新高考數學二輪復習 專題限時集訓6 直線與圓、拋物線 橢圓 雙曲線（含解析）-人教版高三數學試題

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1、專題限時集訓(六)直線與圓、拋物線橢圓雙曲線 1多選(2020新高考全國卷)已知曲線C：mx2ny21()A若mn0，則C是橢圓，其焦點在y軸上B若mn0，則C是圓，其半徑為C若mn0，則C是兩條直線ACD對于選項A，mn0，00，方程mx2ny21可變形為x2y2，該方程表示半徑為的圓，錯誤；對于選項C，mn0，方程mx2ny21變形為ny21y，該方程表示兩條直線，正確綜上選ACD2(2020全國卷)若過點(2，1)的圓與兩坐標軸都相切，則圓心到直線2xy30的距離為()A BCDB因為圓與兩坐標軸都相切，點(2，1)在該圓上，所以可設該圓的方程為(xa)2(ya)2a2(a0)，所以(2

2、a)2(1a)2a2，即a26a50，解得a1或a5，所以圓心的坐標為(1，1)或(5，5)，所以圓心到直線2xy30的距離為或，故選B3(2020全國卷)已知A為拋物線C：y22px(p0)上一點，點A到C的焦點的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則p()A2 B3 C6 D9C法一：因為點A到y(tǒng)軸的距離為9，所以可設點A(9，yA)，所以y18p.又點A到焦點的距離為12，所以12，所以18p122，即p236p2520，解得p42(舍去)或p6.故選C法二：根據拋物線的定義及題意得，點A到C的準線x的距離為12，因為點A到y(tǒng)軸的距離為9，所以1293，解得p6.故選C4(2016全國卷)以拋

3、物線C的頂點為圓心的圓交C于A，B兩點，交C的準線于D，E兩點已知|AB|4，|DE|2，則C的焦點到準線的距離為()A2 B4 C6 D8C設拋物線的方程為y22px(p0)，圓的方程為x2y2r2.|AB|4，|DE|2，拋物線的準線方程為x，不妨設A，D.點A，D在圓x2y2r2上，85，p4(負值舍去)C的焦點到準線的距離為4.5(2020全國卷)已知M：x2y22x2y20，直線l：2xy20，P為l上的動點過點P作M的切線PA，PB，切點為A，B，當|PM|AB|最小時，直線AB的方程為()A2xy10B2xy10C2xy10D2xy10D法一：由M：x2y22x2y20，得M：(

4、x1)2(y1)24，所以圓心M(1，1)如圖，連接AM，BM，易知四邊形PAMB的面積為|PM|AB|，欲使|PM|AB|最小，只需四邊形PAMB的面積最小，即只需PAM的面積最小因為|AM|2，所以只需|PA|最小又|PA|，所以只需直線2xy20上的動點P到M的距離最小，其最小值為，此時PMl，易求出直線PM的方程為x2y10.由得所以P(1，0)易知P，A，M，B四點共圓，所以以PM為直徑的圓的方程為x2，即x2y2y10，由得，直線AB的方程為2xy10，故選D法二：因為M：(x1)2(y1)24，所以圓心M(1，1)連接AM，BM，易知四邊形PAMB的面積為|PM|AB|，欲使|P

5、M|AB|最小，只需四邊形PAMB的面積最小，即只需PAM的面積最小因為|AM|2，所以只需|PA|最小又|PA|，所以只需|PM|最小，此時PMl.因為PMAB，所以lAB，所以kAB2，排除A，C易求出直線PM的方程為x2y10，由得所以P(1，0)因為點M到直線x1的距離為2，所以直線x1過點P且與M相切，所以A(1，1)因為點A(1，1)在直線AB上，故排除B故選D6(2018全國卷)設拋物線C：y24x的焦點為F，過點(2，0)且斜率為的直線與C交于M，N兩點，則()A5 B6 C7 D8D法一：過點(2，0)且斜率為的直線的方程為y(x2)，由得x25x40，解得x1或x4，所以或

6、不妨設M(1，2)，N(4，4)，易知F(1，0)，所以(0，2)，(3，4)，所以8.故選D法二：過點(2，0)且斜率為的直線的方程為y(x2)，由得x25x40，設M(x1，y1)，N(x2，y2)，則y10，y20，根據根與系數的關系，得x1x25，x1x24.易知F(1，0)，所以(x11，y1)，(x21，y2)，所以(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1445188.故選D7(2020全國卷)設F1，F(xiàn)2是雙曲線C：x21的兩個焦點，O為坐標原點，點P在C上且|OP|2，則PF1F2的面積為()A B3 C D2B法一：設F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C的左、右焦點，則由題意可

7、知F1(2，0)，F(xiàn)2(2，0)，又|OP|2，所以|OP|OF1|OF2|，所以PF1F2是直角三角形，所以|PF1|2|PF2|2|F1F2|216.不妨令點P在雙曲線C的右支上，則有|PF1|PF2|2，兩邊平方，得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|4，又|PF1|2|PF2|216，所以|PF1|PF2|6，則S|PF1|PF2|63，故選B法二：設F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C的左、右焦點，則由題意可知F1(2，0)，F(xiàn)2(2，0)，又|OP|2，所以|OP|OF1|OF2|，所以PF1F2是直角三角形，所以S3(其中F1PF2)，故選B8(2020全國卷)若直線l與曲線y和圓x

