《2022-2023學(xué)年廣東省東莞市高一(下)期中數(shù)學(xué)試卷【含答案】》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2022-2023學(xué)年廣東省東莞市高一(下)期中數(shù)學(xué)試卷【含答案】(13頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、2022-2023學(xué)年廣東省東莞市高一(下)期中數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的1已知i為虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)3i-2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在()A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限2一個田徑隊,有男運動員56人,女運動員42人,比賽后,立即用分層抽樣的方法,從全體隊員中抽出一個容量為7的樣本進(jìn)行尿樣興奮劑檢查,其中男運動員應(yīng)抽的人數(shù)為()A4B3C2D13如圖,用斜二測畫法所畫的一個平面圖形的直觀圖是一個邊長為a的正方形OABC,則原平面圖形的周長為()A10aB8aC6aD4a4在ABC中,AD為BC邊上的中線,E為A
2、D的中點則()ABCD5如圖,從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B,C的俯角分別為75,30,此時氣球的高度是60m,則河流的寬度BC等于()AmBmCmDm6卡拉夫金字塔(如圖1)由埃及第四王朝法老卡夫拉建造,可通往另一座河谷的神廟和獅身人面像,是世界上最緊密的建筑之一。從外側(cè)看,金字塔的形狀可以抽象成一個正四棱錐(如圖2),其中,點E為SB的中點,則SA,CE所成角的余弦值為()ABCD7已知三棱錐SABC的四個頂點都在球O的球面上,且SABC2,SBAC,SCAB,則球O的體積是()ABCD8已知在ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且c5,點O為其外接圓的圓心,已知,則邊a(
3、)A5B6C7D8二、多項選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分9下列四個命題中正確的是()A若兩條直線互相平行,則這兩條直線確定一個平面B若兩條直線相交,則這兩條直線確定一個平面C若四點不共面,則這四點中任意三點都不共線D若兩條直線沒有公共點,則這兩條直線是異面直線10為豐富老年人的業(yè)余生活,某小區(qū)組建了合唱、朗誦、脫口秀、舞蹈、太極拳五個興趣社團(tuán),該小區(qū)共有2000名老年人,每位老人依據(jù)自己興趣愛好最多可參加其中一個,各個社團(tuán)的人數(shù)比例的餅狀圖如圖所示,其中參加朗誦社的老人有8名,參加太極拳社團(tuán)的
4、有12名,則()A這五個社團(tuán)的總?cè)藬?shù)為100B脫口秀社團(tuán)的人數(shù)占五個社團(tuán)總?cè)藬?shù)的20%C這五個社團(tuán)總?cè)藬?shù)占該小區(qū)老年人數(shù)的4%D從這五個社團(tuán)中任選一人,其來自脫口秀社團(tuán)或舞蹈社團(tuán)的概率為40%11在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,有如下命題,其中正確的是()A若sin2Asin2B,則ABC為等腰三角形B若sinAsinB,則ABC若,則ABC是鈍角三角形D若a3+b3c3,則ABC為銳角三角形12已知圓錐的底面半徑為1,高為,S為頂點,A,B為底面圓周上兩個動點,則()A圓錐的體積為B圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角大小為C圓錐截面SAB的面積的最大值為D從點A出發(fā)繞圓錐側(cè)面一周回到點
5、A的無彈性細(xì)繩的最短長度為三、填空題:本大題共4小題,每小題5分13已知復(fù)數(shù)z滿足|z|1,則|z3i|的最大值為 14已知向量在向量方向上的投影向量為,且,則 15如圖1,一個正三棱柱容器,底面邊長為1,高為2,內(nèi)裝水若干,將容器放倒,把一個側(cè)面作為底面,如圖2,這時水面恰好為中截面,則圖1中容器內(nèi)水面的高度是 16已知三棱錐PABC的棱長均為4,先在三棱錐PABC內(nèi)放入一個內(nèi)切球O1,然后再放入一個球O2,使得球O2與球O1及三棱錐PABC的三個側(cè)面都相切,則球O2的表面積為 四、解答題:本大題共6個大題,共70分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟17已知復(fù)數(shù)z(2m2m1)+(m2+
