重慶大學(xué)碩士課程——齒輪嚙合原理

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1、 碩士學(xué)位課程考試試卷 考試科目： 齒輪嚙合原理 考生姓名： 考生學(xué)號(hào)： 學(xué) 院： 專(zhuān) 業(yè)： 考 生 成 績(jī)： 任課老師 (簽名 ) 考試日期： 2012 年 6 月 日 至 月 日 齒輪嚙合原理 一、 基本概念（每題 4 分，共計(jì) 3

2、2 分） 1．解釋齒輪的瞬心線(xiàn)？ 答：兩個(gè)構(gòu)件 1 和 2 相對(duì)于一個(gè)固定參考標(biāo)架 f 做平面運(yùn)動(dòng)（如圖 1），在固定坐 標(biāo)系中，兩構(gòu)件在某點(diǎn)的相對(duì)速度等于零，該點(diǎn)就是瞬時(shí)回轉(zhuǎn)中心 I，而瞬時(shí)回轉(zhuǎn)中 心 I 在坐標(biāo)系 （i = 1,2）中的軌跡就是齒輪的瞬心線(xiàn)。 圖 1.1 即 繞 轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn) I （它沿 運(yùn)動(dòng)，或處于靜止?fàn)顟B(tài)）會(huì)描繪出瞬心線(xiàn) 傳動(dòng)比 ，當(dāng) 是常數(shù)時(shí)，兩瞬心線(xiàn)是半徑分別為 和 的兩個(gè)圓，當(dāng)

3、 不是常數(shù)時(shí)，瞬心線(xiàn)是非圓形曲線(xiàn)，成封閉的或不封閉的。 2．解釋齒輪的瞬時(shí)回轉(zhuǎn)軸？ 答：瞬時(shí)回轉(zhuǎn)軸是齒輪對(duì)另一齒輪相對(duì)運(yùn)動(dòng)中的角速度的作用線(xiàn)。如圖 1.2 所示 瞬時(shí)回轉(zhuǎn)軸（OI）是齒輪 1 對(duì)齒輪 2（或齒輪 2 對(duì)齒輪 1）相對(duì)運(yùn)動(dòng)中的角速度 的作用線(xiàn)，有 同理 1 齒輪嚙合原理 圖 1.2

4、 3．解釋齒輪的瞬軸面？ 答：齒輪的瞬軸面是指瞬時(shí)回轉(zhuǎn)軸在與回轉(zhuǎn)齒輪剛性固接的動(dòng)參考標(biāo)架中的軌跡。在 兩相交軸之間的回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行傳遞的情況下，瞬軸面是兩個(gè)頂角為 和 的圓錐（如 圖 1.3）.這兩個(gè)圓錐稱(chēng)作節(jié)錐，它們的切觸線(xiàn)是 OI，并且其相對(duì)運(yùn)動(dòng)是純滾動(dòng)——繞 OI 運(yùn)動(dòng)。當(dāng)節(jié)錐 2 處于靜止時(shí)， 角速度 表示繞 OI 轉(zhuǎn)動(dòng)的節(jié)錐 1 的 角速度。 圖 1.3

5、 4．解釋平面曲線(xiàn)的曲率？ 2 齒輪嚙合原理 答：如圖 1.4，在平面曲線(xiàn)上的兩點(diǎn) M 、 的 N，當(dāng)點(diǎn) N 趨近于點(diǎn) M 時(shí)，比值 極限稱(chēng)為平面曲線(xiàn)在點(diǎn) M 處的曲率（記為 K）。即 。 圖 1.4 5．解釋共軛齒形？ 答：共軛齒形是兩齒輪在接觸點(diǎn)處的公法線(xiàn)與回轉(zhuǎn)中心線(xiàn) 相交 (如圖 1.5)，并 且該線(xiàn)分為 和 兩線(xiàn)段有如下的關(guān)系式： = ( ) 這里，

