空氣動(dòng)力學(xué)邊界層理論及其近似

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1、第第5 5章章 邊界層理論及其近似邊界層理論及其近似5.15.1、邊界層近似及其特征、邊界層近似及其特征5.25.2、平面不可壓縮流體層流邊界層方程、平面不可壓縮流體層流邊界層方程5.35.3、平板層流邊界層的相似解、平板層流邊界層的相似解5.45.4、邊界層動(dòng)量積分方程、邊界層動(dòng)量積分方程5 5.5 5、邊界層的分離現(xiàn)象、邊界層的分離現(xiàn)象5.15.15.15.1、邊界層近似及其特征、邊界層近似及其特征、邊界層近似及其特征、邊界層近似及其特征1 1、邊界層概念的提出、邊界層概念的提出 業(yè)已知道，流動(dòng)業(yè)已知道，流動(dòng)ReRe數(shù)（數(shù)（O.ReynoldsO.Reynolds，18831883年，英國(guó)

2、流體力學(xué)家）年，英國(guó)流體力學(xué)家）是用以表征流體質(zhì)點(diǎn)的慣性力與粘性力對(duì)比關(guān)系的。根據(jù)量級(jí)分是用以表征流體質(zhì)點(diǎn)的慣性力與粘性力對(duì)比關(guān)系的。根據(jù)量級(jí)分析，作用于流體上的慣性力和粘性力可表示為析，作用于流體上的慣性力和粘性力可表示為:慣性力：慣性力：粘性力：粘性力：慣性力慣性力/粘性力：粘性力：因因此此，在在高高ReRe數(shù)數(shù)下下，流流體體運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)的的慣慣性性力力遠(yuǎn)遠(yuǎn)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大大于于粘粘性性力力。這這樣樣研研究忽略粘性力的流動(dòng)問(wèn)題是有實(shí)際意義的。究忽略粘性力的流動(dòng)問(wèn)題是有實(shí)際意義的。5.15.15.15.1、邊界層近似及其特征、邊界層近似及其特征、邊界層近似及其特征、邊界層近似及其特征 這也是早期發(fā)展理想流

3、體力學(xué)的重要依據(jù)，而且確實(shí)較成功地解決這也是早期發(fā)展理想流體力學(xué)的重要依據(jù)，而且確實(shí)較成功地解決了與粘性關(guān)系不大的一系列流動(dòng)問(wèn)題，諸如繞流物體的升力、波動(dòng)等問(wèn)了與粘性關(guān)系不大的一系列流動(dòng)問(wèn)題，諸如繞流物體的升力、波動(dòng)等問(wèn)題，但對(duì)繞流物體阻力、渦的擴(kuò)散等問(wèn)題，理想流體力學(xué)的解與實(shí)際相題，但對(duì)繞流物體阻力、渦的擴(kuò)散等問(wèn)題，理想流體力學(xué)的解與實(shí)際相差甚遠(yuǎn)，且甚至得出完全相反的結(jié)論，圓柱繞流無(wú)阻力的差甚遠(yuǎn)，且甚至得出完全相反的結(jié)論，圓柱繞流無(wú)阻力的DAlembert疑疑題就是一個(gè)典型的例子。（題就是一個(gè)典型的例子。（DAlembert，法國(guó)力學(xué)家，法國(guó)力學(xué)家，1717-1783）那么）那么，如何考慮流

4、體的粘性，怎樣解決繞流物體的阻力問(wèn)題，這在當(dāng)時(shí)確實(shí)，如何考慮流體的粘性，怎樣解決繞流物體的阻力問(wèn)題，這在當(dāng)時(shí)確實(shí)是一個(gè)阻礙流體力學(xué)發(fā)展的難題，直到是一個(gè)阻礙流體力學(xué)發(fā)展的難題，直到1904年國(guó)際流體力學(xué)大師德國(guó)學(xué)年國(guó)際流體力學(xué)大師德國(guó)學(xué)者者L.Prandtl通過(guò)大量實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，雖然整體流動(dòng)的通過(guò)大量實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，雖然整體流動(dòng)的Re數(shù)很大，但在靠近物數(shù)很大，但在靠近物面的薄層流體內(nèi)，流場(chǎng)的特征與理想流動(dòng)相差甚遠(yuǎn)，沿著法向存在很大面的薄層流體內(nèi)，流場(chǎng)的特征與理想流動(dòng)相差甚遠(yuǎn)，沿著法向存在很大的速度梯度，粘性力無(wú)法忽略。的速度梯度，粘性力無(wú)法忽略。Prandtl把這一物面近區(qū)粘性力起重要作把這一物面近區(qū)粘

