2022-2023學年廣東省東莞市高一（下）期中數(shù)學試卷【含答案】

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1、2022-2023學年廣東省東莞市高一（下）期中數(shù)學試卷 一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的． 1．已知i為虛數(shù)單位，則復數(shù)3i-2在復平面內對應的點在（　?。? A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．一個田徑隊，有男運動員56人，女運動員42人，比賽后，立即用分層抽樣的方法，從全體隊員中抽出一個容量為7的樣本進行尿樣興奮劑檢查，其中男運動員應抽的人數(shù)為（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 3．如圖，用斜二測畫法所畫的一個平面圖形的直觀圖是一個邊長為a的正方形O'A'B'C'，則原平面圖形的

2、周長為（　　） A．10a B．8a C．6a D．4a 4．在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點．則（　?。? A． B． C． D． 5．如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75°，30°，此時氣球的高度是60m，則河流的寬度BC等于（　?。? A．m B．m C．m D．m 6．卡拉夫金字塔（如圖1）由埃及第四王朝法老卡夫拉建造，可通往另一座河谷的神廟和獅身人面像，是世界上最緊密的建筑之一。從外側看，金字塔的形狀可以抽象成一個正四棱錐（如圖2），其中，點E為SB的中點，則SA，CE所成角的余弦值為（　?。? A． B． C． D． 7．

3、已知三棱錐S﹣ABC的四個頂點都在球O的球面上，且SA＝BC＝2，SB＝AC＝，SC＝AB＝，則球O的體積是（　?。? A． B． C． D． 8．已知在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且c＝5，點O為其外接圓的圓心，已知，則邊a＝（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分． 9．下列四個命題中正確的是（　?。? A．若兩條直線互相平行，則這兩條直線確定一個平面 B．若兩條直線相交，則這兩條直線確定一個平面 C．若

4、四點不共面，則這四點中任意三點都不共線 D．若兩條直線沒有公共點，則這兩條直線是異面直線 10．為豐富老年人的業(yè)余生活，某小區(qū)組建了合唱、朗誦、脫口秀、舞蹈、太極拳五個興趣社團，該小區(qū)共有2000名老年人，每位老人依據自己興趣愛好最多可參加其中一個，各個社團的人數(shù)比例的餅狀圖如圖所示，其中參加朗誦社的老人有8名，參加太極拳社團的有12名，則（　?。? A．這五個社團的總人數(shù)為100 B．脫口秀社團的人數(shù)占五個社團總人數(shù)的20% C．這五個社團總人數(shù)占該小區(qū)老年人數(shù)的4% D．從這五個社團中任選一人，其來自脫口秀社團或舞蹈社團的概率為40% 11．在△ABC中，角A，

5、B，C的對邊分別為a，b，c，有如下命題，其中正確的是（　?。? A．若sin2A＝sin2B，則△ABC為等腰三角形 B．若sinA＞sinB，則A＞B C．若，則△ABC是鈍角三角形 D．若a3+b3＝c3，則△ABC為銳角三角形 12．已知圓錐的底面半徑為1，高為，S為頂點，A，B為底面圓周上兩個動點，則（　?。? A．圓錐的體積為π B．圓錐的側面展開圖的圓心角大小為 C．圓錐截面SAB的面積的最大值為 D．從點A出發(fā)繞圓錐側面一周回到點A的無彈性細繩的最短長度為 三、填空題：本大題共4小題，每小題5分． 13．已知復數(shù)z滿足|z|＝1，則|

6、z﹣3i|的最大值為 　 ?。? 14．已知向量在向量方向上的投影向量為，且，則　 ?。? 15．如圖1，一個正三棱柱容器，底面邊長為1，高為2，內裝水若干，將容器放倒，把一個側面作為底面，如圖2，這時水面恰好為中截面，則圖1中容器內水面的高度是 　 　． 16．已知三棱錐P﹣ABC的棱長均為4，先在三棱錐P﹣ABC內放入一個內切球O1，然后再放入一個球O2，使得球O2與球O1及三棱錐P﹣ABC的三個側面都相切，則球O2的表面積為 　 ?。? 四、解答題：本大題共6個大題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過

7、程或演算步驟． 17．已知復數(shù)z＝（2m2﹣m﹣1）+（m2+2m﹣3）i，m∈R． （1）當m取什么值時，復數(shù)z是純虛數(shù)； （2）當復數(shù)z在復平面內對應的點位于第四象限時，求m的取值范圍． 18．在斜三角形ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足asinA+4bsinCcos2A＝bsinB+csinC． （1）求角A的大?。? （2）若a＝2，且BC上的中線AD長為，求斜三角形ABC的面積． 19．在直角梯形ABCD中，已知AB∥CD，∠DAB＝90°，AB＝4，AD＝CD＝2，對角線AC交B