6、2m3)i,mR(1)當(dāng)m取什么值時,復(fù)數(shù)z是純虛數(shù);(2)當(dāng)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限時,求m的取值范圍18在斜三角形ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且滿足asinA+4bsinCcos2AbsinB+csinC(1)求角A的大??;(2)若a2,且BC上的中線AD長為,求斜三角形ABC的面積19在直角梯形ABCD中,已知ABCD,DAB90,AB4,ADCD2,對角線AC交BD于點O,點M在AB上,且滿足OMBD(1)求的值;(2)若N為線段AC上任意一點,求的最小值20如圖,洪澤湖濕地為拓展旅游業(yè)務(wù),現(xiàn)準(zhǔn)備在濕地內(nèi)建造一個觀景臺P,已知射線AB,AC為濕地兩邊夾角
7、為120的公路(長度均超過2千米),在兩條公路AB,AC上分別設(shè)立游客接送點M,N,從觀景臺P到M,N建造兩條觀光線路PM,PN,測得AM2千米,AN2千米(1)求線段MN的長度;(2)若MPN60,求兩條觀光線路PM與PN之和的最大值21如圖,在棱長為4的正方體ABCDA1B1C1D1中,E是DD1上的動點,F(xiàn)是CD的中點(1)求三棱錐BAB1E的體積;(2)若E是DD1的中點,求證:BF平面AB1E22如圖,四邊形ABCD為正方形,ED平面ABCD,F(xiàn)BED,ABED2FB2(1)求證:AC平面BDEF;(2)求BC與平面AEF所成角的正弦值 參考答案與試題解析一、單項選擇題(本大題共8小
8、題,每小題5分,共40分在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1【解答】選:B2【解答】選:A3【解答】【解答】解:由直觀圖還原得到原圖形,如圖,OABCa,OB2a,BOA90,ABOC3a,原圖形的周長為8a,故選:B4【解答】解:因為ABC中,AD為BC邊上的中線,E為AD的中點,所以,故選:A5【解答】解:由題可得ACB30,所以,則AC120,在ABC中,BAC753045,ABC105,由正弦定理可得,即,解得故選:D6【解答】選:C7【解答】解:將三棱錐放入長方體中,設(shè)長方體的長寬高分別為a,b,c,如圖所示:則,故a2+b2+c28,球O的半徑R,故體積為R3故選
9、:D8【解答】解:如圖,c5,O為ABC的外接圓圓心,a249,a7故選:C二、多項選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分在每小題給出的四個選項中,有多個選項符合題目要求,全部選對的得5分,有選錯的得0分,部分選對的得3分)9【解答】解:公理2的推論3:經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個平面,選項A正確;公理2的推論2:經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面,選項B正確;空間四點不共面,則其中任何三點不共線,否則由公理2的推論1:直線與直線外一點確定一個平面,這空間四點共面,所以選項C正確;若兩條直線沒有公共點,可以互相平行,不一定是異面直線,選項D錯誤故選:ABC10【解答】解:由于參加朗誦社團(tuán)的
10、同學(xué)有8名,該社團(tuán)人數(shù)占比為10%,社團(tuán)總?cè)藬?shù)為80人,故A錯誤;合唱團(tuán)人數(shù)為8030%24,舞蹈社團(tuán)人數(shù)為8025%20人,脫口秀社團(tuán)的人數(shù)為80241220816,脫口秀社團(tuán)的人數(shù)占有五個社團(tuán)總?cè)藬?shù)的20%,故B正確;五個社團(tuán)總?cè)藬?shù)占該校學(xué)生人數(shù)的4%,故C正確;脫口秀社團(tuán)的人數(shù)占五個社團(tuán)總?cè)藬?shù)的20%,舞蹈社團(tuán)的人數(shù)占五個社團(tuán)總?cè)藬?shù)的25%,這兩個社團(tuán)人數(shù)占五個社團(tuán)總?cè)藬?shù)的45%,從這五個社團(tuán)中任選一人,其來自脫口秀社團(tuán)或舞蹈社團(tuán)的概率為45%,故D錯誤故選:BC11【解答】解:由sin2Asin2B可得2A2B或2A+2B,所以AB或A+B,A錯誤;若sinAsinB,則ab,所以AB