8、2y2都相切，則l的方程為()Ay2x1By2xCyx1DyxD易知直線l的斜率存在，設直線l的方程為ykxb，則，設直線l與曲線y的切點坐標為(x0，)(x00)，則y|xx0x0k，kx0b，由可得b，將b，kx0代入得x01或x0(舍去)，所以kb，故直線l的方程為yx.9(2016全國卷)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E：1的左，右焦點，點M在E上，MF1與x軸垂直，sinMF2F1，則E的離心率為()A B C D2A法一：如圖，因為MF1與x軸垂直，所以|MF1|.又sinMF2F1，所以，即|MF2|3|MF1|.由雙曲線的定義得2a|MF2|MF1|2|MF1|，所以b2a2，所以c2

9、b2a22a2，所以離心率e.法二：如圖，因為MF1x軸，所以|MF1|.在RtMF1F2中，由sinMF2F1得tanMF2F1.所以，即，即，整理得c2aca20，兩邊同除以a2得e2e10.解得e(負值舍去)10(2018全國卷)已知雙曲線C：y21，O為坐標原點，F(xiàn)為C的右焦點，過F的直線與C的兩條漸近線的交點分別為M，N.若OMN為直角三角形，則|MN|()A B3 C2 D4B因為雙曲線y21的漸近線方程為yx，所以MON60.不妨設過點F的直線與直線yx交于點M，由OMN為直角三角形，不妨設OMN90，則MFO60，又直線MN過點F(2，0)，所以直線MN的方程為y(x2)，由得

10、所以M，所以|OM|，所以|MN|OM|3，故選B11(2019全國卷)設F為雙曲線C：1(a0，b0)的右焦點，O為坐標原點，以OF為直徑的圓與圓x2y2a2交于P，Q兩點若|PQ|OF|，則C的離心率為()A B C2 DA如圖，由題意，知以OF為直徑的圓的方程為y2，將x2y2a2記為式，得x，則以OF為直徑的圓與圓x2y2a2的相交弦所在直線的方程為x，所以|PQ|2.由|PQ|OF|，得2c，整理得c44a2c24a40，即e44e240，解得e，故選A12(2020全國卷)設O為坐標原點，直線xa與雙曲線C：1(a0，b0)的兩條漸近線分別交于D，E兩點若ODE的面積為8，則C的焦

11、距的最小值為()A4 B8 C16 D32B由題意知雙曲線C的漸近線方程為yx.因為D，E分別為直線xa與雙曲線C的兩條漸近線的交點，所以不妨設D(a，b)，E(a，b)，所以SODEa|DE|a2bab8，所以c2a2b22ab16，當且僅當ab2時，等號成立，所以c4，所以2c8，所以C的焦距的最小值為8，故選B13(2016全國卷)已知O為坐標原點，F(xiàn)是橢圓C：1(ab0)的左焦點，A，B分別為C的左、右頂點P為C上一點，且PFx軸過點A的直線l與線段PF交于點M，與y軸交于點E.若直線BM經過OE的中點，則C的離心率為()A B C DA如圖所示，由題意得A(a，0)，B(a，0)，F(xiàn)

12、(c，0)由PFx軸得P.設E(0，m)，又PFOE，得，則|MF|.又由OEMF，得，則|MF|.由得ac(ac)，即a3c，e.故選A14(2018全國卷)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：1(ab0)的左、右焦點，A是C的左頂點，點P在過A且斜率為的直線上，PF1F2為等腰三角形，F(xiàn)1F2P120，則C的離心率為()A B C DD由題意可得橢圓的焦點在x軸上，如圖所示，設|F1F2|2c，PF1F2為等腰三角形，且F1F2P120，|PF2|F1F2|2c.|OF2|c，點P坐標為(c2ccos 60，2csin 60)，即點P(2c，c)點P在過點A，且斜率為的直線上，解得，e，故選D15(2

13、019全國卷)雙曲線C：1的右焦點為F，點P在C的一條漸近線上，O為坐標原點若|PO|PF|，則PFO的面積為()A B C2 D3A不妨設點P在第一象限，根據題意可知c26，所以|OF|.又tanPOF，所以等腰三角形POF的高h，所以SPFO.16(2019全國卷)已知橢圓C的焦點為F1(1，0)，F(xiàn)2(1，0)，過F2的直線與C交于A，B兩點若|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|，則C的方程為()Ay21 B1C1 D1B由題意設橢圓的方程為1(ab0)，連接F1A(圖略)，令|F2B|m，則|AF2|2m，|BF1|3m.由橢圓的定義知，4m2a，得m，故|F2A|a|F1A|，則

