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1、第五章第五章 特征值與特征向量特征值與特征向量先將微分方程組改寫。先將微分方程組改寫。解解 例例 解微分方程組解微分方程組(1)若令若令 則方程組則方程組（1）變成變成 為解此矩陣微分方程，我們引入新的函數(shù)為解此矩陣微分方程，我們引入新的函數(shù) y1(t)與與 y2(t)做函數(shù)替換：若做函數(shù)替換：若令令 y=y1 y2T，則存在，則存在 P=pij22,使使（2）當(dāng)當(dāng) P 可逆時(shí)，把可逆時(shí)，把（2）代入代入（1）得得（3）若新函數(shù)選擇恰當(dāng)，即若新函數(shù)選擇恰當(dāng)，即 P 選取合適，則選取合適，則（3）的解很的解很很容易得出。很容易得出。則則 P 可逆且可逆且 例如，取例如，取 此時(shí)，方程組此時(shí)，方程
2、組（3）為為 其一般解為其一般解為 其中，其中，為常數(shù)。為常數(shù)。于是，方程組于是，方程組（1）的一般解為的一般解為 一、矩陣的相似一、矩陣的相似 定義定義 設(shè)設(shè)A、B是兩個(gè)是兩個(gè)n階方陣。若存在階方陣。若存在n階可逆階可逆矩陣矩陣P，使得，使得 則稱則稱 A相似相似于于B，記作，記作AB；稱；稱P為由為由A到到B的的相似變相似變換矩陣換矩陣。5.1 5.1 特征值與特征向量特征值與特征向量 性質(zhì)性質(zhì)1 矩陣的相似滿足矩陣的相似滿足（1）自反性：自反性：（2）對稱性：對稱性：（3）傳遞性：傳遞性：性質(zhì)性質(zhì)2（1）（2）（3）（4）其中其中 A1,A2,Am 均為均為 n 階矩陣，階矩陣，P 為為
3、 n 階可逆矩陣。階可逆矩陣。于是于是特別地，當(dāng)特別地，當(dāng) A1 A2 Am A 時(shí)，上式成為時(shí)，上式成為 （5）若若 AB，則，則 f(A)f(B)，這里，這里 f(x)為任一為任一多項(xiàng)式函數(shù)。多項(xiàng)式函數(shù)。這可由這可由得到。得到。例例 已知已知 ，求，求 a。解解 因?yàn)橐驗(yàn)?AB，所以，所以 ，即，即 由此得由此得 。定義定義 設(shè)設(shè) A是是 n階方陣，若階方陣，若 則稱則稱 A可相似對角化可相似對角化，簡稱，簡稱對角化對角化；稱；稱 為為 A的的相似相似標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形。引例中的引例中的2階方陣階方陣 就可對角化，就可對角化，且其相似標(biāo)準(zhǔn)形為且其相似標(biāo)準(zhǔn)形為 。問題問題如何判斷矩陣是否可對角化？
4、如何判斷矩陣是否可對角化？如何求矩陣得相似標(biāo)準(zhǔn)形如何求矩陣得相似標(biāo)準(zhǔn)形(如何對角化如何對角化)？二、特征值與特征向量的定義和求法二、特征值與特征向量的定義和求法 設(shè)設(shè)A是是3階可對角化矩陣，則存在階可對角化矩陣，則存在3階可逆矩陣階可逆矩陣P，使使 把把P按列分塊按列分塊 ，則，則 而而 因因 故有故有 ，由此得由此得 共同特點(diǎn)共同特點(diǎn) 定義定義 設(shè)設(shè)A是是n階方陣。若存在階方陣。若存在數(shù)數(shù) 及及n元元非零非零列向列向量量X，使得，使得 AX=X 或或 (I A)X=0 則稱則稱 為矩陣為矩陣A的的特征值特征值，X為矩陣為矩陣A的屬于的屬于(或?qū)?yīng)或?qū)?yīng)于于)特征值特征值 的的特征向量特征向量
5、。在引例中，對矩陣在引例中，對矩陣 A、P 以及數(shù)以及數(shù)-q,-3q，因有，因有 故若取故若取 以及以及 則有則有 即即 與與 是是 A的特征值，的特征值，與與 分別是分別是 A屬于屬于 與與 的特征向量。的特征向量。特征值與特征向量的計(jì)算：特征值與特征向量的計(jì)算：A，方陣；，方陣；，特征值；，特征值；，特征向量。，特征向量。是齊次線性方程組是齊次線性方程組 的非零解。的非零解。方程組方程組有非零解有非零解 是以是以 為變量的方程為變量的方程 的根。的根。的系數(shù)行列式的系數(shù)行列式結(jié)論結(jié)論：特征值：特征值 方程方程的根的根 特征向量特征向量 方程組方程組的的非零非零解解 定義定義 設(shè)設(shè) A為為n
6、階方陣，則稱階方陣，則稱 I A 為為A的的特征矩特征矩陣陣；稱；稱|I A|為為A的的特征多項(xiàng)式特征多項(xiàng)式，記為，記為 ；稱；稱|IA|=0 為矩陣為矩陣A的的特征方程特征方程，稱，稱(I A)X=0 為為矩陣矩陣A的的特征方程組特征方程組。對。對A的特征值的特征值 ，稱零空間，稱零空間 為特征值為特征值 的的特征子空間特征子空間，記為，記為(與與特征值特征值 的的特征向量集合只差一個(gè)零向量特征向量集合只差一個(gè)零向量)。例例 求矩陣求矩陣 的特征值與特征向量。的特征值與特征向量。A的特征值為的特征值為2和和1（二重）。（二重）。解解 對對 ，解，解 ：令令 ，故，故 A屬于屬于2的全部的全部