11、,B正確;若,則C為鈍角,ABC是鈍角三角形,C正確;D項:a3+b3c3,則c最大,1()3+()3()2+()2,a2+b2c2,C為銳角,又知C為最大角,ABC為銳角三角形,D正確故選:BCD12【解答】解:對于A:因為圓錐的底面半徑為1,高為,所以體積,故A正確;對于B:設(shè)圓錐的母線為l,則,設(shè)圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為,由弧長公式得:l2r,即22,解得:,故B錯誤;對于C:顯然當(dāng)圓錐截面SAB為軸截面時,其面積最大,此時,故C正確;對于D:由B可得該圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為2的半圓,所以從點A出發(fā)繞圓錐側(cè)面一周回到點A的無彈性細(xì)繩的最短長度為4,故D錯誤;故選:AC三、填空題(本大
12、題共4小題,每小題5分,共20分)13【解答】解:滿足|z|1的點在復(fù)平面內(nèi)以原點為圓心,以1為半徑的圓上,|z3i|的幾何意義為單位圓上的點到定點P(0,3)的距離,如圖:則|z3i|的最大值為4故答案為:414【解答】答案為:-1815【解答】解:在圖2中,水中部分是四棱柱,四棱柱底面積為S,高為2,四棱柱的體積為V2a,設(shè)圖1中容器內(nèi)水面高度為h,則V,解得h圖1中容器內(nèi)水面的高度是故答案為:16【解答】解:如圖所示:依題意得,底面ABC的外接圓半徑為,點P到平面ABC的距離為,所以,所以,設(shè)球O1的半徑為R,所以,則,得,設(shè)球O2的半徑為r,則,又,得,所以球O2的表面積為故答案為:四
13、、解答題(本大題共6小題,共70分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17【解答】解:(1)z是純虛數(shù),2m2m10且m2+2m30,解得;(2)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限,解得3m故m的取值范圍為(3,)18【解答】解:(1)asinA+4bsinCcos2AbsinB+csinC,由正弦定理可得,a2+4bccos2Ab2+c2,cos2AcosA,三角形ABC為斜三角形,A不為直角,即cosA0,cosA,又A(0,),A;(2)A,a2,由余弦定理可得4b2+c2bc,BC上的中線AD長為,可得BDCD1,在ABD中,由余弦定理可得cosADB,在ACD中,由余弦定理可得
14、cosADC,又cosADBcos(ADC)cosADC,整理可得b2+c28,由解得bc2,SABCbcsinA19【解答】解:方法一(1)在梯形ABCD中,因為ABCD,AB2CD,所以AO2OC,;(2)令,則,即,令,則,所以當(dāng)時,有最小值方法二(1)以A為坐標(biāo)原點,AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系;則A(0,0),B(4,0),C(2,2),D(0,2);則,由相似三角形易得設(shè)M(,0),則,得則,(2)設(shè)N(a,a),顯然0a2,所以當(dāng)時,有最小值20【解答】解:(1)在AMN中,由余弦定理得,MN2AM2+AN22AMANcos120(2分),所以千米 (
15、4分)(2)設(shè)PMN,因為MPN60,所以PNM120在PMN中,由正弦定理得,(6分)因為,所以PM4sin(1200),PN4sin(8分)因此PM+PN4sin(1200)+4sin(10分)(13分)因為0120,所以30+30150所以當(dāng)+300900,即600時,PM+PN取到最大值(15分)答:兩條觀光線路距離之和的最大值為千米(16分)21【解答】解:(1)在正方體ABCDA1B1C1D1中,DD1平面ABB1A1所以點E在DD1上運動時,到平面ABB1A1的距離為4,;證明:(2)連接A1B交AB1于點M,連接EM,EF,D1C,因為EFD1C,且,MBD1C,且,所以,所以
16、四邊形MEFB是平行四邊形,所以BFME,又因為BF平面AB1E,ME平面AB1E,所以BF平面AB1E22【解答】證明:(1)連接BD交AC于O,四邊形ABCD為正方形,ACBD,又ED平面ABCD,AC平面ABCD,則EDAC又FBED,B,D,E,F(xiàn)四點共面,EDBDD,且ED,BD平面BDEF,AC平面BDEF;解:(2)BCAD,BC與平面AEF所成角就是AD與平面AEF所成角,在AEF中,可以求得,根據(jù)余弦定理得,AEF(0,),設(shè)點D到平面AEF的距離為d,由DE平面ABCD知DEAB,而ADAB,ADDED,AB平面ADE,F(xiàn)BED,F(xiàn)B平面ADE,ED平面ADE,F(xiàn)B平面ADE,則點F到平面ADE的距離為AB長2,又,由VDAEFVFADE,得,即,解得,故BC與平面AEF所成角的正弦值為