14、點A為橢圓C的上頂點或下頂點令OAF2(O為坐標原點)，則sin .在等腰三角形ABF1中，cos 2，所以12，得a23.又c21，所以b2a2c22，橢圓C的方程為1.故選B17(2018全國卷)已知點M(1，1)和拋物線C：y24x，過C的焦點且斜率為k的直線與C交于A，B兩點若AMB90，則k_.2法一：由題意知拋物線的焦點為(1，0)，則過C的焦點且斜率為k的直線方程為yk(x1)(k0)，由消去y得k2(x1)24x，即k2x2(2k24)xk20.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x21.由消去x得y24，即y2y40，則y1y2，y1y24.由AMB90，得

15、(x11，y11)(x21，y21)x1x2x1x21y1y2(y1y2)10，將x1x2，x1x21與y1y2，y1y24代入，得k2.法二：設拋物線的焦點為F，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則所以yy4(x1x2)，則k.取AB的中點M(x0，y0)，分別過點A，B作準線x1的垂線，垂足分別為A，B，又AMB90，點M在準線x1上，所以|MM|AB|(|AF|BF|)(|AA|BB|)又M為AB的中點，所以MM平行于x軸，且y01，所以y1y22，所以k2.18(2019全國卷)已知雙曲線C：1(a0，b0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點

16、若，0，則C的離心率為_2法一：因為0，所以F1BF2B，如圖所以|OF1|OB|，所以BF1OF1BO，所以BOF22BF1O.因為，所以點A為F1B的中點，又點O為F1F2的中點，所以OABF2，所以F1BOA，因為直線OA，OB為雙曲線C的兩條漸近線，所以tanBF1O，tanBOF2.因為tanBOF2tan(2BF1O)，所以，所以b23a2，所以c2a23a2，即2ac，所以雙曲線的離心率e2.法二：因為0，所以F1BF2B，在RtF1BF2中，|OB|OF2|，所以OBF2OF2B，又，所以A為F1B的中點，所以OAF2B，所以F1OAOF2B又F1OABOF2，所以OBF2為等

17、邊三角形由F2(c，0)可得B，因為點B在直線yx上，所以c，所以，所以e2.19(2019全國卷)設F1，F(xiàn)2為橢圓C：1的兩個焦點，M為C上一點且在第一象限若MF1F2為等腰三角形，則M的坐標為_(3，)不妨令F1，F(xiàn)2分別為橢圓C的左、右焦點，根據題意可知c4.因為MF1F2為等腰三角形，所以易知|F1M|2c8，所以|F2M|2a84.設M(x，y)，則得所以M的坐標為(3，)一題多解：依題意得|F1F2|F1M|8，|F2M|4，cosMF1F2，則tanMF1F2.所以直線MF1的方程為y0(x4)設M(6cos ，2sin )，因為M點在直線MF1上，所以2sin (6cos 4

18、)，結合sin2cos21且sin 0，cos 0得cos ，sin ，即M點的坐標為(3，)1(2020武漢部分學校質量檢測)已知雙曲線E：1的離心率為，則雙曲線E的焦距為()A4 B5C8D10D因為a4，離心率e，所以c5，所以雙曲線的焦距2c10，選D2(2020中山模擬)如圖，橢圓1(ab0)的上頂點、左頂點、左焦點分別為B，A，F(xiàn)，中心為O，其離心率為，則SABFSBFO()A11B12C(2)2 D2A由題意可知，SABF(ac)b，SBFOcb，則1211.故選A3(2020惠州第一次調研)設雙曲線的一條漸近線為直線y2x，且一個焦點與拋物線y24x的焦點相同，則此雙曲線的方程

19、為()Ax25y21B5y2x21C5x2y21 Dy25x21C拋物線y24x的焦點為點(1，0)，則雙曲線的一個焦點為點(1，0)，設雙曲線的方程為1(a0，b0)，由題意可得，得，所以所求方程為5x2y21，選C4(2020長沙模擬)過坐標原點O作圓(x3)2(y4)21的兩條切線，切點為A，B，直線AB被圓截得的弦長為()A B C DB設圓心為P，由切線長定理可知|OA|OB|，且OAPA，OBPB，|OP|5，半徑r1，所以|OA|OB|2.因為ABOP，所以S四邊形OAPB|OP|AB|2SOAP，所以|AB|.選B5(2020太原模擬)設橢圓E的兩焦點分別為F1，F(xiàn)2，以F1為

20、圓心，|F1F2|為半徑的圓與橢圓E交于P，Q兩點若PF1F2為直角三角形，則橢圓E的離心率為()A1 B C D1A不妨設橢圓E的焦點在x軸上，如圖所示PF1F2為直角三角形，PF1F290，|PF1|F1F2|2c，|PF2|2c，則|PF1|PF2|2c2c2a，解得e1.故選A6(2020平頂山模擬)若傾斜角為60的直線l與圓C：x2y26y30交于M，N兩點，且CMN30，則直線l的方程為()Axy30或xy30Bxy20或xy20Cxy0或xy0Dxy10或xy10A依題意，圓C：x2(y3)26.設直線l：xym0，由CMN30，且圓的半徑r，得圓心C到直線l的距離d，解得m3.

