重慶大學碩士課程——齒輪嚙合原理

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1、 碩士學位課程考試試卷 考試科目： 齒輪嚙合原理 考生姓名： 考生學號： 學 院： 專 業(yè)： 考 生 成 績： 任課老師 (簽名 ) 考試日期： 2012 年 6 月 日 至 月 日 齒輪嚙合原理 一、 基本概念（每題 4 分，共計 3

2、2 分） 1．解釋齒輪的瞬心線？ 答：兩個構(gòu)件 1 和 2 相對于一個固定參考標架 f 做平面運動（如圖 1），在固定坐 標系中，兩構(gòu)件在某點的相對速度等于零，該點就是瞬時回轉(zhuǎn)中心 I，而瞬時回轉(zhuǎn)中 心 I 在坐標系 （i = 1,2）中的軌跡就是齒輪的瞬心線。 圖 1.1 即 繞 轉(zhuǎn)動時，點 I （它沿 運動，或處于靜止狀態(tài)）會描繪出瞬心線 傳動比 ，當 是常數(shù)時，兩瞬心線是半徑分別為 和 的兩個圓，當

3、 不是常數(shù)時，瞬心線是非圓形曲線，成封閉的或不封閉的。 2．解釋齒輪的瞬時回轉(zhuǎn)軸？ 答：瞬時回轉(zhuǎn)軸是齒輪對另一齒輪相對運動中的角速度的作用線。如圖 1.2 所示 瞬時回轉(zhuǎn)軸（OI）是齒輪 1 對齒輪 2（或齒輪 2 對齒輪 1）相對運動中的角速度 的作用線，有 同理 1 齒輪嚙合原理 圖 1.2

4、 3．解釋齒輪的瞬軸面？ 答：齒輪的瞬軸面是指瞬時回轉(zhuǎn)軸在與回轉(zhuǎn)齒輪剛性固接的動參考標架中的軌跡。在 兩相交軸之間的回轉(zhuǎn)運動進行傳遞的情況下，瞬軸面是兩個頂角為 和 的圓錐（如 圖 1.3）.這兩個圓錐稱作節(jié)錐，它們的切觸線是 OI，并且其相對運動是純滾動——繞 OI 運動。當節(jié)錐 2 處于靜止時， 角速度 表示繞 OI 轉(zhuǎn)動的節(jié)錐 1 的 角速度。 圖 1.3

5、 4．解釋平面曲線的曲率？ 2 齒輪嚙合原理 答：如圖 1.4，在平面曲線上的兩點 M 、 的 N，當點 N 趨近于點 M 時，比值 極限稱為平面曲線在點 M 處的曲率（記為 K）。即 。 圖 1.4 5．解釋共軛齒形？ 答：共軛齒形是兩齒輪在接觸點處的公法線與回轉(zhuǎn)中心線 相交 (如圖 1.5)，并 且該線分為 和 兩線段有如下的關系式： = ( ) 這里，

6、 ；（1）對于非圓齒形是規(guī)定的齒輪傳動比函數(shù)， （2）對于圓形齒 輪是常數(shù)。 圖 1.5 常用共軛齒形是漸開線齒形。 6．解釋嚙合面？ 3 齒輪嚙合原理 答： 合面是表示在與機架 性固接的固定坐 系 中的瞬 接觸 族。 合面用如下方程表示： 式中 ， 描述從 到 的坐 。 7．解 廓 屈 ？ 答：如

7、 1.6 所示，假定平面曲 I 是 定的。各 段 （i=1,2，?， n）是曲 線 I 在點 的曲率半徑，而點 是曲率中心。曲率中心 的 跡是曲 I 的 屈 E。 圖 1.6 8．寫出 Euler 的方程式？ 答： Euler 方程式 ： 式中 q 是由矢量 和 位矢量 構(gòu)成的 角（如 5）。矢量 表示曲面的切面上 取的方向，而 是曲面在 個方向上的法曲率。 位矢量 和 沿著 兩個主方

8、 向，而 和 是主曲率。 Euler 方程建立了曲面的法曲率和主曲率之 的關系。 4 齒輪嚙合原理 圖 1.5 二、 采用數(shù)學軟件推導微分的方法（ 16 分） 要求：舉實例詳細說明，并作圖及列出程序。 MATLAB 是許多學科的解題工具，將 MATLAB 融入其它課程的學習中，可以大 大提高運算效率和準確性。隨著計算機的普及和國民整體

