清華微積分(高等數(shù)學(xué))課件-微積分(一)小結(jié)

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1、2021-4-24 1 微 積 分 （ 一 ） 小 結(jié)一 .函 數(shù)1.定 義 . ),( !, ,上的函數(shù)為定義在則稱映，記作與其對確定的法則如果按照某種為非空集設(shè)Xfxfy YyXxfRYX 2021-4-24 2（ 1） 有 界 性 2.函 數(shù) 的 初 等 性 質(zhì)（ 3） 奇 偶 性（ 4） 周 期 性 ., fD 對 映 法 則定 義 域函 數(shù) 的 兩 個(gè) 要 素 ：（ 2） 單 調(diào) 性 2021-4-24 34.會(huì) 分 析 復(fù) 合 函 數(shù) 中 變 量 的 關(guān) 系 ， 會(huì) 求 給 定 函 數(shù) 的 反 函 數(shù) 。3.利 用 函 數(shù) 符 號(hào) 描 述 有 關(guān) 函 數(shù) 的 性 質(zhì) ； 要 求1.

2、要 熟 練 掌 握 基 本 初 等 函 數(shù) 的 定 義 域 、 值 域 及 圖 形 ；2.利 用 給 定 條 件 或 問 題 ， 找 出 函 數(shù) 關(guān) 系 及 定 義 域 ； 2021-4-24 4,)x(f ,xxAA )x(f xx. x)x(f的極限函數(shù)時(shí)趨于是當(dāng)，則稱的常數(shù)定“無限趨于”一個(gè)確應(yīng)的函數(shù)值時(shí)，其對“無限趨于”如果當(dāng)有定義的某空心鄰域在點(diǎn)設(shè)函數(shù)000 A)x(flimxx 0記作 1.極限的定義)xx(A)x(f 0或 二 、 函 數(shù) 的 極 限 2021-4-24 5 2.極 限 的 性 質(zhì)（ 1） 唯 一 性 :存在，則極限唯一。若)(lim0 xfxx（ 2） 有 界

3、性 :的某鄰域中有界。在，則若0 )()(lim 0 x xfAxfxx （ 3） 保 號(hào) 性 : .0)(lim ,)(lim,0)( )(0)(lim 0 0 00 xf xfxfx xfAxfxx xxxx則存在且若的某鄰域中必恒為正，在，則若 2021-4-24 6 3.極 限 的 運(yùn) 算 法 則（ 1） 四 則 運(yùn) 算 法 則（ 2） 復(fù) 合 函 數(shù) 的 極 限 法 則4.無 窮 小 量 的 比 較 .)( )(1)( )(lim1 0 是 等 價(jià) 無 窮 小 量與 ， 則 稱） 若（ x xxxxx , )()( 0無 窮 小 量 時(shí) 的 兩 個(gè)是及設(shè) xxxx （ 3） 夾 逼

4、定 理 2021-4-24 7 .)( )(0)( )(lim2 0的 高 階 無 窮 小 量是 ， 則 稱） 若（ x xxxxx 注意 并 非 所 有 無 窮 小 量 都 可 以 進(jìn) 行 比 較例 如 ,01sinlim0 xxx而 xx xx xx 1sinlim1sinlim 00 不 存 在 2021-4-24 8 搞 清 以 下 關(guān) 系 .0)(lim),()( )(lim1 00 xxAxf Axf xxxx ）（ .)(1lim0)(lim)2( 00 xx xxxx （ 4） 無 窮 大 量 與 無 界 函 數(shù) 的 關(guān) 系 .).()( )()()()()3( xx xxxx

5、 或 2021-4-24 9 6.求 未 定 型 極 限 的 方 法(1)利 用 基 本 公 式 : ,)11(lim1 ex xx ）,)1(lim2 10 ex xx ），） 1sinlim3 0 x xx ，） 1tanlim4 0 x xx，） 1arcsinlim5 0 x xx ，） 1arctanlim6 0 x xx，） 1)1ln(lim7 0 x xx ，） 11lim8 0 xe xx 2021-4-24 10 ，） 121cos1lim9 20 x xx ;121 11lim10 0 xxx）(2)利 用 等 價(jià) 無 窮 小 替 換 ；(3)利 用 羅 必 達(dá) 法 則

