北師大版初中數學1.4 第1課時 角平分線的性質

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1、1.4 角平分線 第一章 三角形的證明 優(yōu) 翼 課 件 導入新課 講授新課 當堂練習 課堂小結 八年級數學下（ BS） 教學課件 第 1課時 角平分線 1.會敘述角平分線的性質及判定 ;（重點） 2.能利用三角形全等，證明角平分線的性質定理， 理解和掌握角平分線性質定理和它的逆定理，能應 用這兩個性質解決一些簡單的實際問題 ;（難點） 3.經歷探索、猜想、證明的過程，進一步發(fā)展學 生的推理證明意識和能力 學習目標 情境引入 如圖，要在 S區(qū)建一個貿易市場，使它到鐵路 和公路距離相等， 離公路與鐵路交叉處 500米，這 個集貿市場應建在何處 ？ （比例尺為 1 20000） D C S 解：作夾

2、角的角平分線 OC， 截取 OD=2.5cm ,D即為所求 . O 導入新課 1. 操作測量 ：取點 P的三個不同的位置 ， 分別過點 P作 PD OA， PE OB,點 D、 E為垂足 ， 測量 PD、 PE的長 .將 三次數據填入下表： 2. 觀察測量結果，猜想線段 PD與 PE的大小關系，寫 出結： _ PD PE 第一次 第二次 第三次 C O B A PD=PE p D E 實驗： OC是 AOB的平分線，點 P是射線 OC上的 任意一點 猜想： 角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等 . 角平分線的性質 一 講授新課 驗證猜想 已知：如圖， AOC= BOC,點 P在 OC上， PD

3、 OA,PE OB,垂足分別為 D,E. 求證： PD=PE. P A O B C D E 證明： PD OA,PE OB， PDO= PEO=90 . 在 PDO和 PEO中， PDO= PEO， AOC= BOC， OP= OP， PDO PEO(AAS). PD=PE. 角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等 性質定理： 角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等 . 應用所具備的條件： （ 1） 角的平分線； （ 2） 點在該平分線上； （ 3） 垂直距離 . 定理的作用： 證明線段相等 . 應用格式： OP 是 AOB的平分線， PD = PE （ 在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等

4、 ） . 推理的理由有三個， 必須寫完全，不能少 了任何一個 . 知識要點 PD OA,PE OB， B A D O P E C 判一判： （ 1） 如下左圖， AD平分 BAC（ 已知）， = ， ( ) 在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等 BD CD B A D C (2) 如上右圖 ， DC AC， DB AB （已知） . = , ( ) 在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等 BD CD B A D C 例 1： 已知：如圖，在 ABC中， AD是它的角平分線， 且 BD=CD, DE AB, DF AC.垂足分別為 E,F. 求證： EB=FC. A B C D E F

5、 證明： AD是 BAC的角平分線， DE AB, DF AC， DE=DF, DEB= DFC=90 . 在 Rt BDE 和 Rt CDF中， DE=DF， BD=CD， Rt BDE Rt CDF(HL). EB=FC. 例 2:如圖 ， AM是 BAC的平分線 ， 點 P在 AM上 ， PD AB， PE AC， 垂足分別是 D、 E， PD=4cm， 則 PE=_cm. B A C P M D E 4 溫馨提示： 存在兩條垂線段 直接應用 A B C P 變式： 如 圖，在 Rt ABC中， AC=BC, C 90 ， AP平分 BAC交 BC于點 P，若 PC 4, AB=14.