8、D于點O，點M在AB上，且滿足OM⊥BD． （1）求的值； （2）若N為線段AC上任意一點，求的最小值． 20．如圖，洪澤湖濕地為拓展旅游業(yè)務，現(xiàn)準備在濕地內建造一個觀景臺P，已知射線AB，AC為濕地兩邊夾角為120°的公路（長度均超過2千米），在兩條公路AB，AC上分別設立游客接送點M，N，從觀景臺P到M，N建造兩條觀光線路PM，PN，測得AM＝2千米，AN＝2千米． （1）求線段MN的長度； （2）若∠MPN＝60°，求兩條觀光線路PM與PN之和的最大值． 21．如圖，在棱長為4的正方體

9、ABCD﹣A1B1C1D1中，E是DD1上的動點，F(xiàn)是CD的中點． （1）求三棱錐B﹣AB1E的體積； （2）若E是DD1的中點，求證：BF∥平面AB1E． 22．如圖，四邊形ABCD為正方形，ED⊥平面ABCD，F(xiàn)B∥ED，AB＝ED＝2FB＝2． （1）求證：AC⊥平面BDEF； （2）求BC與平面AEF所成角的正弦值． 參考答案與試題解析 一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的） 1．【解答】選：B． 2．【解答】選：A． 3．【解答

10、】【解答】解：由直觀圖還原得到原圖形，如圖， ∴OA＝BC＝a，OB＝2a，∠BOA＝90°， ∴AB＝OC＝3a，原圖形的周長為8a， 故選：B． 4．【解答】解：因為△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點， 所以＝＝＝＝， 故選：A． 5．【解答】解：由題可得∠ACB＝30°，所以，則AC＝120， 在△ABC中，∠BAC＝75°﹣30°＝45°，∠ABC＝105°， 由正弦定理可得，即， 解得． 故選：D． 6．【解答】選：C． 7．【解答】解：將三棱錐放入長方體中，設長方體的長寬高分別為a，b，c，如圖所示： 則，故a2

11、+b2+c2＝8，球O的半徑R＝＝， 故體積為πR3＝．故選：D． 8．【解答】解：如圖，∵c＝5，O為△ABC的外接圓圓心， ∴＝＝＝， ∴a2＝49，a＝7． 故選：C． 二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多個選項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分） 9．【解答】解：公理2的推論3：經過兩條平行直線有且只有一個平面，選項A正確； 公理2的推論2：經過兩條相交直線有且只有一個平面，選項B正確； 空間四點不共面，則其中任何三點不共線，否則由公理2的推論1：直線與直線外一點確定一個平面，這空間

12、四點共面，所以選項C正確； 若兩條直線沒有公共點，可以互相平行，不一定是異面直線，選項D錯誤． 故選：ABC． 10．【解答】解：由于參加朗誦社團的同學有8名，該社團人數(shù)占比為10%， ∴社團總人數(shù)為80人，故A錯誤； 合唱團人數(shù)為80×30%＝24，舞蹈社團人數(shù)為80×25%＝20人， ∴脫口秀社團的人數(shù)為80﹣24﹣12﹣20﹣8＝16， ∴脫口秀社團的人數(shù)占有五個社團總人數(shù)的＝20%，故B正確； 五個社團總人數(shù)占該校學生人數(shù)的＝4%，故C正確； 脫口秀社團的人數(shù)占五個社團總人數(shù)的20%， 舞蹈社團的人數(shù)占五個社團總人數(shù)的25%， ∴這兩個社團人數(shù)占五個社團總人數(shù)

13、的45%， ∴從這五個社團中任選一人，其來自脫口秀社團或舞蹈社團的概率為45%，故D錯誤． 故選：BC． 11．【解答】解：由sin2A＝sin2B可得2A＝2B或2A+2B＝π， 所以A＝B或A+B＝，A錯誤； 若sinA＞sinB，則a＞b，所以A＞B，B正確； 若，則C為鈍角，△ABC是鈍角三角形，C正確； D項：a3+b3＝c3，則c最大， 1＝（）3+（）3＜（）2+（）2， ∴a2+b2＞c2，∴C為銳角，又知C為最大角， ∴△ABC為銳角三角形，D正確． 故選：BCD． 12．【解答】解：對于A：因為圓錐的底面半徑為1，高為，所以體積，故A正確；

14、 對于B：設圓錐的母線為l，則， 設圓錐的側面展開圖的圓心角為θ，由弧長公式得：lθ＝2πr，即2θ＝2π，解得：θ＝π，故B錯誤； 對于C：顯然當圓錐截面SAB為軸截面時，其面積最大，此時，故C正確； 對于D：由B可得該圓錐的側面展開圖是半徑為2的半圓， 所以從點A出發(fā)繞圓錐側面一周回到點A的無彈性細繩的最短長度為4，故D錯誤； 故選：AC． 三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．） 13．【解答】解：滿足|z|＝1的點在復平面內以原點為圓心，以1為半徑的圓上， |z﹣3i|的幾何意義為單位圓上的點到定點P（0，3）的距離， 如圖： 則|z﹣3i|的最