6、；(4)利 用 夾 逼 定 理 ；(5)利 用 泰 勒 公 式 2021-4-24 11 要 求(2)熟 練 掌 握 極 限 的 性 質(zhì) ， 能 夠 運(yùn)用 它 們 分 析 證 明 簡 單 的 問 題 .(3)能 夠 熟 練 的 運(yùn) 用 極 限 的 各 種運(yùn) 算 法 則 、 重 要 極 限 及 定 理 求 函數(shù) 的 極 限 。(1)正 確 理 解 函 數(shù) 極 限 的 概 念 。 2021-4-24 12 三 .連 續(xù) 函 數(shù)1.定 義 點(diǎn) 連 續(xù) 。在則 稱的 鄰 域 中 有 定 義 ， 且在若 000 )(),()(lim )( 0 xxfxfxf xxfxx 要 求(1)能 敘 述 兩 種

7、函 數(shù) 在 連 續(xù) 的 等 價(jià) 定 義 .0 x(2)會(huì) 確 定 間 斷 點(diǎn) 及 其 類 型 . 2021-4-24 13 2.連 續(xù) 函 數(shù) 的 性 質(zhì)(1)兩 個(gè) 連 續(xù) 函 數(shù) 經(jīng) 有 限 次 四 則 運(yùn) 算 和 復(fù) 合 得 到 的 新 函 數(shù) 仍 是 連 續(xù) 函 數(shù) 。(2)若 函 數(shù) ， 則 有 以 下 重 要 定 理 ：1） 有 界 定 理2） 根 值 定 理 （ 零 點(diǎn) 定 理 ）,)( baCxf 3） 介 值 定 理 2021-4-24 14 4） 最 值 定 理3.初 等 函 數(shù) 在 其 定 義 區(qū) 間 上 是 連 續(xù) 的要 求(2)掌 握 連 續(xù) 函 數(shù) 的 性 質(zhì) ，

8、并 能 夠 運(yùn)用 它 們 分 析 證 明 簡 單 的 問 題 。(1)會(huì) 利 用 初 等 函 數(shù) 的 連 續(xù) 性 求 函 數(shù)的 極 限 。 2021-4-24 15 四 .導(dǎo) 數(shù) 與 微 分1.基 本 概 念(1)導(dǎo) 數(shù) 定 義設(shè) 函 數(shù) 在 點(diǎn) 及 其 附 近 有 定 義 ，如 果 極 限 存 在 ， 則 稱 函 數(shù) 在 可 導(dǎo) ， 在 的 導(dǎo) 數(shù) 記 作 。)(xf )(xf )(xf 0 x 0 x 0 x)( 0 xf x xfxxfx )()(lim 000 2021-4-24 16 (2)微 分 定 義 。記作的微分在點(diǎn)為并稱可微在點(diǎn)則稱函數(shù)可以表示為函數(shù)的改變量為自變量的改變量，

9、若的鄰域中有定義，在設(shè)xady xxfyxa xxfy xxaxfxfy yxxx xxfy ,)( ,)( )()()( )( 0 000 0 2021-4-24 17 (3)高 階 導(dǎo) 數(shù) 的 定 義 .)()( ,)( )()( .)( )()(, )()( )1()( )1()1( 22 nnnn nn dx ydxfxf nxf xfxf dx ydxf xfxf xfxfy 即階 導(dǎo) 數(shù)的稱 為 的 導(dǎo) 數(shù)一 般 地 ， 或階 導(dǎo) 數(shù) ， 記 作 的 二為則 稱 它 導(dǎo) 數(shù)導(dǎo) 仍 然 可的 導(dǎo) 數(shù)若 2021-4-24 18 .)( )()( 0 00 dxxfdy xxfxxf