6、 ；（1）對(duì)于非圓齒形是規(guī)定的齒輪傳動(dòng)比函數(shù)， （2）對(duì)于圓形齒 輪是常數(shù)。 圖 1.5 常用共軛齒形是漸開(kāi)線(xiàn)齒形。 6．解釋嚙合面？ 3 齒輪嚙合原理 答： 合面是表示在與機(jī)架 性固接的固定坐 系 中的瞬 接觸 族。 合面用如下方程表示： 式中 ， 描述從 到 的坐 。 7．解 廓 屈 ？ 答：如

7、 1.6 所示，假定平面曲 I 是 定的。各 段 （i=1,2，?， n）是曲 線(xiàn) I 在點(diǎn) 的曲率半徑，而點(diǎn) 是曲率中心。曲率中心 的 跡是曲 I 的 屈 E。 圖 1.6 8．寫(xiě)出 Euler 的方程式？ 答： Euler 方程式 ： 式中 q 是由矢量 和 位矢量 構(gòu)成的 角（如 5）。矢量 表示曲面的切面上 取的方向，而 是曲面在 個(gè)方向上的法曲率。 位矢量 和 沿著 兩個(gè)主方

8、 向，而 和 是主曲率。 Euler 方程建立了曲面的法曲率和主曲率之 的關(guān)系。 4 齒輪嚙合原理 圖 1.5 二、 采用數(shù)學(xué)軟件推導(dǎo)微分的方法（ 16 分） 要求：舉實(shí)例詳細(xì)說(shuō)明，并作圖及列出程序。 MATLAB 是許多學(xué)科的解題工具，將 MATLAB 融入其它課程的學(xué)習(xí)中，可以大 大提高運(yùn)算效率和準(zhǔn)確性。隨著計(jì)算機(jī)的普及和國(guó)民整體

9、素質(zhì)的提高，科學(xué)計(jì)算將會(huì)更加的普及。 MATLAB 在矩陣及數(shù)值計(jì)算、多項(xiàng)式和線(xiàn)形代數(shù)、符號(hào)數(shù)學(xué)的基本方法等方面都有較好的應(yīng)用，下面的例子為運(yùn)用 MATLAB 求解微分方程。 實(shí)例：已知一個(gè)二階線(xiàn)性系統(tǒng)的微分方程為： d 2 x ax 0, a 0 dt 2 x( 0) 0, x (0) 1 其中 a=2，繪制系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)曲線(xiàn)和相平面圖。 x2 x1 解：令 ，則得到系統(tǒng)的狀態(tài)方程： x1 ax2 x2 (0) 0, x1 (0) 1 建立一個(gè)函數(shù)文件 sys.m： function

10、 xdot=sys(t,x) %建立函數(shù)文件 xdot=[-2*x(2);x(1)]; % xdot 的表達(dá)式 取 t0=0,tf=20,求微分方程 ; t0=0;tf=20; % 確定 t 的值 [t,x]=ode45(sys,[t0,tf],[1,0]); %求數(shù)值解 [t,x] %輸出結(jié)果 subplot(1,2,1);plot(t,x(:,2)); %以子圖形式繪出解的曲線(xiàn) subplot(1,2,2);plot(x(:,2),x(:,1)); %以子圖形式繪出相平面曲線(xiàn) 5 齒輪嚙合原理 axis equal

11、 運(yùn)行 果 ： ans = 0 1.0000 0 0.0001 1.0000 0.0001 0.0001 1.0000 0.0001 0.0002 1.0000 0.0002 0.0002 1.0000 0.0002 0.0005 1.0000 0.0005 0.0007 1.0000 0.0007 0.0010 1.0000 0.0010 0.0012 1.0000 0.0012 ? 19.1332 -0.3498 0.6618 19.2670 -0.5196 0.6036 19.4007