21、故直線l的方程為xy30或xy30.故選A7(2020鄭州模擬)已知點A(5，0)，B(1，3)，若圓C：x2y2r2(r0)上恰有兩點M，N，使得MAB和NAB的面積均為5，則r的取值范圍是()A(1，)B(1，5)C(2，5)D(2，)B由題意可得|AB|5，根據MAB和NAB的面積均為5，可得兩點M，N到直線AB的距離為2.由于直線AB的方程為3x4y150，若圓上只有一個點到直線AB的距離為2，則有圓心(0，0)到直線AB的距離r2，解得r1；若圓上只有三個點到直線AB的距離為2，則有圓心(0，0)到直線AB的距離r2，解得r5.所以實數r的取值范圍是(1，5)故選B8(2020廈門模

22、擬)如圖，已知圓O：x2y2r2(r0)與直線xy20相交于A，B兩點，C為圓上的一點，OC的中點D在線段AB上，且35，則圓O的半徑r為()A B C D2C如圖，過O作OEAB于E，連接OA，OB，則OE，由垂徑定理得|AE|EB|.設|DE|x，則由35可知|AE|4x，由勾股定理得(4x)22r2，x22，解得r.故選C9(2020洛陽尖子生第一次聯(lián)考)已知雙曲線1(a0，b0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P為雙曲線上一點，且|PF1|2|PF2|，若sinF1PF2，則該雙曲線的離心率等于()A B2 C或2 D1或CP為雙曲線上一點，且|PF1|2|PF2|，由雙曲線的定義|PF

23、1|PF2|2a，得|PF1|4a，|PF2|2a.在PF1F2中，|PF1|4a，|PF2|2a，|F1F2|2c.sinF1PF2，cosF1PF2.當cosF1PF2時，由余弦定理得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cosF1PF2，即4c216a2，e2；當cosF1PF2時，得4c224a2，e.綜上可知e2或e，故選C10(2020合肥調研)設拋物線C：y22px(p0)的焦點為F，斜率為k的直線過焦點F交C于點A，B，2，則直線AB的斜率為()A2 B2 C2 D2C法一：由題意知k0，F(xiàn)，則直線AB的方程為yk，代入拋物線方程消去x，得y2yp20.不妨

24、設A(x1，y1)(x10，y10)，B(x2，y2)，因為2，所以y12y2.又y1y2p2，所以y2p，x2，所以kAB2.根據對稱性可得直線AB的斜率為2，故選C法二：如圖，過A，B分別作準線的垂線，垂足分別為D，E，設直線AB交準線于M，由拋物線的定義知|AF|AD|，|BF|BE|，結合2，知|BE|AD|AB|，則BE為AMD的中位線，所以|AB|BM|，所以|BE|BM|，所以|ME|2|BE|，所以tanMBE2，即此時直線AB的斜率為2.根據對稱性可得直線AB的斜率為2.11(2020臨沂模擬)已知雙曲線C：1(b0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線C的左、右焦點，過點F2的直線l交

25、雙曲線C的左、右支分別于A，B兩點，且|AF1|BF1|，則|AB|()A4 B8 C16 D32C如圖，由雙曲線可得a4，設|AF1|BF1|m，由雙曲線的定義可得|AF2|AF1|2a2am，|BF2|BF1|2am2a，可得|AB|AF2|BF2|2am(m2a)4a16.故選C12(2020貴陽模擬)已知點F1是拋物線C：x22py(p0)的焦點，點F2為拋物線C的對稱軸與其準線的交點，過F2作拋物線C的切線，設其中一個切點為A，若點A恰好在以F1，F(xiàn)2為焦點的雙曲線上，則雙曲線的離心率為()A1B21C1 DC由題意知F1，F(xiàn)2，設直線F2A的方程為ykx，代入拋物線C：x22py，

26、整理得x22pkxp20，4k2p24p20，解得k1，不妨取A，則|AF1|p，|AF2|p.設雙曲線的方程為1(a0，b0)，則2a|AF2|AF1|(1)p，2cp，雙曲線的離心率e1.13(2020德州模擬)過拋物線y24x的焦點作兩條互相垂直的弦AB，CD，則四邊形ABCD面積的最小值為()A8 B16 C32 D64C焦點F的坐標為(1，0)，所以可設直線AB的方程為yk(x1)，代入y24x并整理得k2x2(2k24)xk20，所以x1x22，|AB|x1x224.同理可得|CD|44k2.所以四邊形ACBD的面積S|AB|CD|4(k21)8832，當且僅當k1時取等號故選C1

