機器人的空間描述與坐標變換.ppt

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1、1 第二章 機器人的空間描述和坐標變換 2.1 位姿和坐標系描述 2.2平移和旋轉坐標系映射 2.3平移和旋轉齊次坐標變換 2.4物體的變換和變換方程 2.5通用旋轉變換 2 z y x A p p p p 2 -1圖 位 置 表 示 2.1位置方位表示與坐標系描述 1.位置描述 矢量 Ap 表示箭頭指向點的位置矢量，其 中右上角標 “A”表示該點是用 A坐標系描述 的。 （ 2-2） 2.方位描述 坐標系 B與機械手末端工具固連，工具的姿態(tài) 可以由坐標系 B的方向來描述。而坐標系 B的方 向可以用沿三個坐標軸的單位矢量來表示 333231 232221 131211 rrr rrr rrr

2、R BABABAAB ZYX X A Z A Y A A P O A 圖 2-2方位表 示 （ 2-1） 旋轉矩陣 描述坐標系 B的姿態(tài)，矢量 描述坐標系 B的原點位 置。 3 BoAAB RB p 3.位姿描述 固連坐標系把剛體位姿描述問題轉化為坐標系的描述問題。圖 2-3 中坐標系 B可以在固定坐標系 A中描述為 （ 2-3） RAB BoAP 4 1.平移坐標變換 圖 2-3平移變換 A B O B O A A P B O A P B P BP為坐標系 B描述的某一空間位 置，我們也可以用 AP（坐標系 A）描 述同一空間位置。因為兩個坐標系具有 相同的姿態(tài)，同一個點在不同坐標系下 的描

3、述滿足以下關系 A B A BoP P P （ 2-4） 2.2平移和旋轉坐標系映 射 旋轉坐標變換的任務是已知坐標系 B描述的 一個點的位置矢量 BP和 旋轉矩陣 ，求在坐標 系 A下描述同一個點的位置矢量 AP。 5 2.旋轉坐標變 換 X A Z A Y A A P ( B P ) X B Y B Z B RAB A B T B xA A B T B yA A B T B zA p p p XP YP ZP （ 2-5） 將（ 2-5）式寫成矩陣形式得： PP Z Y X P BABB T A B T A B T A B A R （ 2-6） 圖 2-4旋轉變換 式（ 2-6）即為我們要

4、求的旋轉變換關系，該變換是通過兩個坐 標系之間的旋轉變換實現的。 6 3.復合變換 A C O B O A A P B O A P B P B 圖 2-5復合變換 如果兩個坐標系之間即存在平移 又存在旋轉，如何計算同一個空間點 在兩個坐標系下描述的變換關系？ 為了得到位置矢量 BP和 AP之 間的變換關系，我們建立一個中 間坐標系 C。 PPP BABBCBC RR A C A A B ACo B B oR P P P P P （ 2-7） （ 2-8） 為了得到位置矢量 BP和 AP之間的變換關系，只需坐標系 B 在坐標系 下 A的描述。 是 44矩陣，稱為齊次坐標變換矩陣?？梢岳斫鉃樽鴺讼?/p>

5、 B在固定坐 標系 A中的描述。 7 2.3齊次坐標變換 坐標變換（ 2-8）可以寫成以下形式 1101 PPP B Bo AA B A R （ 2-9） 將位置矢量用 41矢量表示，增加 1維的數值恒為 1，我們仍然用原 來的符號表示 4維位置矢量并采用以下符號表示坐標變換矩陣 10 Bo AA BA B RT P （ 2-10 ） PP BABA T （ 2-11） TAB 齊次坐標變換的主要作用是表達簡潔，同時在表示多個坐標變換 的時候比較方便。 1.齊次變換 8 2.齊次變換算子 在機器人學中還經常用到下面的變換，如圖 2-8，矢量 AP1沿矢量 AQ平移至的 AQ終點，得一矢量 AP

6、2。已知 AP1和 AQ求 AP2的過程稱之為 平移變換，與前面不同，這里只涉及單一坐標系。 A O A Q A P 2 A P 1 A P 1 圖 2-6平移算子 QPP AAA 12 （ 2-12） 可以采用齊次變換矩陣表示平移變換 12 )( PQP AAA T r a n s （ 2-13） )( QATrans 稱為平移算子，其表達式為 1)( 0 QQ A A IT r a n s （ 2-14） 其中 I是 33單位矩陣。例如若 AQ=ai+bj+ck， 其中 i、 j和 k分別表示坐標系 A三個坐標軸的 單位矢量，則平移算子表示為 1000 100 010 001 ),( c

