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1、第二節(jié) 定積分 (二 ) ( ) , , ( ) , ( ) , , ( ) , ()( ) ( ) a a x x f x a b x a x b f x a x f t d x t f t dt a x b 設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 上可積 則對任意 在 上可積 進(jìn)而 存 積分上限函 ( 可變 定義 上限 在 記為 稱為 數(shù) 積分函數(shù)) ( 一) . 可變上限的定積分 二 . 定積分與不定積分的關(guān)系 牛頓 -萊布尼茲公式 , , ( ) ( ) , ( ) ( ( ) ) ( . , 1 ) x a x a x f t dt f x ab x f t dt a b 設(shè)函數(shù)在區(qū)間 上 則 在區(qū)間 上可
2、導(dǎo) 且 定 連續(xù)理 a b x y o xx )(x x ( ) , , ( ) ( ) ( ) , 2 . x a f x a b x f t dt f x a b 設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 上 則 是 在區(qū)間 上的一 理 連續(xù) 個(gè) 原函數(shù) 定 : xx x 若上限不是 , 而是個(gè) 的函數(shù), 則上限函數(shù)是 個(gè) 的復(fù)合函數(shù), 由復(fù)合函數(shù)的求 注 導(dǎo)公式知: () () ()gx hx d f t d t f g x g x f h x h x dx () ()gx a d f t dt f g x g x dx 2 3. c o s1 xa t t d t 例 求 3 . ta2 n. x t x d
3、e t dt dx 例 求 2 130 1 .3 ,. 1 z z dy y dx x dz 知求例 已 3 0 40 si n . l i .4 m x x t dt x 求例 . () N e w t o n Le ibniz( 二) 微 式 積分基本公式 公 ( ) , () , ( ) ( ( ) ( ) () ) , , b a b a f x dx Fx f x a b F x f x a F F a b b 設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 上 是 在區(qū)間 上 的任意一個(gè)原函數(shù) 則 連續(xù) 1 2 0 .x d x例如計(jì)算 3 2 1 ( ) , . 2 f x a b dx x N e w t o
4、n Le ib n iz 連續(xù) 反 注 用 公式的條 件是函數(shù) 區(qū)間 例 上 意: 在 3.微積分基本公式 1.積分上限函數(shù) x a dttfx )()( 2.積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù) )()( xfx )()()( aFbFdxxfba 小結(jié) 牛頓萊布尼茨公式溝通了微分學(xué)與積分學(xué) 之間的關(guān)系 ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a f x dx F b F a F x N e w t on L e ib n iz（一） 公式 三、定積分計(jì)算方法 1 2 0 1 . ( )1. x d x計(jì)算 參照第一節(jié)例2 6例 求原函數(shù)( 即不定(1) 積分) ; ( ) ( ) .F b F a( 計(jì)
5、算2) : 1 ( ) , f x a b在 換元積分法須滿足的條件 上連續(xù) 3 , , , ,. t x t a b ab 當(dāng) 在 上變化時(shí) 在 上變 化且 定積分換元法特點(diǎn) :換元必須換限 2 , x t t 在 上單值且有連續(xù)導(dǎo)數(shù) ( 二) 換元積分法 s in , c o s ,x t d x td t ( ( 換例1 ) 設(shè) 元法另法: ) 則 2 0 1 c o s 2 2 t dt 2 0 11 si n 2 2 2 4 tt 1 2 2 2 2 00 1 c o s ( c o s c o s )x d x td t t t 0 0 ; 1 , , 2 x t x t 時(shí) 時(shí)
6、于是 4 0 2 . 21 x dx x 例 計(jì)算2 35 0 s i n s. i n .x x d x 例 3 計(jì) 算 1 22 1 . 1 dx xx 例 計(jì) 算4 3 . 1 .x d x 1 計(jì) 算例 5 1 24 . x x d x 1 計(jì) 算例 6 設(shè)函數(shù) )( xu 、 )( xv 在區(qū)間 ba , 上具有連續(xù) 導(dǎo)數(shù)，則有 b a b a b a v d uuvud v . 定積分的分部積分公式 推導(dǎo) ,vuvuuv ,)( b a b a uvdxuv , bababa dxvudxvuuv . b a b a b a v duuvu dv （三）分部積分法 例 8 藥物從患
7、者的尿液中排出 ,一種典型的 排泄速率函數(shù)是 , 其中 k是常數(shù) .求 在時(shí)間間隔 內(nèi) ,排出藥物的量 D T,0 kttetr )( 1 l n ( 1. ).e x d x例 計(jì) 算7 0 ( ) 2 ( ) ( , , 1 ( ) , 2 ( ) )0, 1 . aa a a a f x dx f f x a a f f x dxx dx f xx 設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 上連續(xù) 若 為 則偶函數(shù) 奇若 定 函數(shù)為則 理 0 ( ) , ( ) ( ) 2 . a T T a f x T f x dx f x dx 設(shè)函數(shù) 為周定 期為 的連續(xù)函數(shù) 則 理 .以上兩個(gè)定理可以作為性質(zhì)用 奇函數(shù) 例 9 計(jì)算 解 .11 c o s21 1 2 2 dxx xxx 原式 1 1 2 2 11 2 dx x x 1 1 211 co s dx x xx 偶函數(shù) 10 2 2 114 dxx x 1 0 2 22 )1(1 )11(4 dx x xx 10 2 )11(4 dxx 10 2144 dxx .4 單位圓的面積
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