6、（ 1）則點 P到 AB的距離為 _. D 4 溫馨提示： 存在一條垂線段 構造應用 A B C P 變式： 如圖，在 Rt ABC中， AC=BC, C 900， AP 平分 BAC交 BC于點 P，若 PC 4， AB=14. （ 2）求 APB的面積 . D 14 P D B C P D P B D B P C P B D B B C D B A D D B AB （ 3）求 PDB的周長 . ABP D=28. 1 2P D B S 由垂直平分線的性質，可知， PD=PC=4， = 1.應用角平分線性質： 存在 角平分線 涉及 距離問題 2.聯系角平分線性質： 面積 周長 條件 知識與

7、方法 利用角平分線的性 質所得到的等量關 系進行轉化求解 角平分線的判定 二 P A O B C D E 角的內部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上 思考： 交換角的平分線性質中的已知和結論，你能得到什么結 論，這個新結論正確嗎？ 角平分線的性質： 角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等 . 思考：這個結 論正確嗎？ 逆 命 題 已知：如圖， PD OA， PE OB， 垂足分別是 D、 E， PD=PE. 求證：點 P在 AOB的角平分線上 . 證明： 作射線 OP， 點 P在 AOB 角的平分線上 . 在 Rt PDO和 Rt PEO 中， （全等三角形的對應角相等） . OP=OP（公共

8、邊）， PD= PE（已知 ）， B A D O P E PD OA,PE OB. PDO= PEO=90， Rt PDO Rt PEO（ HL） . AOP= BOP 證明猜想 判定定理： 角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上 . P A O B C D E 應用所具備的條件： （ 1） 位置關系：點在角的內部 ； （ 2） 數量關系：該點到角兩邊的距離相等 . 定理的作用： 判斷點是否在角平分線上 . 應用格式： PD OA,PE OB， PD=PE. 點 P 在 AOB的平分線上 . 知識總結 例 3:如圖，已知 CBD和 BCE的平分線相交于點 F， 求證：點 F在 DAE的

9、平分線上 證明： 過點 F作 FG AE于 G， FH AD于 H， FM BC于 M. 點 F在 BCE的平分線上， FG AE， FM BC. FG FM. 又 點 F在 CBD的平分線上， FH AD， FM BC， FM FH， FG FH. 點 F在 DAE的平分線上 . G H M A B C F E D 例 4 如圖，某地有兩所大學和兩條交叉的公路圖 中點 M， N表示大學， OA， OB表示公路，現計劃修 建一座物資倉庫，希望倉庫到兩所大學的距離相同， 到兩條公路的距離也相同，你能確定出倉庫 P應該建 在什么位置嗎？請在圖中畫出你的設計 (尺規(guī)作圖， 不寫作法，保留作圖痕跡 )

10、 O N M A B O N M A B P 方法總結：到角兩邊距離相等的點在角的平分線上， 到兩點距離相等的點在兩點連線的垂直平分線上 . 解：如圖所示： 歸納總結 圖形 已知 條件 結論 P C P C OP平分 AOB PD OA于 D PE OB于 E PD=PE OP平分 AOB PD=PE PD OA于 D PE OB于 E 角的平分線的 判定 角的平分線的 性質 當堂練習 2. ABC中 , C=90 ,AD平分 CAB,且 BC=8,BD=5,則 點 D到 AB的距離是 . A B C D 3 E 1. 如圖， DE AB， DF BG， 垂足分別 是 E， F， DE =DF

11、， EDB= 60 ， 則 EBF= 度， BE= . 60 BF E B D F A C G 3.已知用三角尺可按下面方法畫角平分線：在已知 AOB的兩 邊上，分別取 OM=ON,再分別過點 M,N作 OA,OB的垂線，交點 為 P， 畫射線 OP,則 OP平分 AOB.為什么？ A O B M N P 解：在 RT MOP和 RT NOP中， OM=ON， OP=OP， RT MOPRT NOP（ HL） . MOP= NOP，即 OP平分 AOB. 課堂小結 角平分線 性質 定理 一個點： 角平分線上的點； 二距離： 點到角兩邊的距離； 兩相等： 兩條垂線段相等 輔助線 添加 過角平分線上一點向兩邊作 垂線段 判定 定理 在一個角的內部，到角兩邊距離 相等的點在這個角的平分線上