（江蘇專用）高考數(shù)學(xué) 考前三個(gè)月 必考題型過(guò)關(guān)練 第9練 分段函數(shù)剪不斷理還亂 理

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1、第9練　分段函數(shù)，剪不斷理還亂 題型一　分段函數(shù)的值域問(wèn)題 例1　函數(shù)f(x)＝的值域?yàn)開(kāi)_______． 破題切入點(diǎn)　求各段值域，然后求并集． 答案　(－∞，2) 解析　因?yàn)楫?dāng)x≥1時(shí)，f(x)＝log2＝－log2x≤0， 當(dāng)x<1時(shí)，0

2、來(lái)考慮．若c＝0，則x＝0是方程f2(x)＋bf(x)＋c＝0其中的一個(gè)根，且f(x)[f(x)＋b]＝0，此時(shí)f(x)≠0，所以f(x)＋b＝0，因此當(dāng)－b>2時(shí)，f(x)＋b＝0有四個(gè)根，滿足題意，所以b<－2. 題型三　分段函數(shù)的綜合性問(wèn)題 例3　已知函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù)． (1)求實(shí)數(shù)m的值； (2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，a－2]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 破題切入點(diǎn)　分段函數(shù)奇偶性的概念，結(jié)合圖象分類討論． 解　(1)∵函數(shù)f(x)是奇函數(shù)， ∴f(－x)＝－f(x)． 當(dāng)x>0時(shí)，－x<0，有(－x)2－mx＝－(－x2＋2x)， 即x2－mx＝x2

3、－2x. ∴m＝2. (2)由(1)知f(x)＝ 當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1， ∴當(dāng)x∈[1，＋∞)時(shí)，f(x)單調(diào)遞減； 當(dāng)x∈(0,1]時(shí)，f(x)單調(diào)遞增． 當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝x2＋2x＝(x＋1)2－1， ∴當(dāng)x∈(－∞，－1]時(shí)，f(x)單調(diào)遞減； 當(dāng)x∈[－1,0)時(shí)，f(x)單調(diào)遞增． 綜上知：函數(shù)f(x)在[－1,1]上單調(diào)遞增． 又函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，a－2]上單調(diào)遞增． ∴解之得1

4、不同的式子來(lái)表示的．分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的并集，分段函數(shù)雖由幾個(gè)部分組成，但它表示的是一個(gè)函數(shù)． (2)在求分段函數(shù)f(x)解析式時(shí)，一定要首先判斷x屬于定義域的哪個(gè)子集，然后再代入相應(yīng)的關(guān)系式． 1．設(shè)函數(shù)f(x)＝則滿足f(x)≤2的x的取值范圍是________． 答案　[0，＋∞) 解析　當(dāng)x≤1時(shí)，21－x≤2，解得x≥0，所以0≤x≤1； 當(dāng)x>1時(shí)，1－log2x≤2，解得x≥， 所以x>1.綜上可知x≥0. 2．已知函數(shù)f(x)＝是(－∞，＋∞)上的減函數(shù)，那么a的取值范圍是________． 答案　(0,2]

5、 解析　由題意，得解得02； 由x≥g(x)得x≥x2－2，∴－1≤x≤2. ∴f(x)＝ 即f(x)＝ 當(dāng)x<－1時(shí)，f(x)>2；當(dāng)x>2時(shí)，f(x)>8. ∴當(dāng)x∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?2，＋∞)． 當(dāng)－1≤x≤2時(shí)，－≤f(x)≤0. ∴當(dāng)x∈[－1,2]時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)閇－，0]． 綜上可知，f(x)的值域?yàn)閇－，0]

6、∪(2，＋∞)． 4．已知f(x)＝ 則下列函數(shù)的圖象錯(cuò)誤的是________． 答案?、? 解析　先在坐標(biāo)平面內(nèi)畫(huà)出函數(shù)y＝f(x)的圖象，再將函數(shù)y＝f(x)的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度即可得到y(tǒng)＝f(x－1)的圖象，因此①正確；作函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于y軸的對(duì)稱圖形，即可得到y(tǒng)＝f(－x)的圖象，因此②正確；y＝f(x)的值域是[0,2]，因此y＝|f(x)|的圖象與y＝f(x)的圖象重合，③正確；y＝f(|x|)的定義域是[－1,1]，且是一個(gè)偶函數(shù)，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，y＝f(|x|)＝，相應(yīng)這部分圖象不是一條線段，因此④不正確． 5．設(shè)函數(shù)f(x)＝若f(m)>f(－m