12、 -0.6708 0.5238 19.5344 -0.7980 0.4253 19.6681 -0.8968 0.3116 19.7511 -0.9422 0.2352 19.8340 -0.9747 0.1556 19.9170 -0.9937 0.0738 20.0000 -0.9991 -0.0090 方程的 相 及相平面曲 如 2.1 所示。

13、 6 齒輪嚙合原理 三、 推導(dǎo)方程（ 1 題 8 分， 2 題 12 分，共計(jì) 20 分） 1. 坐標(biāo)系 和 剛性固接到齒輪 1 和齒輪 2，兩齒輪傳遞平行 軸之間的回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)（圖 1）。齒輪的兩回轉(zhuǎn)角 和 用方程 : 聯(lián)系著，式中 和 是兩瞬線(xiàn)的半徑。 E 是兩轉(zhuǎn)動(dòng)軸線(xiàn)之間的最短距離。 固定坐標(biāo)系 剛性固接到齒輪箱體上。 是輔助坐標(biāo)系，它也剛性固接到齒輪箱體上。

14、 圖 3.1 推導(dǎo)： 1) 從 S2 到 S1 的坐標(biāo)變換方程。 2) 從 S1 到 S2 的坐標(biāo)變換方程。 解： 1）從 到 的坐標(biāo)變換 從 到 的坐標(biāo)變換基于矩陣方程 (3.1.1) 式中 和 是轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣，而 是移動(dòng)矩陣。 7 齒輪嚙合原理 （ 3.1.2） = 從方程（ 3.1.2）可導(dǎo)出

15、 (3.1.3) 利用方程（ 3.1.1）和（ 3.1.2），則可以得到 2) 從 S1 到 S2 的坐標(biāo)變換方程 逆矩陣 可以通過(guò) 的各元素表達(dá)如下 (3.1.4) 逆坐標(biāo)變換基于矩陣方程 從該方程可導(dǎo)出 8 齒輪嚙合原理 2. 坐標(biāo)系 , 和 分別與齒條刀具、被加工的直齒外齒輪和機(jī)

16、架剛性固接 （圖 2）。齒條刀具的齒形是直線(xiàn)，該直線(xiàn)用方程 （ ） 表示在 中。這里， a 是齒形角（壓力角）；u 是變參數(shù)，該參數(shù)用來(lái)確定齒條刀具 齒形上的流動(dòng)點(diǎn)位置（對(duì)于點(diǎn) M， ；對(duì)于點(diǎn) ， ）。瞬時(shí)回轉(zhuǎn)中心為 。齒 輪的瞬心線(xiàn)是半徑為 r 的圓，而齒條刀具的瞬心線(xiàn)與 軸重合（圖 2）。齒條刀具的 位移 和齒輪的轉(zhuǎn)角 有如下關(guān)系式

17、 圖 3.2 求： 1）推導(dǎo)嚙合方程。 2）導(dǎo)出齒條刀具和被加工齒輪在嚙合中的嚙合線(xiàn)方程。 3）導(dǎo)出被加工齒輪的齒形方程。 4）確定齒條刀具的極限安裝位置，這種安裝位置將使齒輪的被加工齒形避免根切，并作圖說(shuō)明。 解： （1）由于曲面 和 在其切觸點(diǎn)處的公法線(xiàn)通過(guò)瞬時(shí)回轉(zhuǎn)軸線(xiàn)，則有方程： 9 齒輪嚙合原理 （ 3.2.1） 式中， =r =0 是表示在 中的 I 的坐標(biāo)。 = = （ 3.2.2） 式中 和 是

18、產(chǎn)形齒形的切線(xiàn)矢量和法線(xiàn)矢量， 是 軸的單位矢量。 由式 3.2.1 和 3.2.2 可以導(dǎo)出嚙合方程的下列表達(dá)式 (3.2.3) （ 2）由（ 1）的條件可得，嚙合線(xiàn)方程 (3.2.4) 表示。這樣可以得到 (3.2.5) 從方程 (3.2.5)可導(dǎo)出 (3.2.6) 嚙合線(xiàn) LK（如圖 3.2.2）是通過(guò) I 的一條直線(xiàn)，并且與 軸構(gòu)成夾角（ ）。線(xiàn)段 IK 上的個(gè)高點(diǎn)對(duì)應(yīng)于 0；線(xiàn)段 IL 上