27、4多選(2020淄博模擬)已知一族雙曲線En：x2y2(nN*，且n2 019)，設直線x2與En在第一象限內的交點為An，點An在En的兩條漸近線上的射影分別為Bn，Cn.記AnBnCn的面積為an，則下列說法正確的是()A雙曲線的漸近線方程為yxBanC數列an為等差數列Da1a2a2 019ACD因為雙曲線的方程為x2y2(nN*，且n2 019)，所以其漸近線方程為yx，設點An(2，yn)，則4y(nN*，且n2 019)記An(2，yn)到兩條漸近線的距離分別為d1，d2，則SAnBnCnd1d2，故an，因此an為等差數列，故a1a2a3a2 0192 019.故選ACD15多選

28、(2020聊城模擬)已知O為坐標原點，過點P(a，1)作兩條直線與拋物線C：x24y分別相切于點A，B，AB的中點為M，則下列結論中正確的是()A直線AB過定點(0，2)B直線PM的斜率不存在Cy軸上存在一點N，使得直線NA與NB始終關于y軸對稱DA，B兩點到拋物線準線的距離的倒數之和為定值BCD設A(x1，y1)，B(x2，y2)，因為yx2，所以yx，所以以A為切點的切線方程為yy1x1(xx1)，即yxx1xx，得yx1xx.同理可得以B為切點的切線方程為yx2xx，將(a，1)分別代入，可得1x1y1，1x2y2，所以直線AB的方程為xy10，所以直線AB過定點(0，1)，故A錯誤由可

29、得x22ax40，4a2160，則x1x22a，x1x24，所以點M的橫坐標為a，所以PMx軸，故B正確設N(0，b)，直線NA，NB的斜率分別為k1，k2.由題意得x10，x20，所以k1k2.當b1時，有k1k20，則直線NA與直線NB關于y軸對稱，故C正確因為點A到準線的距離為y11，點B到準線的距離為y21，所以1，故D正確16多選(2020菏澤模擬)已知雙曲線1(a0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，O為坐標原點，P是雙曲線上一點，且滿足|F1F2|2|OP|，tanPF2F12，則下列結論正確的是()A點P在雙曲線的右支上B點在雙曲線的漸近線上C雙曲線的離心率為D雙曲線上任一點到兩漸

30、近線距離之和的最小值等于4ABC連接PF1(圖略)，由題意知|F1F2|2|OP|2c，則PF1PF2，因為tanPF2F12，所以2，因此|PF1|PF2|，故點P在雙曲線的右支上，A項正確；由于|PF1|PF2|2a，所以|PF1|4a，|PF2|2a，所以(4a)2(2a)2(2c)2，整理得c25a2，則e，C正確；又e，所以2，所以雙曲線的漸近線方程為y2x，易知點在雙曲線的漸近線上，故B項正確；由于b25，所以a2，所以雙曲線的方程為1，設M(x0，y0)為雙曲線上任意一點，則點M到漸近線y2x的距離d1，點M到漸近線y2x的距離d2，因此d1d2，又1，于是d1d21，因此由基本

31、不等式得d1d222，當且僅當d1d2時取等號，故雙曲線上任一點到兩漸近線距離之和的最小值等于2.故D項錯誤故選ABC17多選(2020青島模擬)已知拋物線C：y28x的焦點為F，準線與x軸相交于點M，經過M且斜率為k的直線l與拋物線相交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x2，則下列結論正確的是()A1k1By1y28x1x2CAFB可能為直角D當k2時，AFB的面積為16CD依題意知F(2，0)，M(2，0)，直線l的方程為yk(x2)，聯(lián)立得消去y得k2x2(4k28)x4k20.因為直線l與拋物線相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，所以解得1k1且k0，故A選項錯誤

32、；因為x1x24，所以yy8x18x2644256，由于y1，y2同號，所以y1y216，于是y1y24x1x2，故B選項錯誤；由于(x12，y1)，(x22，y2)，所以x1x22(x1x2)4y1y24241632，當k2時，0，AFB為直角，故C選項正確；AFB的面積SSMFASMFB|MF|y1y2|2，當k2時，y1y2k(x12)k(x22)k(x1x24)16k，因此S216，故選項D正確18(2020安徽示范高中名校聯(lián)考)已知橢圓1(ab0)的左、右焦點分別是F1，F(xiàn)2，以F2為圓心的圓過橢圓的中心，且與橢圓交于點P，若直線PF1恰好與圓F2相切于點P，則橢圓的離心率為_1由題

33、意可知PF1PF2，且|PF2|c，所以|PF1|c，根據橢圓的定義可得|PF1|PF2|2a，即(1)c2a，所以e1.19一題兩空(2020臨沂模擬)已知雙曲線C：1(ab0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，兩條漸近線的夾角為60，則漸近線方程為_，過點F1作x軸的垂線，交雙曲線的左支于M，N兩點，若MNF2的面積為4，則該雙曲線的方程為_yx1因為雙曲線C的兩條漸近線的夾角為60，ab0，所以，則漸近線方程為yx.易知F1(c，0)，所以直線MN的方程為xc，代入雙曲線的方程得y，所以MNF2的面積S|F1F2|MN|2c4.又a2b2c2，所以由得a3，b，c2，故該雙曲線的方程為1.2