9、素質(zhì)的提高，科學計算將會更加的普及。 MATLAB 在矩陣及數(shù)值計算、多項式和線形代數(shù)、符號數(shù)學的基本方法等方面都有較好的應用，下面的例子為運用 MATLAB 求解微分方程。 實例：已知一個二階線性系統(tǒng)的微分方程為： d 2 x ax 0, a 0 dt 2 x( 0) 0, x (0) 1 其中 a=2，繪制系統(tǒng)的時間響應曲線和相平面圖。 x2 x1 解：令 ，則得到系統(tǒng)的狀態(tài)方程： x1 ax2 x2 (0) 0, x1 (0) 1 建立一個函數(shù)文件 sys.m： function

10、 xdot=sys(t,x) %建立函數(shù)文件 xdot=[-2*x(2);x(1)]; % xdot 的表達式 取 t0=0,tf=20,求微分方程 ; t0=0;tf=20; % 確定 t 的值 [t,x]=ode45(sys,[t0,tf],[1,0]); %求數(shù)值解 [t,x] %輸出結(jié)果 subplot(1,2,1);plot(t,x(:,2)); %以子圖形式繪出解的曲線 subplot(1,2,2);plot(x(:,2),x(:,1)); %以子圖形式繪出相平面曲線 5 齒輪嚙合原理 axis equal

11、 運行 果 ： ans = 0 1.0000 0 0.0001 1.0000 0.0001 0.0001 1.0000 0.0001 0.0002 1.0000 0.0002 0.0002 1.0000 0.0002 0.0005 1.0000 0.0005 0.0007 1.0000 0.0007 0.0010 1.0000 0.0010 0.0012 1.0000 0.0012 ? 19.1332 -0.3498 0.6618 19.2670 -0.5196 0.6036 19.4007

12、 -0.6708 0.5238 19.5344 -0.7980 0.4253 19.6681 -0.8968 0.3116 19.7511 -0.9422 0.2352 19.8340 -0.9747 0.1556 19.9170 -0.9937 0.0738 20.0000 -0.9991 -0.0090 方程的 相 及相平面曲 如 2.1 所示。

13、 6 齒輪嚙合原理 三、 推導方程（ 1 題 8 分， 2 題 12 分，共計 20 分） 1. 坐標系 和 剛性固接到齒輪 1 和齒輪 2，兩齒輪傳遞平行 軸之間的回轉(zhuǎn)運動（圖 1）。齒輪的兩回轉(zhuǎn)角 和 用方程 : 聯(lián)系著，式中 和 是兩瞬線的半徑。 E 是兩轉(zhuǎn)動軸線之間的最短距離。 固定坐標系 剛性固接到齒輪箱體上。 是輔助坐標系，它也剛性固接到齒輪箱體上。

14、 圖 3.1 推導： 1) 從 S2 到 S1 的坐標變換方程。 2) 從 S1 到 S2 的坐標變換方程。 解： 1）從 到 的坐標變換 從 到 的坐標變換基于矩陣方程 (3.1.1) 式中 和 是轉(zhuǎn)動矩陣，而 是移動矩陣。 7 齒輪嚙合原理 （ 3.1.2） = 從方程（ 3.1.2）可導出

15、 (3.1.3) 利用方程（ 3.1.1）和（ 3.1.2），則可以得到 2) 從 S1 到 S2 的坐標變換方程 逆矩陣 可以通過 的各元素表達如下 (3.1.4) 逆坐標變換基于矩陣方程 從該方程可導出 8 齒輪嚙合原理 2. 坐標系 , 和 分別與齒條刀具、被加工的直齒外齒輪和機

16、架剛性固接 （圖 2）。齒條刀具的齒形是直線，該直線用方程 （ ） 表示在 中。這里， a 是齒形角（壓力角）；u 是變參數(shù)，該參數(shù)用來確定齒條刀具 齒形上的流動點位置（對于點 M， ；對于點 ， ）。瞬時回轉(zhuǎn)中心為 。齒 輪的瞬心線是半徑為 r 的圓，而齒條刀具的瞬心線與 軸重合（圖 2）。齒條刀具的 位移 和齒輪的轉(zhuǎn)角 有如下關系式

17、 圖 3.2 求： 1）推導嚙合方程。 2）導出齒條刀具和被加工齒輪在嚙合中的嚙合線方程。 3）導出被加工齒輪的齒形方程。 4）確定齒條刀具的極限安裝位置，這種安裝位置將使齒輪的被加工齒形避免根切，并作圖說明。 解： （1）由于曲面 和 在其切觸點處的公法線通過瞬時回轉(zhuǎn)軸線，則有方程： 9 齒輪嚙合原理 （ 3.2.1） 式中， =r =0 是表示在 中的 I 的坐標。 = = （ 3.2.2） 式中 和 是