15、大值為4． 故答案為：4． 14．【解答】答案為：-18． 15．【解答】解：在圖2中，水中部分是四棱柱， 四棱柱底面積為S＝﹣＝，高為2， ∴四棱柱的體積為V＝2a×＝， 設圖1中容器內水面高度為h， 則V＝＝，解得h＝． ∴圖1中容器內水面的高度是． 故答案為：． 16．【解答】解：如圖所示： 依題意得， 底面ABC的外接圓半徑為， 點P到平面ABC的距離為， 所以， 所以， 設球O1的半徑為R，所以， 則，得， 設球O2的半徑為r，則，又，得， 所以球O2的表面積為． 故答案為：． 四、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應

16、寫出文字說明、證明過程或演算步驟） 17．【解答】解：（1）∵z是純虛數(shù)， ∴2m2﹣m﹣1＝0且m2+2m﹣3≠0， 解得； （2）∵復數(shù)z在復平面內對應的點位于第四象限， ∴，解得﹣3＜m＜﹣． 故m的取值范圍為（﹣3，﹣）． 18．【解答】解：（1）∵asinA+4bsinCcos2A＝bsinB+csinC， ∴由正弦定理可得，a2+4bc?cos2A＝b2+c2， ∴cos2A＝＝cosA， ∵三角形ABC為斜三角形， ∴∠A不為直角，即cosA≠0，∴cosA＝，又∵A∈（0，π）， ∴A＝； （2）∵A＝，a＝2，∴由余弦定理可得4＝b2+c2﹣bc

17、，① ∵BC上的中線AD長為，可得BD＝CD＝1， ∴在△ABD中，由余弦定理可得cos∠ADB＝， 在△ACD中，由余弦定理可得cos∠ADC＝， 又∵cos∠ADB＝cos（π﹣∠ADC）＝﹣cos∠ADC， ∴＝﹣，整理可得b2+c2＝8，② ∴由①②解得b＝c＝2， ∴S△ABC＝bcsinA＝＝． 19．【解答】解：方法一 （1）在梯形ABCD中，因為AB∥CD，AB＝2CD， 所以AO＝2OC， ∴ ＝ ＝ ＝； （2）令，＝ 則，即， ＝ 令，則，， 所以當時，有最小值． 方法二 （1）以A為坐標原點，AB所在直線為x軸，AD所在

18、直線為y軸建立平面直角坐標系； 則A（0，0），B（4，0），C（2，2），D（0，2）；則， 由相似三角形易得．設M（λ，0），則， ． 得．則，． （2）設N（a，a），顯然0≤a≤2，， 所以當時，有最小值． 20．【解答】解：（1）在△AMN中，由余弦定理得，MN2＝AM2+AN2﹣2AM?ANcos120°…（2分） ＝， 所以千米． …（4分） （2）設∠PMN＝α，因為∠MPN＝60°，所以∠PNM＝120°﹣α 在△PMN中，由正弦定理得，．…（6分） 因為＝， 所以PM＝4sin（1200

19、﹣α），PN＝4sinα…（8分） 因此PM+PN＝4sin（1200﹣α）+4sinα…（10分） ＝ ＝＝…（13分） 因為0°＜α＜120°，所以30°＜α+30°＜150°． 所以當α+300＝900，即α＝600時，PM+PN取到最大值．…（15分） 答：兩條觀光線路距離之和的最大值為千米．…（16分） 21．【解答】解：（1）在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1∥平面ABB1A1 所以點E在DD1上運動時，到平面ABB1A1的距離為4，； 證明：（2）連接A1B交AB1于點M，連接EM，EF，D1C， 因為EF∥D1C，且，MB∥D1C，且，所以

20、， 所以四邊形MEFB是平行四邊形， 所以BF∥ME， 又因為BF?平面AB1E，ME?平面AB1E， 所以BF∥平面AB1E． 22．【解答】證明：（1）連接BD交AC于O， ∵四邊形ABCD為正方形，∴AC⊥BD， 又∵ED⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，則ED⊥AC． 又∵FB∥ED，∴B，D，E，F(xiàn)四點共面， ∵ED?BD＝D，且ED，BD?平面BDEF， ∴AC⊥平面BDEF； 解：（2）∵BC∥AD，∴BC與平面AEF所成角就是AD與平面AEF所成角， 在△AEF中，可以求得，，， 根據余弦定理得， ∵∠AEF∈（0，π），∴， ∴， 設點D到平面AEF的距離為d， 由DE⊥平面ABCD知DE⊥AB，而AD⊥AB，AD∩DE＝D， ∴AB⊥平面ADE， ∵FB∥ED，F(xiàn)B?平面ADE，ED?平面ADE， ∴FB∥平面ADE，則點F到平面ADE的距離為AB長2， 又∵， 由VD﹣AEF＝VF﹣ADE，得， 即，解得， 故BC與平面AEF所成角的正弦值為．