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1、正 弦 定 理 在 Rt ABC中 ,各 角 與 其 對 邊 (角 A的 對 邊 一般 記 為 a， 其 余 類 似 )的 關(guān) 系 :caAsin cbB sin1sin C不 難 得 到 : CcBbAa sinsinsin C BA ab c cc 在 非 直 角 三 角 形 ABC中 有 這 樣 的 關(guān) 系 嗎 ?A cb aC B bADcAD CB sin,sin所 以 AD=csinB=bsinC, 即 ,sinsin CcBb 同 理 可 得 ,sinsin CcAa CcBbAa sinsinsin 即 ： DAc b CB 圖 1過 點(diǎn) A作 AD BC于 D,此 時(shí) 有 若
2、 三 角 形 是 銳 角 三 角 形 , 如 圖 1, CC bAD sinsin ）（ 且 CcBbAa sinsinsin 仿 (2)可 得 D若 三 角 形 是 鈍 角 三 角 形 ,且 角 C是 鈍 角 如 圖 2, 此 時(shí) 也 有 cADB sin 交 BC延 長 線 于 D,過 點(diǎn) A作 AD BC， C Ac bB 圖 2 正 弦 定 理 : CcBbAa sinsinsin 即在 一 個(gè) 三 角 形 中 ,各 邊 和 它 所 對 角 的正 弦 的 比 相 等 .思 考 ： 你 能 否 找 到 其 他 證 明 正 弦 定 理 的 方 法 ？ （ R為 ABC外 接 圓 半 徑 ）
3、另 證 1: RCcBbAa 2sinsinsin 證 明 ： OC /c b a CBARCc RcCC CCCBA 2sin 2sinsin ,90 RCcBbAa RBbRAa 2sinsinsin 2sin,2sin 同 理 作 外 接 圓 O,過 B作 直 徑 BC/,連 AC/, 另 證 2: 證 明 ： BacAbcCabS ABC sin21sin21sin21 B A CDa bc aABC ahS 21而 CbBcADha sinsin CabBacS ABC sin21sin21 同 理 BacAbcCabS ABC sin21sin21sin21 ha AbcS ABC
4、 sin21 剖 析 定 理 、 加 深 理 解1、 正 弦 定 理 可 以 解 決 三 角 形 中 的 問 題 ： 已 知 兩 角 和 一 邊 ， 求 其 他 角 和 邊 已 知 兩 邊 和 其 中 一 邊 的 對 角 ， 求 另 一 邊的 對 角 ， 進(jìn) 而 可 求 其 他 的 邊 和 角 RCcBbAa 2sinsinsin 正 弦 定 理 ： 剖 析 定 理 、 加 深 理 解 RCcBbAa 2sinsinsin 正 弦 定 理 ：2、 A+B+C=3、 大 角 對 大 邊 ， 大 邊 對 大 角 剖 析 定 理 、 加 深 理 解 RCcBbAa 2sinsinsin 正 弦 定
5、理 ：4、 一 般 地 ， 把 三 角 形 的 三 個(gè) 角 A， B， C和 它 們 的 對 邊 a， b， c叫 做 三 角 形 的 元素 。 已 知 三 角 形 的 幾 個(gè) 元 素 求 其 他 元 素的 過 程 叫 解 三 角 形 剖 析 定 理 、 加 深 理 解 RCcBbAa 2sinsinsin 正 弦 定 理 ：5、 正 弦 定 理 的 變 形 形 式6、 正 弦 定 理 ， 可 以 用 來 判 斷 三 角 形 的形 狀 ， 其 主 要 功 能 是 實(shí) 現(xiàn) 三 角 形 邊 角 關(guān)系 的 轉(zhuǎn) 化 定 理 的 應(yīng) 用例 1、 在 ABC 中 ， 已 知 c = 10, A = 45。
