 ] 由 f ( ) ＋ (2 ) ＝3， m f n 得 log 2( m－ 2) ＋ log 2(2 n－ 2) ＝3

23、，即 ( m－ 2)( n－ 1) ＝4( m>2， n>1) ， ∴ m＋ n＝ ( m－ 2) ＋ ( n－ 1) ＋3≥2 （ m－ 2）（ n－ 1）＋ 3＝ 7，當(dāng)且僅當(dāng) m－ 2＝ n－ 1，即 m＝ 4，n＝ 3 時，等號成立， 故 m＋n 的最小值 為 7. 14．解：因為 ， b 都是正實數(shù)， log 9(9 a ＋ ) ＝ log 3 ，則 a b ab log (9 a＋b) ＝ log 9 1

24、 3 ( ab) ，得 9a＋ b＝ ab，即 b＋ a＝ 1， 3 ∴ 4 a ＋ ＝ (4 a ＋ ) 9 ＋ 1 ＝13＋ 36a b 36a b b a ＋ ≥ 13＋ 2 ＝ 25，即 4 ＋ ≥25， b b b a b a a b 36a b

25、 當(dāng)且僅當(dāng) b ＝a，即 b＝6a 時等號成立． 而 c>0，所以要使 4a＋ b≥ c 恒成立， c 的取值范圍為 0

26、＝ x ＋4x(0< x≤36， x ∈ N ) ． 144 * (2) 由 (1) 知 f ( x) ＝ x ＋4x(0< x≤36， x∈N ) ， 144 ∴ f ( x) ≥2x 4x＝ 48( 元 ) ， 當(dāng)且僅當(dāng) 144 ＝4 x，即 x＝6 時，上式等號成立． x 故每批購入 6 張書桌，可以使資金夠用． 【難點突破】 1 2 2 16．解： (1) 令 y＝ 0，得 kx－ 20(1 ＋

27、 k ) x ＝ 0，由實際意義和題設(shè)條件知 x>0， k>0， 故 x＝ 20k 20 20 ＝ 10，當(dāng)且僅當(dāng) k＝ 1 時取等號． 1＋ k 2＝ 1 ≤ 2 k＋ k 所以炮的最大射程為 10 km. (2) 因為 a>0，所以 1 2 2 炮彈可擊中目標(biāo) ? 存在 k>0，使 3.2 ＝ ka－20(1 ＋ k ) a 成立 2 2 2 ? 關(guān)于 k 的方程 a k － 20ak＋a ＋

28、 64＝ 0 有正根 ? 判別式 ＝ ( － 20 ) 2－ 4a2( a2＋64) ≥0 a ? a≤ 6. 6 所以當(dāng) a 不超過 6 km 時，可擊中目標(biāo)． 7