7、b a cbaT r an s 9 X A Y A A P 2 Z A A P 1 q 同樣，我們可以研究矢量在同一坐標系下的旋轉 變換，如圖 2-9， AP1繞 Z軸轉 q角得到 AP2。則 圖 2-7旋轉算子 12 ),( PP AA zR o t q （ 2-20） Rot(z,q)稱為旋轉算子，其表達式為 1000 0100 00 00 ),( qq qq q cs sc zR o t （ 2-21） 同理，可以得到繞 X軸和 Y軸的旋轉算子 1000 00 00 0001 ),( qq qq q cs sc xR ot 1000 00 0010 00 ),( qq qq q cs s

8、c yR ot 10 定義了平移算子和旋轉算子以后，可以將它們復合實現復雜的映射 關系。變換算子與前面介紹的坐標變換矩陣形式完全相同，因為所有描 述均在同一坐標系下，所以不需上下標描述（坐標系）。 21AAP T P （ 2-23） TAB ABR BoAP PP BABA T 21AAP T P 齊次坐標變換總結： 表示坐標系 B在坐標系 A下的描述， 的各列是坐標系 B三個坐標軸方向的單位矢量， 而表示坐標系 B原點位置 。 2. 它是不同坐標系間的坐標變換。如 3.它是同一坐標系內的變換算子。 齊次坐標變換是復雜空間變換的基礎，必須認真理解和掌握。具體應 用的關鍵是理解它代表的是上面三種

9、含義的哪一種，而不是簡單的套用 公式！ 1. 它是坐標系的描述。 如圖 2-10表示的三個坐標系，已知坐標系 A、 B和 C之間的變換矩陣 和 位置 矢量 CP，求在坐標系 A下表示同一個點的 位置矢量 AP。 11 3.復合變換 復合變換主要有兩種應用形式，一種是建立了多個坐標系描述機器人 的位姿，任務是確定不同坐標系下對同一個量描述之間的關系；另一種是 一個空間點在同一個坐標系內順序經過多次平移或旋轉變換，任務是確定 多次變換后點的位置。 A C O B O A A P C P B O C 圖 2-10 復合坐標變換 TAB TBC PP CBCB T PPP CBCABBABA TTT

10、（ 2-24） （ 2-25） TTT BCABAC 根據坐標變換的定義得 （ 2-26） 12 X Y Z u v w (a) ZY順序旋轉 X Y Z u v w (b) Y Z順序旋轉 圖 2-11旋轉順序對 變換結果影響 例 2-3已知點 u=7i+3j+2k，先對它進行繞 Z軸旋轉 90o 的變換得點 v，再對點 v進行繞 Y軸旋轉 90o的變換得 點 w，求 v和 w。 1 2 7 3 1 2 3 7 1000 0100 0001 0010 )90,( uv ozR o t 1 3 7 2 1 2 7 3 1000 0001 0010 0100 )90,( vw oyR o t 如

11、果只關心最后的變換結果，可以按下式計算 ( , 9 0 ) ( , 9 0 ) ( , 9 0 )o o oR o t y R o t y R o t zw v u 0 0 1 0 7 2 1 0 0 0 3 7 0 1 0 0 2 3 0 0 0 1 1 1 計算結果與前面的相同，稱 R= Rot(y,90o) Rot(z,90o) 為復合旋轉算子。 13 注：固定坐標系變換，矩陣乘的順序“自右向左” 如果改變旋轉順序，先對它進行繞 y軸旋轉 90o，再繞 z軸旋轉 90o，結 果如圖 2-11b所示。比較圖 2-11a和圖 2-11b可以發(fā)現最后的結果并不相同， 即旋轉順序影響變換結果。