19、的各個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)于 0。 10 齒輪嚙合原理 圖 3.2.1 （ 3）利用（ 1）的條件，利用微分幾何中提出的方法導(dǎo)出被加工尺形的方程 ①利用矩陣方程 (3.2.7) 將被加工齒形族的方程表示在坐標(biāo)系 中。從方程（ 3.

20、2.7）和題中條件可以導(dǎo)出 (3.2.8) ②導(dǎo)出嚙合方程 (3.2.9) 矢積 表示 中的產(chǎn)形齒形的法線(xiàn)矢量，并且 與 共線(xiàn)。 經(jīng)變換后，方程（ 3.2.8）和（ 3.2.9）將給出嚙合方程 被加工齒形方程 11 齒輪嚙合原理 （ 3.2.10） （ 4）齒條刀具齒形的界限點(diǎn)在齒輪的齒形上形成奇異點(diǎn)。齒條刀具的界限點(diǎn)可以用嚙合方程 （ 3.2.11） 和根切方程 （ 3.2

21、.12） 確定，后一方方程可以用方程 (3.2.13) 由題中條件和方程 (3.2.11)、(3.2.13)可以導(dǎo)出 （ 3.2.14） 則可以得到 u 的界限值為 （3.2.15） 同理可得 （3.2.16） 圖 3.2.2 圖解說(shuō)明了齒條刀具的極限安裝位置，此時(shí)點(diǎn) F 形成齒輪齒形上的奇異點(diǎn)。 12 齒輪嚙合原理

22、 圖 3.2.2 四、綜述及分析？（ 16 分） 采用齒輪嚙合原理的基本理論和方法，結(jié)合工程實(shí)際或列舉實(shí)例，綜合、分析齒輪嚙合原理的應(yīng)用及說(shuō)明其意義。 答：齒輪機(jī)構(gòu)是在各種機(jī)構(gòu)中應(yīng)用最為廣泛的一種傳動(dòng)機(jī)構(gòu)。它依靠齒輪齒廓直接傳 遞空間任意兩軸間的運(yùn)動(dòng)和動(dòng)力， 并具有傳遞功率范圍大、 傳動(dòng)效率高、使用壽命長(zhǎng)、 工作可靠，那么采用齒輪嚙合原理的基本理論和方法對(duì)其研究有

23、著實(shí)際的意義，下面 以生成面齒輪齒面為例說(shuō)明齒輪嚙合的運(yùn)用及其意義。 面齒輪傳動(dòng)是一種新型齒輪傳動(dòng)，具有許多獨(dú)特的優(yōu)點(diǎn)： 1)小齒輪為漸開(kāi)線(xiàn)齒 輪時(shí)，其軸向移動(dòng)產(chǎn)生的誤差對(duì)傳動(dòng)性能幾乎沒(méi)有影響。 2)面齒輪傳動(dòng)比普通錐齒輪 傳動(dòng)具有較大的重合度。 3)小齒輪為直齒圓柱齒輪時(shí)，小齒輪上無(wú)軸向力作用。 4)對(duì) 于點(diǎn)接觸面齒輪傳動(dòng)，在理論上仍然能保證定傳動(dòng)比傳動(dòng)。 5)面齒輪用于傳動(dòng)裝置時(shí) 傳動(dòng)振動(dòng)小和噪音低。 生成面齒輪齒面首先要建立坐標(biāo)系（如圖 4.1、4.2） 13