6、 , C = 30。 ， 解 三 角 形 (精 確 到0.01） 已 知 兩 角 和 任 意 邊 ，求 其 他 兩 邊 和 一 角 BA Cabc 例 2、 已 知 a=16， b= ， A=30 .解 三 角 形 已 知 兩 邊 和 其 中 一 邊的 對 角 ,求 其 他 邊 和 角解 ： 由 正 弦 定 理 BbAa sinsin 得 2316 30sin316sinsin a AbB所 以 60 ,或 120當(dāng) 時(shí) 60 C=90 .32cC=30 .16sinsin ACac316當(dāng) 120 時(shí) B 16300A BC 16316 變 式 : a=30, b=26, A=30 ， 解
7、三 角 形30 0A BC26 30解 ： 由 正 弦 定 理 BbAa sinsin 得 30133030sin26sinsin a AbB所 以 25.70, 或 1800 25.70=154.30由 于 154.30 +3001800 故 B只 有 一 解 （ 如 圖 ）C=124.30, 57.49sinsin ACac 30137.25sin 變 式 : a=30, b=26, A=30 ， 解 三 角 形30 0A BC26 30解 ： 由 正 弦 定 理 BbAa sinsin 得 30133030sin26sinsin a AbB所 以 25.70, C=124.30,57.4
8、9sinsin ACac 30137.25sin a b A B , 三 角 形 中 大 邊 對 大 角 課 堂 小 結(jié)（ 1） 三 角 形 常 用 公 式 ：（ 2） 正 弦 定 理 的 應(yīng) 用正 弦 定 理 ： A B C 1 1 1sin sin sin2 2 2ABCS ab C bc A ac B sin sin sina b cA B C 2R課 后 作 業(yè) P10 習(xí) 題 1.1A組 1， 2（ 1） （ 2） 已 知 兩 邊 和 其 中 一 邊 的 對 角 ,求 其 他 邊 和角1.根 據(jù) 下 列 條 件 解 三 角 形 (1)b=13， a=26， B=30 .B=90 ，
9、C=60 ， c= 313(2) b=40， c=20， C=45 .練 習(xí)注 ： 三 角 形 中 角 的 正 弦 值 小 于 時(shí) ， 角 可 能 有 兩 解無 解 課 堂 小 結(jié)（ 2） 正 弦 定 理 應(yīng) 用 范 圍 ： 已 知 兩 角 和 任 意 邊 ， 求 其 他 兩 邊 和 一 角 已 知 兩 邊 和 其 中 一 邊 的 對 角 ， 求 另 一 邊的 對 角 。 (注 意 解 的 情 況 )(1)正 弦 定 理 ： sin sin sina b cA B C 2R 已 知 兩 邊 和 其 中 一 邊 的 對 角 ,求 其他 邊 和 角 時(shí) ,三 角 形 什 么 情 況 下 有一 解
10、,二 解 ,無 解 ?課 后 思 考 例 在 ABC中 ， 已 知 a 2， b ， A 45 ， 求 B和 c。 22變 式 1： 在 ABC中 ， 已 知 a 4， b ， A 45 ， 求 B和 c。 22變 式 2： 在 ABC中 ， 已 知 a ， b ， A 45 ， 求 B和 c。 22334正 弦 定 理 應(yīng) 用 二 ： 已 知 兩 邊 和 其 中 一 邊 對 角 ， 求 另 一 邊 的 對 角 ， 進(jìn)而 可 求 其 它 的 邊 和 角 。 （ 要 注 意 可 能 有 兩 解 ） 3練 習(xí) 2、 在 ABC中 ， 若 a=2bsinA， 則 B A、 B、 C、 D、3 6 653 32 6或 或登 高 3、 在 ABC中 ， ， 則 ABC的 形 狀 是 A、 等 腰 三 角 形 B、 直 角 三 角 形 C、 等 腰 直 角 三 角 形 D、 等 腰 三 角 形 或 直 角 三 角 形AbBa coscos 練 習(xí) 1、 在 ABC中 ， 若 A： B： C=1： 2： 3， 則 a:b:c ( ) A、 1:2:3 B、 3:2:1 C、 1: :2 D、 2: :133自 我 提 高 ！
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