10、可微，且在點(diǎn)可導(dǎo)在點(diǎn)(4)可 微 與 可 導(dǎo) 的 關(guān) 系2.基 本 導(dǎo) 數(shù) 公 式 xx ee Rxxx CC )()3( ),0()()2( (0)()1( 1 為常數(shù)）連續(xù)在點(diǎn)可微在點(diǎn)00 )()( xxfxxf (5)可 微 與 連 續(xù) 的 關(guān) 系 2021-4-24 19xxx xxx xx xx xx xx axxa cotcsc)(csc)12( tansec)(sec)11( csc)(cot)10( sec)(tan)9( sin)(cos)8( cos)(sin)7( ln1)(log)6( 22 xx 1)(ln)5( )1,0(ln)()4( aaaaa xx 2021-

11、4-24 20shxchx chxshx xxarc xx xx xx )()18( )()17( 1 1)cot()16( 1 1)(arctan)15( 1 1)(arccos)14( 1 1)(arcsin)13( 22 22 2021-4-24 21 3.導(dǎo) 數(shù) 的 運(yùn) 算 法 則(1)導(dǎo) 數(shù) 的 四 則 運(yùn) 算 法 則(2)復(fù) 合 函 數(shù) 求 導(dǎo) 的 鏈 式 法 則(3)隱 函 數(shù) 求 導(dǎo) 法(4)反 函 數(shù) 求 導(dǎo) 法(5)參 數(shù) 方 程 求 導(dǎo) 法(6)對 數(shù) 微 分 法(7)高 階 導(dǎo) 數(shù) 的 萊 布 尼 茲 公 式 2021-4-24 22 4.導(dǎo) 函 數(shù) 的 性 質(zhì)(1)導(dǎo)

12、 數(shù) 的 零 點(diǎn) 定 理 .0)(),( ,0)()(,)( fba bfafbaxfy使得則可導(dǎo)在若(2)導(dǎo) 數(shù) 的 介 值 定 理 .)( ),(,)( )(,)( f babf afbaxfy使得之間的值和則對介于可導(dǎo)在若(3)導(dǎo) 函 數(shù) 在 定 義 區(qū) 間 內(nèi) 無 第 一 類 間 斷 點(diǎn) 。 2021-4-24 23 要 求(1)掌 握 導(dǎo) 數(shù) 概 念 、 物 理 意 義 及 幾 何 意 義 ，會(huì) 用 定 義 求 分 段 函 數(shù) 在 分 點(diǎn) 處 的 導(dǎo) 數(shù) 。(2)掌 握 微 分 概 念 和 幾 何 意 義 以 及 微 分 和 導(dǎo)數(shù) 的 關(guān) 系 。(3)熟 記 基 本 導(dǎo) 數(shù) （ 微

13、分 ） 公 式 。(4)熟 練 運(yùn) 用 各 種 求 導(dǎo) (微 分 )法 則 求 初 等 函數(shù) 的 導(dǎo) 數(shù) 、 微 分 。 2021-4-24 24 五 .導(dǎo) 數(shù) 應(yīng) 用1.微 分 學(xué) 基 本 定 理(1)羅 爾 定 理(2)拉 格 朗 日 定 理(3)柯 西 定 理2.函 數(shù) 的 增 減 性 。上 單 調(diào) 增 （ 或 單 調(diào) 減 ） 在則）（ 或若 內(nèi) 可 導(dǎo) ，上 連 續(xù) ， 在在設(shè) , )(,0)(0)()1( ),(,)( ba xfxfxf babaxf 2021-4-24 25 。或內(nèi)則在上單調(diào)增（或單調(diào)減）在若)0(0)(),( ,)()2( xfba baxf3.函 數(shù) 的 極

