（江蘇專用）高考數(shù)學(xué) 考前三個月 必考題型過關(guān)練 第12練 函數(shù)的零點 關(guān)鍵抓住破題題眼 理

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1、第12練　函數(shù)的零點——關(guān)鍵抓住破題題眼 題型一　函數(shù)零點所在區(qū)間問題 例1　函數(shù)f(x)＝＋ln 的零點所在的大致區(qū)間是(n，n＋1)，則n＝________. 破題切入點　確定函數(shù)在區(qū)間端點處函數(shù)值的符號是否相反，根據(jù)零點存在性定理判斷零點所在區(qū)間． 答案　2 解析　f(x)＝＋ln ＝－ln(x－1)， 函數(shù)的定義域為(1，＋∞)． 當(dāng)10， 所以f(x)>0，故函數(shù)在(1,2)上沒有零點． f(2)＝－ln 1＝1>0， f(3)＝－ln 2＝＝， 因為＝2≈2.828，所以>e， 故 ln e

2、所以2

3、數(shù)． 答案　2 014 解析　由f(x＋1)＝f(x－1)，可知f(x＋2)＝f(x)， 所以函數(shù)f(x)的周期是2. 由f(x)＝f(－x＋2)，可知函數(shù)f(x)關(guān)于直線x＝1對稱， 因為函數(shù)f(x)＝0在[0,1]內(nèi)有且只有一個根x＝， 所以函數(shù)f(x)＝0在區(qū)間[0,2 014]內(nèi)根的個數(shù)為2 014. 題型三　由函數(shù)零點求參數(shù)范圍問題 例3　函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且滿足f(x＋2)＝f(x)．當(dāng)x∈[0,1]時，f(x)＝2x.若在區(qū)間[－2,3]上方程ax＋2a－f(x)＝0恰有四個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是________． 破題切入點　由條

4、件得出函數(shù)性質(zhì)，準(zhǔn)確畫出圖象，結(jié)合圖象解決． 答案　

5、的變號零點，而不能判斷函數(shù)的不變號零點，而且連續(xù)函數(shù)在一個區(qū)間兩端點處的函數(shù)值異號是這個函數(shù)在這個區(qū)間上存在零點的充分條件而不是必要條件，所以在判斷函數(shù)在某個區(qū)間上不存在零點時，不能完全依賴函數(shù)的零點存在性定理． (2)函數(shù)零點個數(shù)判斷問題可直接解方程f(x)＝0，方程的根的個數(shù)就是函數(shù)零點的個數(shù)，對于無法求解的函數(shù)應(yīng)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)值的符號變化來確定其零點的個數(shù)． (3)分段函數(shù)與零點的結(jié)合是比較新穎的一類問題，解決此類問題需注意兩個方面：一是分段函數(shù)中的每個解析式所對應(yīng)自變量的取值范圍，解方程之后要注意檢驗根是否在所給定的取值范圍中；二是靈活利用函數(shù)性質(zhì)確定零點的個數(shù)，靈活利用特

6、殊函數(shù)值的符號判斷零點所在的范圍． 1．f(x)＝2sin πx－x＋1的零點個數(shù)為________． 答案　5 解析　∵2sin πx－x＋1＝0，∴2sin πx＝x－1，圖象如圖所示，由圖象看出y＝2sin πx與y＝x－1有5個交點， ∴f(x)＝2sin πx－x＋1的零點個數(shù)為5. 2．方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的解的個數(shù)是________． 答案　2 解析　(數(shù)形結(jié)合法) ∵a>0，∴a2＋1>1.而y＝|x2－2x|的圖象如圖，∴y＝|x2－2x|的圖象與y＝a2＋1的圖象總有兩個交點． 3．定義在R上的奇函數(shù)f(x)，當(dāng)x≥0時，f(

7、x)＝則關(guān)于x的函數(shù)F(x)＝f(x)－a(0

8、f(x)＝則函數(shù)的零點個數(shù)為________． 答案　2 解析　當(dāng)x>0時，由f(x)＝0，即ln(x2－x＋1)＝0， 得x2－x＋1＝1，解得x＝0(舍去)或x＝1. 當(dāng)x≤0時，f(x)＝ex－x－2，f′(x)＝ex－1≤0， 所以函數(shù)f(x)在(－∞，0]上單調(diào)遞減． 而f(0)＝e0－0－2＝－1<0，f(－2)＝e－2－(－2)－2＝e－2>0， 故函數(shù)f(x)在(－2,0)上有且只有一個零點． 綜上，函數(shù)f(x)有兩個零點． 5．(2013·天津改編)函數(shù)f(x)＝2x|log0.5 x|－1的零點個數(shù)為________． 答案　2 解析　當(dāng)0

9、f(x)＝2xlog0.5x－1，令f(x)＝0，則log0.5x＝x， 由y＝log0.5x，y＝x的圖象知，在(0,1)內(nèi)有一個交點，即f(x)在(0,1)上有一個零點． 當(dāng)x>1時，f(x)＝－2xlog0.5x－1＝2xlog2x－1， 令f(x)＝0得log2x＝x， 由y＝log2x，y＝x的圖象知在(1，＋∞)上有一個交點，即f(x)在(1，＋∞)上有一個零點，綜上有兩個零點． 6．已知函數(shù)f(x)＝則下列關(guān)于函數(shù)y＝f(f(x))＋1的零點個數(shù)的判斷正確的是________． ①當(dāng)k>0時，有3個零點；當(dāng)k<0時，有2個零點； ②當(dāng)k>0時，有4個零點；當(dāng)k<0時

