《正弦定理》PPT課件
正 弦 定 理 在 Rt ABC中 ,各 角 與 其 對 邊 (角 A的 對 邊 一般 記 為 a, 其 余 類 似 )的 關(guān) 系 :caAsin cbB sin1sin C不 難 得 到 : CcBbAa sinsinsin C BA ab c cc 在 非 直 角 三 角 形 ABC中 有 這 樣 的 關(guān) 系 嗎 ?A cb aC B bADcAD CB sin,sin所 以 AD=csinB=bsinC, 即 ,sinsin CcBb 同 理 可 得 ,sinsin CcAa CcBbAa sinsinsin 即 : DAc b CB 圖 1過 點 A作 AD BC于 D,此 時 有 若 三 角 形 是 銳 角 三 角 形 , 如 圖 1, CC bAD sinsin )( 且 CcBbAa sinsinsin 仿 (2)可 得 D若 三 角 形 是 鈍 角 三 角 形 ,且 角 C是 鈍 角 如 圖 2, 此 時 也 有 cADB sin 交 BC延 長 線 于 D,過 點 A作 AD BC, C Ac bB 圖 2 正 弦 定 理 : CcBbAa sinsinsin 即在 一 個 三 角 形 中 ,各 邊 和 它 所 對 角 的正 弦 的 比 相 等 .思 考 : 你 能 否 找 到 其 他 證 明 正 弦 定 理 的 方 法 ? ( R為 ABC外 接 圓 半 徑 )另 證 1: RCcBbAa 2sinsinsin 證 明 : OC /c b a CBARCc RcCC CCCBA 2sin 2sinsin ,90 RCcBbAa RBbRAa 2sinsinsin 2sin,2sin 同 理 作 外 接 圓 O,過 B作 直 徑 BC/,連 AC/, 另 證 2: 證 明 : BacAbcCabS ABC sin21sin21sin21 B A CDa bc aABC ahS 21而 CbBcADha sinsin CabBacS ABC sin21sin21 同 理 BacAbcCabS ABC sin21sin21sin21 ha AbcS ABC sin21 剖 析 定 理 、 加 深 理 解1、 正 弦 定 理 可 以 解 決 三 角 形 中 的 問 題 : 已 知 兩 角 和 一 邊 , 求 其 他 角 和 邊 已 知 兩 邊 和 其 中 一 邊 的 對 角 , 求 另 一 邊的 對 角 , 進 而 可 求 其 他 的 邊 和 角 RCcBbAa 2sinsinsin 正 弦 定 理 : 剖 析 定 理 、 加 深 理 解 RCcBbAa 2sinsinsin 正 弦 定 理 :2、 A+B+C=3、 大 角 對 大 邊 , 大 邊 對 大 角 剖 析 定 理 、 加 深 理 解 RCcBbAa 2sinsinsin 正 弦 定 理 :4、 一 般 地 , 把 三 角 形 的 三 個 角 A, B, C和 它 們 的 對 邊 a, b, c叫 做 三 角 形 的 元素 。 已 知 三 角 形 的 幾 個 元 素 求 其 他 元 素的 過 程 叫 解 三 角 形 剖 析 定 理 、 加 深 理 解 RCcBbAa 2sinsinsin 正 弦 定 理 :5、 正 弦 定 理 的 變 形 形 式6、 正 弦 定 理 , 可 以 用 來 判 斷 三 角 形 的形 狀 , 其 主 要 功 能 是 實 現(xiàn) 三 角 形 邊 角 關(guān)系 的 轉(zhuǎn) 化 定 理 的 應(yīng) 用例 1、 在 ABC 中 , 已 知 c = 10, A = 45。 , C = 30。 , 解 三 角 形 (精 確 到0.01) 已 知 兩 角 和 任 意 邊 ,求 其 他 兩 邊 和 一 角 BA Cabc 例 2、 已 知 a=16, b= , A=30 .解 三 角 形 已 知 兩 邊 和 其 中 一 邊的 對 角 ,求 其 他 邊 和 角解 : 由 正 弦 定 理 BbAa sinsin 得 2316 30sin316sinsin a AbB所 以 60 ,或 120當(dāng) 時 60 C=90 .32cC=30 .16sinsin ACac316當(dāng) 120 時 B 16300A BC 16316 變 式 : a=30, b=26, A=30 , 解 三 角 形30 0A BC26 30解 : 由 正 弦 定 理 BbAa sinsin 得 30133030sin26sinsin a AbB所 以 25.70, 或 1800 25.70=154.30由 于 154.30 +3001800 故 B只 有 一 解 ( 如 圖 )C=124.30, 57.49sinsin ACac 30137.25sin 變 式 : a=30, b=26, A=30 , 解 三 角 形30 0A BC26 30解 : 由 正 弦 定 理 BbAa sinsin 得 30133030sin26sinsin a AbB所 以 25.70, C=124.30,57.49sinsin ACac 30137.25sin a b A B , 三 角 形 中 大 邊 對 大 角 課 堂 小 結(jié)( 1) 三 角 形 常 用 公 式 :( 2) 正 弦 定 理 的 應(yīng) 用正 弦 定 理 : A B C 1 1 1sin sin sin2 2 2ABCS ab C bc A ac B sin sin sina b cA B C 2R課 后 作 業(yè) P10 習(xí) 題 1.1A組 1, 2( 1) ( 2) 已 知 兩 邊 和 其 中 一 邊 的 對 角 ,求 其 他 邊 和角1.根 據(jù) 下 列 條 件 解 三 角 形 (1)b=13, a=26, B=30 .B=90 , C=60 , c= 313(2) b=40, c=20, C=45 .練 習(xí)注 : 三 角 形 中 角 的 正 弦 值 小 于 時 , 角 可 能 有 兩 解無 解 課 堂 小 結(jié)( 2) 正 弦 定 理 應(yīng) 用 范 圍 : 已 知 兩 角 和 任 意 邊 , 求 其 他 兩 邊 和 一 角 已 知 兩 邊 和 其 中 一 邊 的 對 角 , 求 另 一 邊的 對 角 。 (注 意 解 的 情 況 )(1)正 弦 定 理 : sin sin sina b cA B C 2R 已 知 兩 邊 和 其 中 一 邊 的 對 角 ,求 其他 邊 和 角 時 ,三 角 形 什 么 情 況 下 有一 解 ,二 解 ,無 解 ?課 后 思 考 例 在 ABC中 , 已 知 a 2, b , A 45 , 求 B和 c。 22變 式 1: 在 ABC中 , 已 知 a 4, b , A 45 , 求 B和 c。 22變 式 2: 在 ABC中 , 已 知 a , b , A 45 , 求 B和 c。 22334正 弦 定 理 應(yīng) 用 二 : 已 知 兩 邊 和 其 中 一 邊 對 角 , 求 另 一 邊 的 對 角 , 進而 可 求 其 它 的 邊 和 角 。 ( 要 注 意 可 能 有 兩 解 ) 3練 習(xí) 2、 在 ABC中 , 若 a=2bsinA, 則 B A、 B、 C、 D、3 6 653 32 6或 或登 高 3、 在 ABC中 , , 則 ABC的 形 狀 是 A、 等 腰 三 角 形 B、 直 角 三 角 形 C、 等 腰 直 角 三 角 形 D、 等 腰 三 角 形 或 直 角 三 角 形AbBa coscos 練 習(xí) 1、 在 ABC中 , 若 A: B: C=1: 2: 3, 則 a:b:c ( ) A、 1:2:3 B、 3:2:1 C、 1: :2 D、 2: :133自 我 提 高 !