34、0一題兩空(2020濱州模擬)已知M(a，4)是拋物線C：x22py(p0)上一點，且位于第一象限，點M到拋物線C的焦點F的距離為6，則a_；若過點P(3，4)向拋物線C作兩條切線，切點分別為A，B，則|AF|BF|_.449由拋物線的定義得46，解得p4，所以拋物線C的方程為x28y，將(a，4)代入，可得a4.易知點P不在拋物線上，設點A，B的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)又yx，所以拋物線C在點A處的切線方程為yy1(xx1)，將(3，4)代入并結合x8y1，得3x14y1160，同理得拋物線C在點B處的切線方程為3x24y2160，于是直線AB的方程為3x4y160.將3x4

35、y160代入x28y，整理得2y229y320，所以y1y2，y1y216，故|AF|BF|(y12)(y22)y1y22(y1y2)449.21(2020石家莊模擬)已知點E在y軸上，點F是拋物線y22px(p0)的焦點，直線EF與拋物線交于M，N兩點，若點M為線段EF的中點，且|NF|12，則p_.8如圖，由題意知F.M為EF的中點，點M的橫坐標為.設直線EF的方程為yk，k0.由，得k2x2(k2p2p)x0，設M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1，x2p.當xp時，y22p2，N(p，p)|NF|2(p)2，1442p2，p264，p0，p8.22(2020濟南模擬)已知點A(0

36、，1)，拋物線C：y2ax(a0)的焦點為F，連接FA，與拋物線C相交于點M，延長FA，與拋物線C的準線相交于點N，若|FM|MN|12，則實數a的值為_法一：依題意得拋物線的焦點F的坐標為，過M作拋物線的準線的垂線，垂足為K，由拋物線的定義知|MF|MK|.因為|FM|MN|12，所以|KN|KM|1，又kFN，kFN，所以，解得a.法二：因為A(0，1)，拋物線C：y2ax(a0)的焦點為F，準線方程為x，所以AF的方程為4xaya0，所以N.因為|FM|MN|12，所以|FM|FN|，所以xM，yM.因為(xM，yM)在拋物線上，所以，得a.1設雙曲線C：1(ab0)的兩條漸近線的夾角為

37、，且cos ，則C的離心率為()A BCD2Bab0，漸近線yx的斜率小于1，兩條漸近線的夾角為，且cos ，cos2，sin2，tan2，e2，e.故選B2若雙曲線C：1(a0，b0)的一條漸近線被圓x2(y2)22截得的弦長為2，則雙曲線C的離心率為()A B2 C D2B設圓心到雙曲線的漸近線的距離為d，由弦長公式可得，22，解得d1，又雙曲線C的漸近線方程為bxay0，圓心坐標為(0，2)，故1，即1，所以雙曲線C的離心率e2.故選B3多選已知雙曲線C過點(3，)且漸近線為yx，則下列結論正確的是()AC的方程為y21BC的離心率為C曲線yex21經過C的一個焦點D直線xy10與C有兩

38、個公共點AC因為漸近線方程為yx，所以可設雙曲線方程為，代入點(3，)，得，所以雙曲線方程為y21，選項A正確；該雙曲線的離心率為，選項B不正確；雙曲線的焦點為(2，0)，曲線yex21經過雙曲線的焦點(2，0)，選項C正確；把xy1代入雙曲線方程，得y22y20，解得y，故直線xy10與曲線C只有一個公共點，選項D不正確4已知雙曲線1(a0，b0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點F1作圓x2y2a2的切線，交雙曲線右支于點M.若F1MF245，則雙曲線的漸近線方程為()AyxByxCyxDy2xA如圖，作OAF1M于點A，F(xiàn)2BF1M于點B因為F1M與圓x2y2a2相切，F(xiàn)1MF245，所

39、以|OA|a，|F2B|BM|2a，|F2M|2a，|F1B|2b.又點M在雙曲線上所以|F1M|F2M|2a2b2a2a，整理得ba.所以.所以雙曲線的漸近線方程為yx.故選A5如果圓C1：(xm)2(ym)28上總存在到點(0，0)的距離為的點，則實數m的取值范圍是()A3，3B(3，3)C(3，11，3)D3，11，3D由題意知，圓C1：(xm)2(ym)28與圓C2：x2y22存在公共點，所以22，解得3m1或1m3.故選D6已知F2為雙曲線C：1(a0，b0)的右焦點，直線ykx交雙曲線C于A，B兩點若AF2B，SAF2B2，則雙曲線C的虛軸長為()A1 B2 C2 D2C設雙曲線C

40、的左焦點為F1，連接AF1，BF1(圖略)，由對稱性可知四邊形AF1BF2是平行四邊形，所以S2，F(xiàn)1AF2.設|AF1|r1，|AF2|r2，則4c2rr2r1r2cos.又|r1r2|2a，故r1r24b2.又Sr1r2sin2，所以b22，則該雙曲線的虛軸長為2.故選C7已知拋物線y24x的焦點F，點A(4，3)，P為拋物線上一點，且點P不在直線AF上，則當PAF周長取最小值時，線段PF的長為()A1 B C5 DB如圖，求PAF周長的最小值，即求|PA|PF|的最小值設點P在準線上的投影為D，根據拋物線的定義，可知|PF|PD|，因此|PA|PF|的最小值，即|PA|PD|的最小值，可