10、，有1個零點； ③無論k為何值，均有2個零點； ④無論k為何值，均有4個零點． 答案?、? 解析　當(dāng)k>0時，f(f(x))＝－1，綜合圖(1)分析， 則f(x)＝t1∈(－∞，－)或f(x)＝t2∈(0,1)． 對于f(x)＝t1，存在兩個零點x1，x2； 對于f(x)＝t2，存在兩個零點x3，x4. 此時共計存在4個零點． 當(dāng)k<0時，f(f(x))＝－1，結(jié)合圖(2)分析， 則f(x)＝t∈(0,1)，此時僅有1個零點x0.故②正確． 7．已知函數(shù)f(x)＝logax＋x－b(a>0，且a≠1)，當(dāng)2

11、N*，則n＝________. 答案　2 解析　由于20， 因此函數(shù)必在區(qū)間(2,3)內(nèi)存在零點，故n＝2. 8．方程2－x＋x2＝3的實數(shù)解的個數(shù)為________． 答案　2 解析　方程變形為3－x2＝2－x＝()x， 令y1＝3－x2，y2＝()x. 如圖所示，由圖象可知有2個交點． 9．(2014·連云港模擬)已知函數(shù)f(x)＝

12、2ax2＋2x－3.如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[－1,1]上有零點，則實數(shù)a的取值范圍為________． 答案　 解析　若a＝0，則f(x)＝2x－3， f(x)＝0?x＝?[－1,1]，不合題意，故a≠0. 下面就a≠0分兩種情況討論： (1)當(dāng)f(－1)·f(1)≤0時，f(x)在[－1,1]上至少有一個零點，即(2a－5)(2a－1)≤0，解得≤a≤. (2)當(dāng)f(－1)·f(1)>0時，f(x)在[－1,1]上有零點的條件是　解得a>. 綜上，實數(shù)a的取值范圍為. 10．(2014·天津)已知函數(shù)f(x)＝ 若函數(shù)y＝f(x)－a|x|恰有4個零點，則實數(shù)a的取值范

13、圍為________． 答案　10)． 當(dāng)a＝2時，函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)y1＝a|x|的圖象有3個交點．故a<2. 當(dāng)y＝a|x|(x≤0)與y＝|x2＋5x＋4|相切時，在整個定義域內(nèi)，f(x)的圖象與y1＝a|x|的圖象有5個交點， 此時，由得x2＋(5－a)x＋4＝0. 由Δ＝0得(5－a)2－16＝0，解得a＝1，或a＝9(舍去)， 則當(dāng)1

14、a<2. 11．已知函數(shù)f(x)＝ln x＋x2. (1)若函數(shù)g(x)＝f(x)－ax在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍； (2)在(1)的條件下，若a>1，h(x)＝e3x－3aex，x∈[0，ln 2]，求h(x)的極小值； (3)設(shè)F(x)＝2f(x)－3x2－kx(k∈R)，若函數(shù)F(x)存在兩個零點m，n(0

15、∞)內(nèi)恒成立， 即a≤(2x＋)min. 又x>0,2x＋≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝時等號成立． 故(2x＋)min＝2，所以a≤2. (2)由(1)知，10，h(t)單調(diào)遞增． 故當(dāng)t＝時，h(t)取得極小值， 極小值為h()＝a－3a＝－2a. (3)設(shè)F(x)在(x0，F(xiàn)(x0))的切線平行于x軸

16、， 其中F(x)＝2ln x－x2－kx. 結(jié)合題意，有 ①－②得2ln －(m＋n)(m－n)＝k(m－n)． 所以k＝－2x0. 由④得k＝－2x0. 所以ln ＝＝.⑤ 設(shè)u＝∈(0,1)，⑤式變?yōu)閘n u－＝0(u∈(0,1))． 設(shè)y＝ln u－(u∈(0,1))， y′＝－＝ ＝>0， 所以函數(shù)y＝ln u－在(0,1)上單調(diào)遞增， 因此，y

17、e＝2.718 28…為自然對數(shù)的底數(shù)． (1)設(shè)g(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，求函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值； (2)若f(1)＝0，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有零點，證明：e－2

18、 因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b； 當(dāng)

19、,1)內(nèi)的一個零點，則由f(0)＝f(x0)＝0可知f(x)在區(qū)間(0，x0)上不可能單調(diào)遞增，也不可能單調(diào)遞減． 則g(x)不可能恒為正，也不可能恒為負(fù)． 故g(x)在區(qū)間(0，x0)內(nèi)存在零點x1. 同理，g(x)在區(qū)間(x0,1)內(nèi)存在零點x2， 所以g(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少有兩個零點． 由(1)知，當(dāng)a≤時，g(x)在[0,1]上單調(diào)遞增， 故g(x)在(0,1)內(nèi)至多有一個零點． 當(dāng)a≥時，g(x)在[0,1]上單調(diào)遞減， 故g(x)在(0,1)內(nèi)至多有一個零點． 所以0，g(1)＝e－2a－b>0. 由f(1)＝0，有a＋b＝e－1<2，有 g(0)＝a－e＋2>0，g(1)＝1－a>0. 解得e－2