12、從數學角度解釋就是矩陣乘法不滿足交換率， Rot(y,90o) Rot(z,90o) Rot(z,90o) Rot(y,90o)。 和 ， 求 和 給定 計算 14 2.4物體的變換和變換方程 TAB TBA 已知坐標系 B相對坐標系 A的描述 求 坐標系 A相對坐標系 B的描述 一種直接的方法是矩陣求逆，另一種方法是根據變換矩陣的特點直 接得出逆變換。后一種方法更簡單方便。 即齊次變換的求逆問題。 TAB TBA 等價為：已知 RAB BoAP RBA AoBP 是坐標系 B的原點在 坐標系 B中的描述，顯然為零矢量。 由 （ 2-28）式得 15 根據前面的討論，旋轉矩陣關系為 TABAB

13、BA RRR 1 （ 2-27） 將坐標變換用于坐標系 B的原點得 AoBBoABABoB R PPP （ 2-28） BoBP B B A A T AA o A B o B B oRR P P P（ 2-29） 逆變換可以直接用正變換的旋轉矩陣和平移矩陣表示 10 Bo ATA B TA BB A RRT P （ 2-30） 16 A沿 xA平移 3個單位，再繞新的 zA 軸轉 180o得 B 1 8 0 1 8 0 0 1 0 0 1 8 0 1 8 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 A B cs R s c 因此 1 0 0 3 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

14、A BT B沿 z B平移 2個單位，然后繞 yB軸轉 90o再繞新 xB軸轉 150o得 C 31 22 33 11 2 2 2 2 31 22 90 0 90 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 15 0 15 0 0 1 0 0 0 90 0 90 0 15 0 15 0 1 0 0 0 1 0 0 B C cs R c s s c s c 圖 2-12楔形塊角點坐標 系 例 2-4， 如圖 2-12給出的楔形塊角點坐標系，求齊次坐標變換 ,A B A B C CT T T, 3311 2 2 2 2 33 11 2 2 2 2 1 0 0 3 0 0 0 3 0 1

15、 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 2 1 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 A A B C B CT T T 因此 A沿 xA和 zA平移 3和 2，然后繞 yA軸轉 90 ，再繞新 xA軸轉 -30 得 C 也可以按以下方法計算 31 22 33 11 2 2 2 2 31 22 9 0 0 9 0 1 0 0 0 1 0 0 3 0 3 0 9 0 0 9 0 0 3 0 3 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 A C cs R c s s c s c 17 事實上，對于像本例題這種簡單的情況，可以直

16、接利用齊次坐標變換 的定義得到變換矩陣。即直接寫出坐標系 C坐標軸矢量在坐標系 A下表 示得旋轉矩陣，平移矢量為坐標系 C的原點在坐標系 A下的矢量表示。 18 變換方程 圖 2-13表示了多個坐標系的關系圖，可以用兩種不 同的方式得到世界坐標系 U下坐標系 D的描述。 B U A D C TTT ADUAUD TTTT CDBCUBUD （ 2-31） （ 2-32） 由（ 2-31）和（ 2-32）可以得到變換方程 圖 2-13坐標變換序列 可以利用變換方程 （ 2-33） 求解其中任意一個未知變換。例如，假設 除 以外其余變換均為已知，則該未知變換可以用下式計算 TU B 11U U A

17、 C BB A D D CT T T T T 在坐標系的圖形表示方法中，從一個坐標系原點指向另一個坐標系原點 的箭頭表示坐標系的描述關系。 TTT BCUBUC （ 2-35） 1U U D DC A A CT T T T （ 2-36） 19 例 2-5假設已知圖機械臂末端工具坐標系 T相對基座 坐標系 B的描述，還已知工作臺坐標系 S相對基座 坐標系 B的描述，并且已知螺栓坐標系 G相對工作 臺坐標系 S的描述。計算螺栓相對機械臂工具坐標 系的位姿。 解：添加從工具坐標系 T原點到螺栓坐標系 G原點 的箭頭，可以得到如下變換方程 TTTT TGBTSGBS （ 2-37） 螺栓相對機械臂工

18、具坐標系的位姿描述為 TTTT SGBSBTTG 1 （ 2-38） 20 x y zf f f f i j k 1.繞任意軸旋轉變換 下面討論繞任意軸 f 旋轉矩陣，軸在坐標系 A下表示為 以 f 為 Z 軸建立與 A固連的坐標系 C用 n、 o和 f表示坐標系 C三個坐標 軸的單位矢量，在坐標系 A下表示為 Z A Z C X A Y A Y C X C A p f q 圖 2-18繞任意軸旋轉變換 x y z x y z x y z n n n o o o f f f n i j k o i j k f i j k x x x A C y y y z z z n o f R n o f

