高中數(shù)學(xué) 第一講 線性變換與二階矩陣 1_1_1 幾類特殊線性變換及其二階矩陣課件 新人教A版選修4-2

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1、第一講線性變換與二階矩陣 一線性變換與二階矩陣 (一)幾類特殊線性變換及其二階矩陣 1.理解旋轉(zhuǎn)變換、反射變換、伸縮變換、投影變換、切變變換及二階矩陣的概念.2.會求幾何元素在某變換作用下的像,會求變換公式及對應(yīng)的二階矩陣. 1 2 3 4 5 6 7 81.線性變換名師點(diǎn)撥在表達(dá)式(*)中,x,y都是關(guān)于x,y的常數(shù)項(xiàng)為0的一次式,通常稱“一次表達(dá)式”為“線性表達(dá)式”,所以上述變換稱為“線性變換”. 答案:(2,11) 1 2 3 4 5 6 7 8名師點(diǎn)撥二階矩陣僅僅是一個(gè)包含兩行、兩列的數(shù)表,它既不是數(shù),也不是代數(shù)式.手寫矩陣時(shí)要注意數(shù)與數(shù)之間的間距. 1 2 3 4 5 6 7 8答案

2、:3 1 2 3 4 5 6 7 83.特殊矩陣名師點(diǎn)撥1.矩陣通常用大寫的英文字母A,B,C表示.2.零矩陣和單位矩陣是常用的兩個(gè)矩陣. 1 2 3 4 5 6 7 8【做一做3】 在下列矩陣中,二階單位矩陣是()解析:由二階單位矩陣的定義知,選C.答案:C 1 2 43 5 6 7 8 1 2 43 5 6 7 8名師點(diǎn)撥1.(x,y)為平面內(nèi)任意一點(diǎn)的坐標(biāo),(x,y)是旋轉(zhuǎn)后的相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo).2.角可正可負(fù),為正角說明按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)|,為負(fù)角說明是按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)|. 1 2 43 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 85.反射變換平面上的任意一點(diǎn)P變成它關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)P的線

3、性變換叫做關(guān)于直線l的反射. 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8【做一做5】 在直角坐標(biāo)系xOy內(nèi),求任意一點(diǎn)P(x,y)關(guān)于直線y=-x 的反射變換的坐標(biāo)變換公式及相應(yīng)矩陣. 解:P(x,y)關(guān)于直線y=-x的對稱點(diǎn)為P(-y,-x),則坐標(biāo)變換公式 1 2 3 4 5 6 7 86.伸縮變換在直角坐標(biāo)系xOy內(nèi),將每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膋1倍,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼膋2倍,其中k1,k2均為非零常數(shù),稱這樣的幾何變換為伸縮變換. 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 87.投影變換設(shè)l是平面內(nèi)一條給定的直線,對平

4、面內(nèi)的任意一點(diǎn)P作直線l的垂線,垂足為點(diǎn)P,則稱點(diǎn)P為點(diǎn)P在直線l上的投影.將平面上每一點(diǎn)P變成它在直線l上的投影P,這個(gè)變換稱為關(guān)于直線l的投影變換. 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8【做一做7】 在直角坐標(biāo)系xOy內(nèi),關(guān)于直線y=2x的投影變換的矩陣為()答案:B 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8名師點(diǎn)撥在直角坐標(biāo)系xOy內(nèi),將每一點(diǎn)P(x,y)沿著與x軸平行的方向平移ky個(gè)單位長度變成點(diǎn)P,其中k是非零常數(shù),稱這類變換為平行于x軸的切變變換.同理,平行于y軸的切變變換是指直角坐標(biāo)系內(nèi)的每一點(diǎn)P(x,y)沿著與y軸平行的方向平移k

5、x個(gè)單位長度(其中k是非零常數(shù))的線性變換. 1 2 3 4 5 6 7 8 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 題型六【例1】 請寫出在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi),將每一點(diǎn)繞原點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)30的變換對應(yīng)的二階矩陣.分析:先寫出旋轉(zhuǎn)變換公式,再寫出二階矩陣.解:根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換公式, 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 題型六反思本題中的旋轉(zhuǎn)變換是按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的,所以代入旋轉(zhuǎn)變換坐標(biāo)公式時(shí),要用負(fù)角表示. 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 題型六 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 題型六反思只要明確了點(diǎn)A、點(diǎn)A與直線y=kx的關(guān)系,此類題可靈活求 解,在點(diǎn)A、點(diǎn)A及直線

6、l中可知二求一. 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 題型六 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 題型六反思熟記伸縮變換的坐標(biāo)變換公式及相應(yīng)的二階矩陣是解決此類題的金鑰匙. 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 題型六【例4】 在直角坐標(biāo)系xOy內(nèi),求關(guān)于直線y=3x的投影變換對應(yīng)的二階矩陣.分析:根據(jù)投影變換的定義,在關(guān)于直線l的投影變換下,點(diǎn)P與它的像P應(yīng)滿足PP l,且點(diǎn)P在直線l上. 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 題型六解:設(shè)平面內(nèi)任一點(diǎn)P(x,y)在關(guān)于直線y=3x的投影變換下的對應(yīng)點(diǎn)為P(x,y),則有PP與直線y=3x垂直,且點(diǎn)P在直線PP上,反思解決此類問題

7、,要緊扣概念,依據(jù)概念解題. 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 題型六【例5】 已知一切變變換是將坐標(biāo)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)(x,y)沿與x軸平行的方向平移2y個(gè)單位長度,則點(diǎn)P(1,2)在此變換作用下的像P為()A.(3,2)B.(5,2)C.(-1,2)D.(2,5)點(diǎn)P(1,2)在此變換作用下的像P為(5,2).答案:B 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 題型六 題型一 題型二 題型三 題型四 題型五 題型六錯(cuò)因分析:在旋轉(zhuǎn)變換中,把旋轉(zhuǎn)角的旋轉(zhuǎn)方向搞錯(cuò)了,逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的角代入旋轉(zhuǎn)變換公式時(shí)為正角,順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的角代入旋轉(zhuǎn)變換公式時(shí)為負(fù)角. 1 2 3 4 51.在直角坐標(biāo)系xOy內(nèi),將點(diǎn)A(1,2)繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)150后的點(diǎn)的坐標(biāo)為() 1 2 3 4 5解析:設(shè)點(diǎn)A繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)150后的點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),答案:B 1 2 3 4 52.在直角坐標(biāo)系xOy內(nèi),點(diǎn)P(1,1)在關(guān)于直線x=5的反射變換作用下的像為()A.(9,1) B.(1,9)C.(-1,1) D.(1,-1)解析:點(diǎn)P(1,1)關(guān)于直線x=5的對稱點(diǎn)為(9,1).答案:A 1 2 3 4 5 1 2 3 4 54.點(diǎn)P(2,3)在關(guān)于直線l的投影變換作用下的像為P(-1,1),則直線l的方程為. 答案:3x+2y+1=0 1 2 3 4 5