24、 齒輪嚙合原理 圖 4.1 圖 4.2 在推 面 面 ， 了四個(gè)坐 系 :兩個(gè)固定坐 系 ( ， )和 ( ， ，兩個(gè) 坐 系 ( ， 和 ( ， 。 固定坐 系 和 分 建立在刀具 支架和面 支架上， 它 的坐 原點(diǎn)重 合在刀具 和面 的交點(diǎn)上，如 4.1 所示 固定坐 系之 的位置關(guān)系， 它 的 x 重合。 坐 系 和 分 與刀具 和面 固 ，它 坐 原點(diǎn)也在兩 的交點(diǎn) 上，如 4

25、.2 所示 (( 和 ( 重合， 中分開(kāi) 便于表示 )， 和 交角 ，初始 坐 系 和 、 和 ，重合， 坐 系 ， 各 其 :軸轉(zhuǎn) ， 角分 。面 和刀具 的 比 ： ?????????????????????? ..(4.1) 圖 4.3 如 4.3 所示面 面可以分 兩部分，工作 面和 根 渡區(qū)域，它 中 的交 渡曲 ，下面介 如何得出 一個(gè)完整的 面 面 和 直 合 合點(diǎn) P，在刀具坐 系 中

26、，點(diǎn) P 的矢 14 齒輪嚙合原理 量為 ，刀具的回轉(zhuǎn)角速度矢為 )，因此點(diǎn) P 在 中的速度矢為 (4.2) 設(shè) 為 (4.3) 同樣在面齒輪坐標(biāo)系 中，點(diǎn) P 的矢量為 ，面齒輪的回轉(zhuǎn)角速度矢為 )，點(diǎn) P 在 中的速度矢為 (4.4) 設(shè) 為 (4.5) 其中 = （4.6） 將 轉(zhuǎn)換到刀具坐標(biāo)系 中為

27、（4.7） 其中 為從面齒輪坐標(biāo)系 到刀具坐標(biāo)系 的轉(zhuǎn)換矩陣，為 15 齒輪嚙合原理 （4.8） 并且 = （4.9） 因此可得在刀具坐標(biāo)系 中嚙合點(diǎn) P 處兩齒面的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度為 （ 4.10） 其中 ， :和 分別為刀具齒面在刀具坐標(biāo)系 中的各坐標(biāo)分量。 根據(jù)嚙合原理在嚙合點(diǎn)處齒面相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度矢在公法線(xiàn)上的投影為零， 得到嚙合方程為 = + （ 4.11） 由此得到了嚙合方

28、程，再根據(jù)坐標(biāo)變換，將嚙合點(diǎn)從刀具坐標(biāo)系 轉(zhuǎn)換到 面齒輪坐標(biāo)系 中，得到面齒輪工作齒面方程為 (4.12) 五、學(xué)習(xí)心得體會(huì)？（ 16 分） 學(xué)習(xí)本門(mén)課程的具體詳細(xì)收獲及體會(huì)。 答：盡管齒輪嚙合原理課程即將要結(jié)束，但它帶給了我很多的收獲與思考。 （一）、本門(mén)課程給予的收獲。 （ 1）齒輪傳動(dòng)是機(jī)器和儀器中用得最廣的一種機(jī)械傳動(dòng)。齒輪機(jī)構(gòu)可以傳遞平行軸、相交軸和相錯(cuò)軸之間的回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，換句話(huà)說(shuō)，它可以傳遞機(jī)器設(shè)計(jì)中已經(jīng)應(yīng)用的、任意配置的、兩軸間的回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。正因?yàn)辇X輪傳動(dòng)的應(yīng)用的廣泛性，研究齒輪嚙合具有重要的意義

