（江蘇專用）高考數(shù)學 考前三個月 必考題型過關練 第35練 與拋物線相關的熱點問題 理

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1、第35練　與拋物線相關的熱點問題 題型一　拋物線的定義及其應用 例1　設P是拋物線y2＝4x上的一動點， (1)求點P到A(－1,1)的距離與點P到直線x＝－1的距離之和的最小值； (2)若B(3,2)，拋物線的焦點為F，求PB＋PF的最小值． 破題切入點　畫出圖形，結合拋物線的定義，轉化為共線問題． 解　(1)由于A(－1,1)，F(xiàn)(1,0)，P是拋物線上的任意一點，則AP＋PF≥AF＝＝，從而知點P到A(－1，1)的距離與點P到F(1,0)的距離之和的最小值為，所以點P到A(－1,1)的距離與P到直線x＝－1的距離之和的最小值也為. (2) 如圖所示，自點B作BQ垂

2、直于拋物線的準線于點Q，交拋物線于點P1，此時P1Q＝P1F，那么PB＋PF≥P1B＋P1Q＝BQ＝4，即PB＋PF的最小值為4. 題型二　拋物線的標準方程及性質 例2　(1)設M(x0，y0)為拋物線C：x2＝8y上一點，F(xiàn)為拋物線C的焦點，以F為圓心、FM為半徑的圓和拋物線C的準線相交，則y0的取值范圍是________． (2)如圖所示是拋物線形拱橋，當水面在l時，拱頂離水面2 m，水面寬4 m．水位下降1 m后，水面寬________ m. 破題切入點　準確求出拋物線方程并結合其簡單幾何性質作答． 答案　(1)(2，＋∞)　(2)2 解析　(1)∵x2＝8y，∴焦點F的

3、坐標為(0,2)，準線方程為y＝－2.由拋物線的定義知FM＝y(tǒng)0＋2. 以F為圓心、FM為半徑的圓的標準方程為x2＋(y－2)2＝(y0＋2)2. 由于以F為圓心、FM為半徑的圓與準線相交， 又圓心F到準線的距離為4，故42. (2)建立如圖所示的平面直角坐標系，設拋物線方程為x2＝－2py(p>0)， 則A(2，－2)，將其坐標代入x2＝－2py得p＝1. ∴x2＝－2y. 水位下降1 m，得D(x0，－3)(x0>0)， 將其坐標代入x2＝－2y，得x＝6， ∴x0＝.∴水面寬CD＝2 m. 題型三　直線和拋物線的位置關系 例3　已知拋

4、物線C：y2＝2px(p>0)過點A(1，－2)． (1)求拋物線C的方程，并求其準線方程； (2)是否存在平行于OA(O為坐標原點)的直線l，使得直線l與拋物線C有公共點，且直線OA與l的距離等于？若存在，求直線l的方程；若不存在，請說明理由． 破題切入點　(1)將點代入易求方程． (2)假設存在，根據(jù)條件求出，注意驗證． 解　(1)將(1，－2)代入y2＝2px，得(－2)2＝2p·1， 所以p＝2. 故所求的拋物線C的方程為y2＝4x， 其準線方程為x＝－1. (2)假設存在符合題意的直線l，其方程為y＝－2x＋t. 由得y2＋2y－2t＝0. 因為直線l與拋物線C

5、有公共點， 所以Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－. 由直線OA到l的距離d＝， 可得＝， 解得t＝±1. 又因為－1?[－，＋∞)，1∈[－，＋∞)， 所以符合題意的直線l存在，其方程為2x＋y－1＝0. 總結提高　(1)拋物線沒有中心，只有一個頂點，一個焦點，一條準線，一條對稱軸且離心率為e＝1，所以與橢圓、雙曲線相比，它有許多特殊性質，可以借助幾何知識來解決． (2)拋物線的標準方程有四種形式，要掌握拋物線的方程與圖形的對應關系，將拋物線y2＝2px關于y軸、直線x＋y＝0與x－y＝0對稱變換可以得到拋物線的其他三種形式；或者將拋物線y2＝2px繞原點旋轉±90°或180°也可