41、得當D，P，A三點共線時，|PA|PD|最小，此時P，F(xiàn)(1，0)，線段PF的長為1.故選B8已知橢圓C：1(ab0)的右焦點為F，短軸的一個端點為M，直線l：3x4y0交橢圓C于A，B兩點若|AF|BF|4，點M到直線l的距離不小于，則橢圓C的離心率的取值范圍為()A BC DA如圖所示，設F為橢圓C的左焦點，連接AF，BF，則四邊形AFBF是平行四邊形，4|AF|BF|AF|AF|2a，a2.不妨取M(0，b)，點M到直線l的距離不小于，解得b1，e，即橢圓C的離心率的取值范圍是.故選A9雙曲線E：1(a0，b0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點F1作一條直線與雙曲線E的兩條漸近線分別相

42、交于A，B兩點若2，|F1F2|2|OB|，則雙曲線的離心率為()A B C2 D3C如圖所示，連接F2B|F1F2|2|OB|，且O為F1F2的中點，所以F1BF290.因為2，即|2|，所以A為線段F1B的中點又由于O為F1F2的中點，所以OAF2B，所以OAF1B，所以AOF1AOB又由直線OA與OB是雙曲線的兩條漸近線，則AOF1BOF2，所以BOF260，則tanBOF2，所以雙曲線的離心率e2.故選C10已知雙曲線C：1(a0，b0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，實軸長為6，漸近線方程為yx，動點M在雙曲線左支上，點N為圓E：x2(y)21上一點，則|MN|MF2|的最小值為()A

43、8 B9 C10 D11B由題意可得2a6，即a3，漸近線方程為yx，即有，即b1，可得雙曲線方程為y21，焦點為F1(，0)，F(xiàn)2，(，0)由雙曲線的定義可得|MF2|2a|MF1|6|MF1|.由圓E：x2(y)21可得圓心E(0，)，半徑r1，|MN|MF2|6|MN|MF1|.如圖，連接EF1，交雙曲線于M，交圓于N，可得|MN|MF1|取得最小值，且|EF1|4，則|MN|MF2|的最小值為6419.故選B11已知拋物線x2y的焦點為F，M，N是拋物線上兩點，若|MF|NF|，則線段MN的中點P到x軸的距離為()A B C DC拋物線x2y的焦點為，準線為y.如圖，過點M，N，P分別

44、作準線的垂線，則|MM|MF|，|NN|NF|，所以|MM|NN|MF|NF|，所以中位線|PP|，所以中點P到x軸的距離為|PP|.故選C12我們把焦點相同，且離心率互為倒數的橢圓和雙曲線稱為一對“相關曲線”，已知F1，F(xiàn)2是一對相關曲線的焦點，P是橢圓和雙曲線在第一象限的交點，當F1PF260時，這一對相關曲線中雙曲線的離心率是()A B C D2A設橢圓、雙曲線的離心率分別為e1，e2，橢圓的長半軸長為a1，橢圓的半焦距為c，雙曲線的實半軸長為a2，|PF1|x，|PF2|y，xy.由橢圓、雙曲線的定義得，.在PF1F2中，由余弦定理得cosF1PF2cos 60，a3a4c2.又e1e

45、21，c2a1a2，a3a4a1a2，即(a1a2)(a13a2)0，a13a2，3ac2，e2.故選A13.已知F是拋物線C：y2x2的焦點，N是x軸上一點，線段FN與拋物線C相交于點M，若2，則|FN|()A B C D1A法一：因為拋物線C：y2x2，所以F，拋物線C的準線方程為y.如圖，過點M作拋物線準線的垂線，交x軸于點A，交拋物線C的準線于點B，則MAOF，所以.因為2，所以|MA|，|MF|MB|，|FN|3|FM|，故選A法二：因為拋物線y2x2，所以F.設N(x0，0)，則由2，可得M，代入拋物線方程，得2，解得x，則|FN|，故選A14如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線C：1(a0，

46、b0)的左、右焦點，過F2的直線與雙曲線交于A，B兩點若|AB|BF1|AF1|345，則雙曲線的漸近線方程為()Ay2xBy2xCyxDyxA由題意可設|AB|3k，則|BF1|4k，|AF1|5k，則易得BF1BF2，由雙曲線的定義可知|AF1|AF2|2a，則可得|AF2|5k2a，|BF2|8k2a，再根據雙曲線的定義得|BF2|BF1|2a，得ka，即|BF1|4a，|BF2|6a，|F1F2|2c，在直角三角形BF1F2中，得16a236a24c24(a2b2)，則2，雙曲線的漸近線方程為y2x，故選A15多選已知雙曲線C：x21(b0)虛軸的一個端點到它的一條漸近線的距離為，則下