19、n o f 因為固連的坐標系 C與 A固連，所以繞 f旋轉 等價于繞 ZC旋轉。為此我們先將 Ap在坐標系 C下 表示，再繞 ZC旋轉 q 角，最后再把旋轉得到的矢量 用坐標系 A表示。 C A T ACAACRRp p p 1 ( , ) ( , ) AT ACC CR o t z R o t z Rqqp p p Ap1 = Rot(f,q) Ap 2.5通用旋轉變換 21 再將 Cp1在坐標系 A下表示 11 ( , )A A A T AAC C C CR R R o t z Rqp p p 0 ( , ) ( , ) 0 0 0 1 x y zx x x A A T C C y y y

20、 x y z z z z x y z x x y y z zx x x y y y x x y y z z z z z x y z n n nn o f cs Ro t R Ro t z R n o f s c o o o n o f f f f n c o s n c o s n c o sn o f n n o f n s o c n s o c n s o c n o f f f f qq q q q q q q q q q q q q q q q q f 1 1 1 2 2 2 3 3 3 oa n o a n o a 因此 1 2 3 x x x x x x x x x x x y

21、y x x y x y x y x z z x x z x z x z n n n c n o s n o s o o c f f n n n c n o s n o s o o c f f n n n c n o s n o s o o c f f q q q q q q q q q q q q 其中一個矢量 上式中的 n和 o各分量是未知的，需要用 f 的各分量表示 22 根據坐標系的右手規(guī)則知 no = f，叉積可以按下式計算 ( ) ( ) ( )x y z y z z y z x x z x y y x x y z n n n n o n o n o n o n o n o o o

22、o i j k n o i j k ( ) , ( ) , ( )y z z y x x y x z y x y y x zn o n o f n o n o f n o n o f 再根據旋轉矩陣的正交性可以得 1 , 0 x x x x x x x y x y x yn n o o f f n n o o f f ( , ) , 1 x x x y z x z y x y z y y y z x x z y y z x z z f f v c f f v f s f f v f s R o t f f v f s f f v c f f v f s v c f f v f s f f v

23、f s f f v c q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q f 1 2 3 x x x x x x x x x x x y y x x y x y x y x z z x x z x z x z n n n c n o s n o s o o c f f n n n c n o s n o s o o c f f n n n c n o s n o s o o c f f q q q q q q q q q q q q x x x A C y y y z z z n o f R n o f n o f 將上式對角線相加得 r11+ r22+ r3

24、3=1+2cq cq=( r11+ r22+ r33 -1)/2 23 2.等效轉軸與轉角 前面討論了給定轉軸和轉角可以得到旋轉矩陣，那么是否任意給定的旋轉 矩陣都可以確定等效的轉軸 f和轉角 q哪？也就是兩個坐標原點重合的坐標系可以 通過繞固定軸轉一定的角度來實現從一個坐標系轉換到另一個坐標系。 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3 x x x y z x z y A C x y z y y y z x x z y y z x z z f f v c f f v f s f f v f sr r r R r r r f f v f s f f v c f f

25、 v f s r r r f f v f s f f v f s f f v c q q q q q q q q q q q q q q q q q q 將關于對角線對稱的兩個元素分別相減得 r32-r23=2fxsq, r13-r31=2fysq, r21-r12=2fzsq 將上式平方求和得 ： 4s2q=( r32-r23)2+( r13-r31)2+(r21-r12)2 假設限定繞矢量 f 正向旋轉，且 0q180o，則 2 2 23 2 2 3 1 2 3 1 2 1 1 2( ) ( ) ( ) / 2s r r r r r rq 可得 q的值 q=atan(sq/cq) 24 3 2 2 3 1 3 3 1 2 1 1 2 ( ) / 2 ( ) / 2 ( ) / 2 x y z f r r s f r r s f r r s q q q 可得矢量 f 分量的值 在應用中需要注意的是，當轉角 q的值接近 0o或 180o時，方向矢量 f 各分量的值計算出現問題，屬于奇異情況。