7、)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________． 答案　(－∞，－1)∪(0,1) 解析　若m>0，則－m<0，f(m)＝＝－log2m，f(－m)＝log2m，由f(m)>f(－m)，得－log2m>log2m，即log2m<0,00，f(－m)＝log (－m)＝－log2(－m)，f(m)＝log2(－m)，由f(m)>f(－m)得log2(－m)>－log2(－m)，解得m<－1. 6．對(duì)實(shí)數(shù)a和b，定義運(yùn)算“?”：a?b＝設(shè)函數(shù)f(x)＝(x2－2)?(x－x2)，x∈R.若函數(shù)y＝f(x)－c的圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是_______

8、_____________． 答案　(－∞，－2]∪(－1，－) 解析　f(x)＝ 即f(x)＝ f(x)的圖象如圖所示，由圖象可知c的取值范圍為 (－∞，－2]∪(－1，－)． 7．已知函數(shù)f(x)＝則f(－3)的值為_(kāi)_______． 答案　2 解析　f(－3)＝f(－1)＋1＝f(1)＋2＝2. 8．已知函數(shù)f(x)＝若f(f(1))>3a2，則a的取值范圍是________． 答案?。?3a2?6a＋9>3a2，解得－1

9、x)＝k有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________． 答案　(0,1) 解析　畫(huà)出分段函數(shù)f(x)的圖象如圖所示， 結(jié)合圖象可以看出，若f(x)＝k有兩個(gè)不同的實(shí)根，也即函數(shù)y＝f(x)的圖象與y＝k有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，k的取值范圍為(0,1)． 10．設(shè)f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間[－1,1]上，f(x)＝其中a，b∈R.若f＝f，則a＋3b的值為_(kāi)_______． 答案?。?0 解析　因?yàn)閒(x)的周期為2， 所以f＝f＝f， 即f＝f. 又因?yàn)閒＝－a＋1，f＝＝， 所以－a＋1＝. 整理，得a＝－(b＋1)．① 又因?yàn)閒(－1)＝f

10、(1)， 所以－a＋1＝，即b＝－2a.② 將②代入①，得a＝2，b＝－4. 所以a＋3b＝2＋3×(－4)＝－10. 11．(2013·四川)已知函數(shù)f(x)＝其中a是實(shí)數(shù)，設(shè)A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))為該函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，且x1

11、點(diǎn)A處的切線斜率為f′(x1)，點(diǎn)B處的切線斜率為f′(x2)， 又當(dāng)點(diǎn)A處的切線與點(diǎn)B處的切線垂直時(shí)， 有f′(x1)f′(x2)＝－1. 當(dāng)x<0時(shí)，對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)，得f′(x)＝2x＋2， 因?yàn)閤10. 因此x2－x1＝[－(2x1＋2)＋2x2＋2]≥ ＝1， 當(dāng)且僅當(dāng)－(2x1＋2)＝2x2＋2＝1， 即x1＝－且x2＝－時(shí)等號(hào)成立． 所以，函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)A，B處的切線互相垂直時(shí)，x2－x1的最小值為1. (3)當(dāng)x1x1>0時(shí)，f′(x1)≠f′

12、(x2)， 故x1<00時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(x2，f(x2))處的切線方程為y－ln x2＝(x－x2)，即y＝·x＋ln x2－1. 兩切線重合的充要條件是 由①及x1<0

13、(t)(0h(2)＝－ln 2－1，a>－ln 2－1.而當(dāng)t∈(0,2)且趨近于0時(shí)，h(t)無(wú)限增大，所以a的取值范圍是(－ln 2－1，＋∞)， 故當(dāng)函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)A、B處的切線重合時(shí)，a的取值范圍是(－ln 2－1，＋∞)． 12．(2013·湖南)已知a>0，函數(shù)f(x)＝. (1)記f(x)在區(qū)間[0,4]上的最大值為g(a)，求g(a)的表達(dá)式； (2)是否存在a，使函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(0,4)內(nèi)的圖象上存在兩點(diǎn)，在該兩點(diǎn)處的切線相互垂直？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 解　(1)當(dāng)0≤x≤a時(shí)，f(x)＝；

14、 當(dāng)x>a時(shí)，f(x)＝. 因此， 當(dāng)x∈(0，a)時(shí)，f′(x)＝<0，f(x)在(0，a)上單調(diào)遞減； 當(dāng)x∈(a，＋∞)時(shí)，f′(x)＝>0，f(x)在(a，＋∞)上單調(diào)遞增． ①若a≥4，則f(x)在(0,4)上單調(diào)遞減，g(a)＝f(0)＝. ②若0

15、足要求． 當(dāng)0