47、列說法正確的是()Ab的值為BC的離心率為2C拋物線y28x與C有一個相同的焦點DC的兩條漸近線均與圓(x2)2(y)21相交ABC雙曲線x21的一條漸近線的方程為bxy0，易知其虛軸的一個端點為(0，b)，由題意可得，得b，A正確；又a1，所以c2，故離心率e2，B正確；拋物線焦點為(2，0)，故C正確；雙曲線的漸近線方程為yx，圓的圓心為(2，)，半徑為1，根據點到直線的距離可判斷，漸近線yx與圓相交，yx與圓相離，故D錯誤，選ABC16多選拋物線C：y22px(p0)的焦點為F，過點F的直線l交拋物線C于A，B兩點，交拋物線C的準線于D點，若2，|FA|2，則()AF(3，0)B直線AB

48、的方程為yC點B到準線的距離為6DAOB(O為坐標原點)的面積為3BCD如圖，不妨令點B在第一象限，設點K為準線與x軸的交點，分別過點A，B作拋物線C：y22px(p0)的準線的垂線，垂足分別為G，E，2，點F為BD的中點，又|BE|FB|，|BE|BD|，在RtEBD中，BDE30，|AD|2|AG|2|AF|224，|DF|AD|FA|6，|BF|6，則點B到準線的距離為6，故C正確；|DF|6，|KF|3，p3，則F，故A錯誤；由BDE30，易得BFx60，所以直線AB的方程為ytan 60，故B正確；連接OA，OB，SAOBSOBFSAOF6sin 1202sin 603，故D正確故選

49、BCD17多選已知拋物線y24x的準線過雙曲線C：1(a0，b0)的左焦點F，且與雙曲線交于A，B兩點，O為坐標原點，且AOB的面積為，則()AC的方程為1BC的兩條漸近線的夾角為60C點F到C的漸近線的距離為DC的離心率為2ABD由題意易知，拋物線y24x的準線方程為x1，所以雙曲線C：1(a0，b0)的左焦點F的坐標為(1，0)，c1，從而b21a2.把x1，b21a2代入1，整理得y，所以|AB|，SAOB|AB|c1，得a，所以雙曲線C的方程為1，故A正確；C的漸近線方程為yx，所以兩條漸近線的夾角為60，故B正確；F(1，0)到y(tǒng)x的距離d，故C錯誤；C的離心率e2，故D正確18多選

50、已知拋物線x2y的焦點為F，M(x1，y1)，N(x2，y2)是拋物線上兩點，則下列結論正確的是()A點F的坐標為B若直線MN過點F，則x1x2C若，則|MN|的最小值為D若|MF|NF|，則線段MN的中點P到x軸的距離為BCD易知點F的坐標為，選項A錯誤；根據拋物線的性質知，MN過焦點F時，x1x2p2，選項B正確；若，則MN過點F，則|MN|的最小值即拋物線通徑的長，為2p，即，選項C正確；拋物線x2y的焦點為，準線方程為y，過點M，N，P分別作準線的垂線MM，NN，PP，垂足分別為M，N，P(圖略)，則|MM|MF|，|NN|NF|，所以|MM|NN|MF|NF|，所以|PP|，所以線段

51、MN的中點P到x軸的距離為|PP|，選項D正確19多選已知過雙曲線C：1的左焦點F的直線l與雙曲線左支交于點A，B，過原點與弦AB的中點D的直線交直線x于點E，若AEF為等腰直角三角形，則直線l的方程為()Ax(32)y20Bx(32)y20Cx(32)y20Dx(32)y20AC易知F(2，0)，則由題意可設直線l：xmy2(m)，代入雙曲線C的方程，消去x，整理得(m22)y24my40.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根與系數的關系，得y1y2，2，即D，直線OD的方程為yx.令x，得ym，即E，直線EF的斜率為m，EFl，則必有|EF|AF|，即，解得y1.又1，x1，m(32

52、)，從而直線l的方程為x(32)y20或x(32)y20.20已知雙曲線C：1(a0，b0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過原點的直線與雙曲線C交于A，B兩點，若AF2B60，ABF2的面積為a2，則雙曲線的漸近線方程為_yx法一：如圖，連接AF1，BF1，則四邊形AF2BF1是平行四邊形，設|AF2|x，則|BF1|x，|BF2|x2a，Sx(x2a)a2，解得x(1)a或x(1)a(舍去)，則|BF2|(1)a.在BF1F2中，由余弦定理得4c2(1)2a2(1)2a22(1)(1)a2，化簡得c24a2，又雙曲線中c2a2b2，故b23a2，所以漸近線方程為yx.法二：如圖，連接AF1，BF1，則四邊形AF2BF1是平行四邊形，因為AF2B60，所以F1AF2120，所以SSSa2，得3，所以漸近線方程為yx.21一題兩空已知拋物線y24x的焦點為F，過點(3，0)的直線l交拋物線于A，B兩點，若|AF|BF|20，則直線l的斜率為_；_.15或由題意得，拋物線的焦點為F(1，0)，設直線l：yk(x3)(k0