18、產(chǎn)形齒形的切線矢量和法線矢量， 是 軸的單位矢量。 由式 3.2.1 和 3.2.2 可以導出嚙合方程的下列表達式 (3.2.3) （ 2）由（ 1）的條件可得，嚙合線方程 (3.2.4) 表示。這樣可以得到 (3.2.5) 從方程 (3.2.5)可導出 (3.2.6) 嚙合線 LK（如圖 3.2.2）是通過 I 的一條直線，并且與 軸構(gòu)成夾角（ ）。線段 IK 上的個高點對應于 0；線段 IL 上

19、的各個點對應于 0。 10 齒輪嚙合原理 圖 3.2.1 （ 3）利用（ 1）的條件，利用微分幾何中提出的方法導出被加工尺形的方程 ①利用矩陣方程 (3.2.7) 將被加工齒形族的方程表示在坐標系 中。從方程（ 3.

20、2.7）和題中條件可以導出 (3.2.8) ②導出嚙合方程 (3.2.9) 矢積 表示 中的產(chǎn)形齒形的法線矢量，并且 與 共線。 經(jīng)變換后，方程（ 3.2.8）和（ 3.2.9）將給出嚙合方程 被加工齒形方程 11 齒輪嚙合原理 （ 3.2.10） （ 4）齒條刀具齒形的界限點在齒輪的齒形上形成奇異點。齒條刀具的界限點可以用嚙合方程 （ 3.2.11） 和根切方程 （ 3.2

21、.12） 確定，后一方方程可以用方程 (3.2.13) 由題中條件和方程 (3.2.11)、(3.2.13)可以導出 （ 3.2.14） 則可以得到 u 的界限值為 （3.2.15） 同理可得 （3.2.16） 圖 3.2.2 圖解說明了齒條刀具的極限安裝位置，此時點 F 形成齒輪齒形上的奇異點。 12 齒輪嚙合原理

22、 圖 3.2.2 四、綜述及分析？（ 16 分） 采用齒輪嚙合原理的基本理論和方法，結(jié)合工程實際或列舉實例，綜合、分析齒輪嚙合原理的應用及說明其意義。 答：齒輪機構(gòu)是在各種機構(gòu)中應用最為廣泛的一種傳動機構(gòu)。它依靠齒輪齒廓直接傳 遞空間任意兩軸間的運動和動力， 并具有傳遞功率范圍大、 傳動效率高、使用壽命長、 工作可靠，那么采用齒輪嚙合原理的基本理論和方法對其研究有

23、著實際的意義，下面 以生成面齒輪齒面為例說明齒輪嚙合的運用及其意義。 面齒輪傳動是一種新型齒輪傳動，具有許多獨特的優(yōu)點： 1)小齒輪為漸開線齒 輪時，其軸向移動產(chǎn)生的誤差對傳動性能幾乎沒有影響。 2)面齒輪傳動比普通錐齒輪 傳動具有較大的重合度。 3)小齒輪為直齒圓柱齒輪時，小齒輪上無軸向力作用。 4)對 于點接觸面齒輪傳動，在理論上仍然能保證定傳動比傳動。 5)面齒輪用于傳動裝置時 傳動振動小和噪音低。 生成面齒輪齒面首先要建立坐標系（如圖 4.1、4.2） 13

24、 齒輪嚙合原理 圖 4.1 圖 4.2 在推 面 面 ， 了四個坐 系 :兩個固定坐 系 ( ， )和 ( ， ，兩個 坐 系 ( ， 和 ( ， 。 固定坐 系 和 分 建立在刀具 支架和面 支架上， 它 的坐 原點重 合在刀具 和面 的交點上，如 4.1 所示 固定坐 系之 的位置關系， 它 的 x 重合。 坐 系 和 分 與刀具 和面 固 ，它 坐 原點也在兩 的交點 上，如 4

25、.2 所示 (( 和 ( 重合， 中分開 便于表示 )， 和 交角 ，初始 坐 系 和 、 和 ，重合， 坐 系 ， 各 其 :軸轉(zhuǎn) ， 角分 。面 和刀具 的 比 ： ?????????????????????? ..(4.1) 圖 4.3 如 4.3 所示面 面可以分 兩部分，工作 面和 根 渡區(qū)域，它 中 的交 渡曲 ，下面介 如何得出 一個完整的 面 面 和 直 合 合點 P，在刀具坐 系 中

26、，點 P 的矢 14 齒輪嚙合原理 量為 ，刀具的回轉(zhuǎn)角速度矢為 )，因此點 P 在 中的速度矢為 (4.2) 設 為 (4.3) 同樣在面齒輪坐標系 中，點 P 的矢量為 ，面齒輪的回轉(zhuǎn)角速度矢為 )，點 P 在 中的速度矢為 (4.4) 設 為 (4.5) 其中 = （4.6） 將 轉(zhuǎn)換到刀具坐標系 中為