6、以得到拋物線的其他三種形式，這是它們的內在聯(lián)系． (3)拋物線的焦點弦：設過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點的直線與拋物線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 ①y1y2＝－p2，x1x2＝； ②若直線AB的傾斜角為θ，則AB＝； ③若F為拋物線焦點，則有＋＝. 1．已知拋物線的頂點在原點，焦點在y軸上，拋物線上的點P(m，－2)到焦點的距離為4，則m的值為________． 答案　4或－4 解析　設標準方程為x2＝－2py(p>0)， 由定義知P到準線的距離為4，故＋2＝4，所以p＝4， 則方程為x2＝－8y，代入P點坐標得m＝±4. 2．若拋物線y2＝8x的

7、焦點是F，準線是l，則經(jīng)過點F，M(3,3)且與l相切的圓共有________個． 答案　1 解析　由題意得F(2,0)，l：x＝－2， 線段MF的垂直平分線方程為y－＝－(x－)， 即x＋3y－7＝0，設圓的圓心坐標為(a，b)， 則圓心在x＋3y－7＝0上，故a＋3b－7＝0，a＝7－3b， 由題意得|a－(－2)|＝， 即b2＝8a＝8(7－3b)，即b2＋24b－56＝0. 又b>0，故此方程只有一個根，于是滿足題意的圓只有一個． 3．已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，P、Q是拋物線上的兩個點，若△PQF是邊長為2的正三角形，則p的值是________．

8、答案　2± 解析　依題意得F(，0)，設P(，y1)，Q(，y2)(y1≠y2)．由拋物線定義及PF＝QF，得＋＝＋，∴y＝y(tǒng)，∴y1＝－y2.又PQ＝2，因此|y1|＝|y2|＝1，點P(，y1)．又點P位于該拋物線上，于是由拋物線的定義得PF＝＋＝2，由此解得p＝2±. 4．(2014·課標全國Ⅱ改編)設F為拋物線C：y2＝3x的焦點，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點，O為坐標原點，則△OAB的面積為________． 答案　 解析　由已知得焦點坐標為F(，0)， 因此直線AB的方程為y＝(x－)， 即4x－4y－3＝0. 方法一　聯(lián)立拋物線方程化簡得4y2－12y

9、－9＝0， 故|yA－yB|＝＝6. 因此S△OAB＝OF·|yA－yB|＝××6＝. 方法二　聯(lián)立方程得x2－x＋＝0， 故xA＋xB＝. 根據(jù)拋物線的定義有AB＝xA＋xB＋p＝＋ ＝12， 同時原點到直線AB的距離為h＝＝， 因此S△OAB＝AB·h＝. 5．已知拋物線y2＝8x的準線為l，點Q在圓C：x2＋y2＋2x－8y＋13＝0上，記拋物線上任意一點P到直線l的距離為d，則d＋PQ的最小值為________． 答案　3 解析　 如圖所示，由題意，知拋物線y2＝8x的焦點為F(2,0)，連結PF，則d＝PF. 圓C的方程配方，得(x＋1)2＋(y－4)2

10、＝4，圓心為C(－1,4)，半徑r＝2. d＋PQ＝PF＋PQ，顯然，PF＋PQ≥FQ(當且僅當F，P，Q三點共線時取等號)． 而FQ為圓C上的動點Q到定點F的距離， 顯然當F，Q，C三點共線時取得最小值， 最小值為CF－r＝－2＝5－2＝3. 6．過拋物線y2＝4x的焦點F的直線交該拋物線于A，B兩點，O為坐標原點．若AF＝3，則△AOB的面積為______． 答案　 解析　如圖所示，由題意知，拋物線的焦點F的坐標為(1,0)， 又AF＝3， 由拋物線定義知：點A到準線x＝－1的距離為3， ∴點A的橫坐標為2. 將x＝2代入y2＝4x得y2＝8， 由圖知點A的

11、縱坐標y＝2， ∴A(2,2)， ∴直線AF的方程為y＝2(x－1)． 聯(lián)立直線與拋物線的方程 解之得或由圖知B， ∴S△AOB＝OF·|yA－yB|＝×1×|2＋| ＝. 7．過拋物線y2＝2x的焦點F作直線交拋物線于A，B兩點，若AB＝，AF