14、值(1)極 值 的 概 念 :?；驑O小值點(diǎn)值點(diǎn)的極大為，或極小值極大值取得在，則稱或，都有及其附近有定義，若在設(shè))( )()( )()()( )()()( )( 0 00 00 0 xfx xxfxfxf xfxfxUx xxf 2021-4-24 26 (2)極 值 的 必 要 條 件 （ 費(fèi) 馬 定 理 ）。則存 在 取 得 極 值 ， 且在 點(diǎn)若 0)(, )()( 0 00 xf xfxxf(3)極 值 的 充 分 條 件取得極值。在則兩側(cè)異號(hào)在心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，若的去的某鄰域內(nèi)連續(xù)，在在點(diǎn)設(shè) 0 0 00)( ,)()()1 xxf xxf xxxf的極值點(diǎn)。是存在且不為零，則若的某鄰域

15、內(nèi)可導(dǎo)，且在點(diǎn)設(shè))()( ,0)()()2 00 00 xfxxf xfxxf 2021-4-24 27 4.函 數(shù) 的 凸 性凸函數(shù)。上上是下在則稱或都有和的非負(fù)實(shí)數(shù)以及任意滿足上有定義，若在定義：)(,)( )()()()( , 1, ,)()1( 22112211 21 2121 baxf xfxfxxf baxx baxf (2)凸 性 的 判 別 法 。非增內(nèi)單調(diào)非減在凸函數(shù)上上為下在內(nèi)可導(dǎo)，上連續(xù)，在在設(shè))(),( )()(,)( ),(,)()1 ba xfbaxf babaxf 2021-4-24 28 (3)拐 點(diǎn) 的 定 義 與 判 別1)定 義。凸函數(shù)上上為下在內(nèi)二階可導(dǎo)

16、，在設(shè))0(0)()(, )(),()()2 xfba xfbaxf 。則 的 拐 點(diǎn)是 曲 線且 處 有 連 續(xù) 的 二 階 導(dǎo) 數(shù) ，在設(shè) 0)( ,)()(,( )()2 00 0 xf xfxfx xxf曲 線 的 上 凸 弧 與 下 凸 弧 的 分 界 點(diǎn) 2021-4-24 29 的 拐 點(diǎn) 。是 曲 線則 異 號(hào)的 兩 側(cè)存 在 ， 若 在 的 某 鄰 域 內(nèi) 二 階 導(dǎo) 數(shù)在設(shè) )()(,( ,)()()3 00 00 xfxfx xfxxxf 的 一 條 水 平 漸 近 線 。是 則若水 平 漸 近 線 （ 或)( ,)(lim:)1( )xfAy Axfxx 5.曲 線 的

17、 漸 近 線 2021-4-24 30 的 一 條 垂 直 漸 近 線 。是 則若垂 直 漸 近 線 （ 或)( ,)(lim:)2( 0 )00 xfxx xfxxxx 及若斜 漸 近 線 （ 或 axxfxx )(lim:)3( ) 則 或 ,)(lim )( baxxfxx 的 一 條 斜 漸 近 線 。是 )(xfbaxy 2021-4-24 31 且滿足條件：內(nèi)有定義的某空心鄰域在點(diǎn)和設(shè)函數(shù),),( )()(0 aU axgxf則有或),()( )(lim)3( Axg xfax )()( )(lim)( )(lim 或Axg xfxg xf axax ;0)(,)()(,),()2

18、( 0 xgxgxfaU且存在和內(nèi)在 ;0)(lim,0)(lim)1( xgxf axax 6.羅必達(dá)法則 2021-4-24 32 7.泰 勒 公 式（ 1） 皮 亞 諾 型 余 項(xiàng) 的 泰 勒 公 式有時(shí)則當(dāng)階導(dǎo)數(shù)，到存在在點(diǎn)假設(shè)函數(shù), 1)( 0 0 xx nxxf )()(!1 )(!21)()()( 000)( 200000 nnn xxoxxxfn xxxfxxxfxfxf 2021-4-24 33 2.拉 格 朗 日 型 余 項(xiàng) 的 泰 勒 公 式 之間的某個(gè)點(diǎn)。與是介于其中有數(shù)，則 階導(dǎo)到有在點(diǎn)假設(shè)函數(shù) xx xxfn xxxfn xxxfxxxfxfxf bax nbaxx