27、（4.7） 其中 為從面齒輪坐標系 到刀具坐標系 的轉(zhuǎn)換矩陣，為 15 齒輪嚙合原理 （4.8） 并且 = （4.9） 因此可得在刀具坐標系 中嚙合點 P 處兩齒面的相對運動速度為 （ 4.10） 其中 ， :和 分別為刀具齒面在刀具坐標系 中的各坐標分量。 根據(jù)嚙合原理在嚙合點處齒面相對運動速度矢在公法線上的投影為零， 得到嚙合方程為 = + （ 4.11） 由此得到了嚙合方

28、程，再根據(jù)坐標變換，將嚙合點從刀具坐標系 轉(zhuǎn)換到 面齒輪坐標系 中，得到面齒輪工作齒面方程為 (4.12) 五、學習心得體會？（ 16 分） 學習本門課程的具體詳細收獲及體會。 答：盡管齒輪嚙合原理課程即將要結(jié)束，但它帶給了我很多的收獲與思考。 （一）、本門課程給予的收獲。 （ 1）齒輪傳動是機器和儀器中用得最廣的一種機械傳動。齒輪機構(gòu)可以傳遞平行軸、相交軸和相錯軸之間的回轉(zhuǎn)運動，換句話說，它可以傳遞機器設計中已經(jīng)應用的、任意配置的、兩軸間的回轉(zhuǎn)運動。正因為齒輪傳動的應用的廣泛性，研究齒輪嚙合具有重要的意義

29、。 （ 2）齒輪嚙合原理這門課主要內(nèi)容有：坐標、曲面和曲線的曲率的詳細研究；齒輪運動學、齒輪分析和研究；各種齒輪的嚙合分析和加工研究；飛刀的設計加工；利用計算機數(shù)控機床加工齒面的研究；滾針（滾珠）測量法；齒輪實際齒面的坐標測量和偏差的最小化。 （ 3）齒輪嚙合原理是一門對數(shù)學要求很高的課，在學習好數(shù)學方面的知識的同時， 16 齒輪嚙合原理 也應努力掌握一兩款數(shù)學分析軟件才能提高數(shù)學分析能力，解決問題的能力。因此如果學好了這能門課必然會使我們從事其他對于數(shù)學要求較高的專業(yè)也會得心應手。 （ 4）對于自我的震撼，也許以前接觸的比較少吧，還有很少去關注這方

30、面的知識吧，沒有多深印象。通過這段時間的學習，開闊了我的視野，轉(zhuǎn)變了自己的思維，當然還有老師的對我們?yōu)槿颂幨路矫娴慕ㄗh教導，使我獲益匪淺，有所觸動，有所感悟。 （二）、本門課程帶來的思考。 在完成這門課程的作業(yè)時，自己查閱了相關的文獻，從中能夠了解一些該學科的最新動態(tài)，促進了自己的更多思考。首先，其實對于知識，當前并不一定能學會些什么能拿來用的知識，更多的是開闊自己的視野，主動去關注一些前沿的東西不致于坐井觀天沒有收獲。其次，要靜下心來去關注一件事情，欲速則不達，貪多必失，有所積累了要概括。最后，以后我多去看看文獻資料，努力學好數(shù)學軟件，學會用數(shù)學的方法解決工程問題，用

31、心關注自己愛好的方向的知識。相信水滴石穿，繩鋸木斷，堅持中會有所收獲。 17 齒輪嚙合原理 參考文獻 [1]F.L. 李特文（ Litvin ）著 . 國楷，葉凌云，范琳等譯 . 齒輪幾何學與應用理論 [M].

32、 上海：上?？茖W技術出版社， 2008 [2] 郭仁生著 . 機械工程設計分析和 MATLAB應用 [M]. 北京：機械工業(yè)出版社， 2006 [3] 王科社編著 . 機械優(yōu)化設計 [M]. 北京：國防工業(yè)出版社， 2007 [4] 吳序堂著 . 齒輪嚙合原理 [M]. 西安：西安交通大學出版社， 2009 [5] 李婷 . 漸開線環(huán)形齒球齒輪傳動理論研究 . 國防科技大學博士論文， 2009 [6] 張瑞亮 . 雙圓弧弧齒錐齒輪傳動嚙合特性的研究 . 太原理工大學博士論文， 2010 [7] 李櫟楠 . 產(chǎn)形線切齒法加工雙曲面齒輪研究 . 吉林大學博士論文， 2010 [8] 孫桓，陳作模，葛文杰編 . 機械原理 [M]. 北京：高等教育出版社， 2006 18