7、特征向量為特征向量為 。對對 ，解，解 ：令令 ，故，故 A屬于屬于1的的全部特征向量為全部特征向量為 。例例 設(shè)設(shè) ，求，求 A的特征值與的特征值與特征向量。特征向量。解解 A的特征的特征值為值為 0（二重）和（二重）和-2。對對 ，解，解 得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系 故故 A屬于屬于 的特征向量為的特征向量為 。對對 ，解，解 得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系 故故 A屬于屬于0的特征向量為的特征向量為 不不全為零）。全為零）。矩陣矩陣A的特征值與特征向量的求法：的特征值與特征向量的求法：1.寫出矩寫出矩陣陣A的特征多項(xiàng)式的特征多項(xiàng)式|I-A|，它的全部根就，它的全部根就是矩陣是矩陣A的全部特征值；的全部特
8、征值；分分別別求出它求出它們們的基的基礎(chǔ)礎(chǔ)解系：解系：這這就是特征值就是特征值 i 所對應(yīng)的一組線性無關(guān)的特征向量。其非零線性組合所對應(yīng)的一組線性無關(guān)的特征向量。其非零線性組合 2.設(shè)設(shè) 1,2,s 是矩是矩陣陣A的全部互異的特征值。的全部互異的特征值。將將A的每個(gè)互異的特征值的每個(gè)互異的特征值 i(i=1,2,s)分別代入特征分別代入特征方程組方程組(I-A)X=0，得，得:小結(jié)小結(jié)是是A的屬于特征的屬于特征值值 i 的全部的全部特征向量特征向量(i=1,2,s),其中其中 kij 為不全為零的任意常數(shù)。為不全為零的任意常數(shù)。三、特征值與特征向量的性質(zhì)三、特征值與特征向量的性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì) 設(shè)
9、設(shè) A與與 B是是n階方陣，且階方陣，且 ，則，則 于是，于是，相似矩陣具有相同的特征值相似矩陣具有相同的特征值。問題問題 相似矩陣的特征向量間有什么關(guān)系？相似矩陣的特征向量間有什么關(guān)系？解答解答：設(shè)：設(shè) B=P-1AP,X 是矩陣是矩陣 A 的屬于特征值的屬于特征值 0的特征向量，則的特征向量，則 P-1X 是矩陣是矩陣 B 的對應(yīng)于特征值的對應(yīng)于特征值 0 的一個(gè)特征向量。的一個(gè)特征向量。定理定理 設(shè)設(shè) 是是n階方陣，階方陣，是是 A的的n個(gè)特征值，則個(gè)特征值，則（1）（2）推論推論（1）（2）可逆矩陣沒有零特征值。）可逆矩陣沒有零特征值。注注 矩陣矩陣 A 的主對角線上的所有元素之和的主
10、對角線上的所有元素之和 稱為稱為矩陣矩陣A的跡的跡，記作記作 t r(A)。設(shè)設(shè) A=aijnn，易見，它的特征多項(xiàng)式是關(guān)于，易見，它的特征多項(xiàng)式是關(guān)于 的的 n 次多項(xiàng)式，不妨設(shè)之為次多項(xiàng)式，不妨設(shè)之為即即證明證明考慮上式左端行列式的展開式，它除了考慮上式左端行列式的展開式，它除了這一項(xiàng)含有這一項(xiàng)含有 n 個(gè)形如個(gè)形如(-aii)的因式外，其余各項(xiàng)最的因式外，其余各項(xiàng)最多含有多含有 n-2 個(gè)這樣的因式。于是個(gè)這樣的因式。于是 n,n-1 只能由只能由(5.1.6)產(chǎn)生。比較產(chǎn)生。比較(5.1.5)兩端的系數(shù)，得兩端的系數(shù)，得在在|I-A|=C0 n+C1 n-1+Cn-1 +Cn 中令中令
11、 =0 得得 另外另外,根據(jù)多項(xiàng)式理論根據(jù)多項(xiàng)式理論,n 次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式 在復(fù)數(shù)域上有在復(fù)數(shù)域上有 n 個(gè)根，不妨設(shè)為個(gè)根，不妨設(shè)為 1,2,n,又又由于由于 f()的首項(xiàng)系數(shù)的首項(xiàng)系數(shù) C0=1，于是有，于是有比較比較(5.1.5)和和(5.1.9)，得，得(5.1.10)(5.1.10)特征值的重要性質(zhì)特征值的重要性質(zhì):例例 已知已知 且且 。求。求 。解解（法一法一）即即 ，解得，解得 。又又 ，故，故 ，即，即 ，解得解得 。（法二法二）A與與 B有相同的特征值有相同的特征值 故故 A的特征值為的特征值為 。由。由 解得解得 。此時(shí)，此時(shí)，所以所以 ；或由；或由 解得解得 。例例 已知已知 A的特征值為的特征值為1，2，3。求。求 的特征值。的特征值。解解 設(shè)設(shè) 是是A的特征值，的特征值，X是對應(yīng)的特征向量，是對應(yīng)的特征向量，則則 是是 的特征值，對應(yīng)的特征的特征值，對應(yīng)的特征向量也是向量也是X。于是，于是，的特征值為的特征值為 。注注 若若 是是 A 的特征值，則的特征值，則 f()是是 f(A)的特的特征值征值(其中其中 f()是關(guān)于是關(guān)于 的任一多項(xiàng)式函數(shù)的任一多項(xiàng)式函數(shù))。作業(yè)作業(yè) 習(xí)題五習(xí)題五(P260)：1(4),3,4,10,17 (1-17題均可作為練習(xí)題均可作為練習(xí))
線性代數(shù)：LA5-1 特征值與特征向量