29、。 （ 2）齒輪嚙合原理這門(mén)課主要內(nèi)容有：坐標(biāo)、曲面和曲線(xiàn)的曲率的詳細(xì)研究；齒輪運(yùn)動(dòng)學(xué)、齒輪分析和研究；各種齒輪的嚙合分析和加工研究；飛刀的設(shè)計(jì)加工；利用計(jì)算機(jī)數(shù)控機(jī)床加工齒面的研究；滾針（滾珠）測(cè)量法；齒輪實(shí)際齒面的坐標(biāo)測(cè)量和偏差的最小化。 （ 3）齒輪嚙合原理是一門(mén)對(duì)數(shù)學(xué)要求很高的課，在學(xué)習(xí)好數(shù)學(xué)方面的知識(shí)的同時(shí)， 16 齒輪嚙合原理 也應(yīng)努力掌握一兩款數(shù)學(xué)分析軟件才能提高數(shù)學(xué)分析能力，解決問(wèn)題的能力。因此如果學(xué)好了這能門(mén)課必然會(huì)使我們從事其他對(duì)于數(shù)學(xué)要求較高的專(zhuān)業(yè)也會(huì)得心應(yīng)手。 （ 4）對(duì)于自我的震撼，也許以前接觸的比較少吧，還有很少去關(guān)注這方

30、面的知識(shí)吧，沒(méi)有多深印象。通過(guò)這段時(shí)間的學(xué)習(xí)，開(kāi)闊了我的視野，轉(zhuǎn)變了自己的思維，當(dāng)然還有老師的對(duì)我們?yōu)槿颂幨路矫娴慕ㄗh教導(dǎo)，使我獲益匪淺，有所觸動(dòng)，有所感悟。 （二）、本門(mén)課程帶來(lái)的思考。 在完成這門(mén)課程的作業(yè)時(shí)，自己查閱了相關(guān)的文獻(xiàn)，從中能夠了解一些該學(xué)科的最新動(dòng)態(tài)，促進(jìn)了自己的更多思考。首先，其實(shí)對(duì)于知識(shí)，當(dāng)前并不一定能學(xué)會(huì)些什么能拿來(lái)用的知識(shí)，更多的是開(kāi)闊自己的視野，主動(dòng)去關(guān)注一些前沿的東西不致于坐井觀(guān)天沒(méi)有收獲。其次，要靜下心來(lái)去關(guān)注一件事情，欲速則不達(dá)，貪多必失，有所積累了要概括。最后，以后我多去看看文獻(xiàn)資料，努力學(xué)好數(shù)學(xué)軟件，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的方法解決工程問(wèn)題，用

31、心關(guān)注自己愛(ài)好的方向的知識(shí)。相信水滴石穿，繩鋸木斷，堅(jiān)持中會(huì)有所收獲。 17 齒輪嚙合原理 參考文獻(xiàn) [1]F.L. 李特文（ Litvin ）著 . 國(guó)楷，葉凌云，范琳等譯 . 齒輪幾何學(xué)與應(yīng)用理論 [M].

32、 上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社， 2008 [2] 郭仁生著 . 機(jī)械工程設(shè)計(jì)分析和 MATLAB應(yīng)用 [M]. 北京：機(jī)械工業(yè)出版社， 2006 [3] 王科社編著 . 機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì) [M]. 北京：國(guó)防工業(yè)出版社， 2007 [4] 吳序堂著 . 齒輪嚙合原理 [M]. 西安：西安交通大學(xué)出版社， 2009 [5] 李婷 . 漸開(kāi)線(xiàn)環(huán)形齒球齒輪傳動(dòng)理論研究 . 國(guó)防科技大學(xué)博士論文， 2009 [6] 張瑞亮 . 雙圓弧弧齒錐齒輪傳動(dòng)嚙合特性的研究 . 太原理工大學(xué)博士論文， 2010 [7] 李櫟楠 . 產(chǎn)形線(xiàn)切齒法加工雙曲面齒輪研究 . 吉林大學(xué)博士論文， 2010 [8] 孫桓，陳作模，葛文杰編 . 機(jī)械原理 [M]. 北京：高等教育出版社， 2006 18