12、，y1)，B(x2，y2)， 則直線l為y＝k(x＋1)與拋物線C：y2＝4x聯(lián)立得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0， 則有x1x2＝1，x1＋x2＝－2， 因此可得Q(－1，)， 因F(1,0)，由FQ＝2， 則有(－2)2＋()2＝4， 解得k2＝1，所以k＝±1. 9．在直角坐標系xOy中，直線l過拋物線y2＝4x的焦點F，且與該拋物線相交于A，B兩點，其中點A在x軸上方．若直線l的傾斜角為60°.則△OAF的面積為________． 答案　 解析　由題意，得直線AB方程為y＝(x－1)，與拋物線方程y2＝4x聯(lián)立，求得交點A的坐標為(3,2)，利用三角形面積公式即

13、可求得S△OAF＝×1×2＝. 10．(2013·江西)拋物線x2＝2py(p>0)的焦點為F，其準線與雙曲線－＝1相交于A、B兩點，若△ABF為等邊三角形，則p＝________. 答案　6 解析　因為△ABF為等邊三角形， 所以由題意知B， 代入方程－＝1得p＝6. 11．(2014·大綱全國)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，直線y＝4與y軸的交點為P，與C的交點為Q，且QF＝PQ. (1)求C的方程； (2)過F的直線l與C相交于A、B兩點，若AB的垂直平分線l′與C相交于M、N兩點，且A、M、B、N四點在同一圓上，求l的方程． 解　(1)設Q(x0,4

14、)，代入y2＝2px得x0＝. 所以PQ＝，QF＝＋x0＝＋. 由題設得＋＝×， 解得p＝－2(舍去)或p＝2. 所以C的方程為y2＝4x. (2)依題意知l與坐標軸不垂直， 故可設l的方程為x＝my＋1(m≠0)． 代入y2＝4x，得y2－4my－4＝0. 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝4m，y1y2＝－4. 故設AB的中點為D(2m2＋1,2m)， AB＝|y1－y2|＝4(m2＋1)． 又l′的斜率為－m， 所以l′的方程為x＝－y＋2m2＋3. 將上式代入y2＝4x， 并整理得y2＋y－4(2m2＋3)＝0. 設M(x3，y3)，N(

15、x4，y4)， 則y3＋y4＝－，y3y4＝－4(2m2＋3)． 故設MN的中點為E(＋2m2＋3，－)， MN＝ |y3－y4|＝， 由于MN垂直平分AB，故A，M，B，N四點在同一圓上等價于AE＝BE＝MN， 從而AB2＋DE2＝MN2， 即4(m2＋1)2＋(＋2)2＋(2m＋)2＝， 化簡得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1. 所求直線l的方程為x－y－1＝0或x＋y－1＝0. 12．(2014·湖北)在平面直角坐標系xOy中，點M到點F(1,0)的距離比它到y(tǒng)軸的距離多1.記點M的軌跡為C. (1)求軌跡C的方程； (2)設斜率為k的直線l過定點P(－2,1)，

16、求直線l與軌跡C恰好有一個公共點、兩個公共點、三個公共點時k的相應取值范圍． 解　(1)設點M(x，y)，依題意得MF＝|x|＋1， 即＝|x|＋1， 化簡整理得y2＝2(|x|＋x)． 故點M的軌跡C的方程為y2＝ (2)在點M的軌跡C中， 記C1：y2＝4x(x>0)，C2：y＝0(x≤0)． 依題意，可設直線l的方程為y－1＝k(x＋2)． 由方程組 可得ky2－4y＋4(2k＋1)＝0.(*1) ①當k＝0時，此時y＝1. 把y＝1代入軌跡C的方程，得x＝. 故此時直線l：y＝1與軌跡C恰好有一個公共點(，1)． ②當k≠0時，方程(*1)根的判別式為Δ＝－1

17、6(2k2＋k－1)．(*2) 設直線l與x軸的交點為(x0,0)，則 由y－1＝k(x＋2)，令y＝0，得x0＝－.(*3) (ⅰ)若由(*2)(*3)解得k<－1或k>. 即當k∈(－∞，－1)∪(，＋∞)時，直線l與C1沒有公共點，與C2有一個公共點，故此時直線l與軌跡C恰好有一個公共點． (ⅱ)若或由(*2)(*3)解得k∈{－1，}，或－≤k<0. 即當k∈{－1，}時，直線l與C1只有一個公共點，與C2有一個公共點． 當k∈[－，0)時，直線l與C1有兩個公共點，與C2沒有公共點． 故當k∈[－，0)∪{－1，}時，直線l與軌跡C恰好有兩個公共點． (ⅲ)若由(*1)(*2)解得－1