19、f nn nn0 10)1( 00)( 200000 0 )()!1( 1 )(!1 )(!21)()()( ),( 11),()( 2021-4-24 34 3.常用的麥克勞林公式)(!1!211)1 2 nnx xoxnxxe )()!12()1(!5!3sin)2 212153 kkk xokxxxxx )()!2()1(!4!21cos)3 2242 kkk xokxxxx )0( 0，皮亞諾型余項(xiàng)x 2021-4-24 35 )(! )1()1()1( !2 )1(1)1()5 2 nn xoxn nxxx )()1(32)1ln()4 132 nnn xonxxxxx )(11 1

20、)6 2 nn xoxxxx 2021-4-24 36 要 求方 法 。 、 結(jié) 論 及 證 明定 理 和 柯 西 定 理 的 條 件 理 、 拉 格 朗 日掌 握 費(fèi) 馬 定 理 、 羅 爾 定)1( 用 。 必 達(dá) 法 則 的 應(yīng)掌 握 求 未 定 型 極 限 的 羅)2( 件 。值 的 必 要 條 件 和 充 分 條 方 法 和 函 數(shù) 極掌 握 函 數(shù) 增 減 性 的 判 別)3( 2021-4-24 37式 。性 證 明 某 些 簡 單 的 不 等 數(shù) 增 減 性 、 凸會(huì) 用 拉 格 朗 日 定 理 、 函)7( 點(diǎn) 的 判 定 方 法 。 函 數(shù) 凸 性 、 拐掌 握 函 數(shù) 的

21、 凸 性 概 念 及)4( 。會(huì) 求 函 數(shù) 的 漸 近 線 方 程)5( 函 數(shù) 作 圖 。)6(9)利 用 泰 勒 公 式 求 極 限 、 證 明 不 等 式(8)會(huì) 用 直 接 展 開 或 間 接 展 開 的 方 法 求 函 數(shù) 的 泰 勒 公 式 2021-4-24 38 例1的取值范圍指明有使得證明存在常數(shù)且，滿足設(shè)AAxxfx AffRx exfxxfxxf x,)(,0 ,0)0()0(, 1)(3)()( 2 2 證 2)(31)(0 xfxexfx x 時(shí)，.1,11 fxe x ,)()( 2AxxfxF 設(shè)0)0( F 2021-4-24 39 AAxfxF FAxfxF

22、 212)()( 0)0(,2)( ,21,0)(時(shí)即當(dāng) AxF 0)(,0)0(, xFFF 從而0)(,)( xFxF所以0,)(,21 2 xAxxfA時(shí)當(dāng) 2021-4-24 40 例2內(nèi)為增函數(shù)。在證明內(nèi)可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)不為零在設(shè))()(,0)( ,)()( 00 0 xUxfxf xUxf 證 ,0)(,0)(, ),(,0)( 2121 021 xfxfxx xUxxxf 設(shè)則矛盾。與0)(,0)(),( 21 xffxx 內(nèi)單調(diào)增。在保號(hào)。又因而)()(,0)( ,0)()( 0 0 xUxfxf xfxf 2021-4-24 41 例3。該曲線除切點(diǎn)外無交點(diǎn)處的切線與上一點(diǎn)線內(nèi)曲證明在有對一切上二階可導(dǎo)在設(shè))(,()( ),0(,0)(),0( ,),0)( 00 xfxxfy xfx xf 證反證法。設(shè)另有交點(diǎn), 1x則對函數(shù))()()()( 000 xxxfxfxfxF ,0)(,0)( 0110 xxxFxF 有,)(0,)(連續(xù)，可導(dǎo)在xF由羅爾定理 2021-4-24 42 0)()()(, 010 xffFxx ，使之間存在在，之間存在，再由羅爾定理，在10 x矛盾。與使0)(,0)()( 11 xffF 。與切線除切點(diǎn)外無交點(diǎn)所以)(xf