5、性力起重要作用的薄層稱為邊界層（用的薄層稱為邊界層（Boundary layer）。）。5.15.15.15.1、邊界層近似及其特征、邊界層近似及其特征、邊界層近似及其特征、邊界層近似及其特征 PrandtlPrandtl的的邊邊界界層層概概念念，為為人人們們?nèi)缛绾魏斡?jì)計(jì)入入粘粘性性的的作作用用開(kāi)開(kāi)辟辟了了劃劃時(shí)時(shí)代代的的途途徑，因此稱其為粘性流體力學(xué)之父。對(duì)整個(gè)流場(chǎng)提出的基本分區(qū)是：徑，因此稱其為粘性流體力學(xué)之父。對(duì)整個(gè)流場(chǎng)提出的基本分區(qū)是：（1 1）整個(gè)流動(dòng)區(qū)域可分成理想流體的流動(dòng)區(qū)域（勢(shì)流區(qū)）和粘性流體的）整個(gè)流動(dòng)區(qū)域可分成理想流體的流動(dòng)區(qū)域（勢(shì)流區(qū)）和粘性流體的 流動(dòng)區(qū)域（粘流區(qū)）。流

6、動(dòng)區(qū)域（粘流區(qū)）。（2 2）在遠(yuǎn)離物體的理想流體流動(dòng)區(qū)域，可忽略粘性的影響，按勢(shì)流理論）在遠(yuǎn)離物體的理想流體流動(dòng)區(qū)域，可忽略粘性的影響，按勢(shì)流理論 處理。處理。（3 3）粘性流動(dòng)區(qū)域僅限于物面近區(qū)的薄層內(nèi)，稱為邊界層。既然是粘流）粘性流動(dòng)區(qū)域僅限于物面近區(qū)的薄層內(nèi)，稱為邊界層。既然是粘流 區(qū)，粘性力的作用不能忽略，與慣性力同量級(jí)，流體質(zhì)點(diǎn)作有旋運(yùn)區(qū)，粘性力的作用不能忽略，與慣性力同量級(jí)，流體質(zhì)點(diǎn)作有旋運(yùn) 動(dòng)。動(dòng)。2 2、邊界層的特征、邊界層的特征（1 1）邊界層定義）邊界層定義 嚴(yán)格而言，邊界層區(qū)與主流區(qū)之間無(wú)明顯界線，通常以速度達(dá)到主嚴(yán)格而言，邊界層區(qū)與主流區(qū)之間無(wú)明顯界線，通常以速度達(dá)到主

7、流區(qū)速度的流區(qū)速度的0.990.99U U作為邊界層的外緣。由邊界層外緣到物面的垂直距離稱作為邊界層的外緣。由邊界層外緣到物面的垂直距離稱為邊界層名義厚度，用表示為邊界層名義厚度，用表示。5.15.15.15.1、邊界層近似及其特征、邊界層近似及其特征、邊界層近似及其特征、邊界層近似及其特征（2 2）邊界層的有渦性）邊界層的有渦性 粘性流體運(yùn)動(dòng)總伴隨渦量的產(chǎn)生、擴(kuò)散、衰減。邊界層就是渦層，當(dāng)粘性流體運(yùn)動(dòng)總伴隨渦量的產(chǎn)生、擴(kuò)散、衰減。邊界層就是渦層，當(dāng)流體繞過(guò)物面時(shí)，無(wú)滑移邊界條件相當(dāng)于使物面成為具有一定強(qiáng)度的流體繞過(guò)物面時(shí)，無(wú)滑移邊界條件相當(dāng)于使物面成為具有一定強(qiáng)度的連續(xù)分布的渦源。以二維流動(dòng)

8、為例說(shuō)明之。此時(shí)，物面上的渦源強(qiáng)度連續(xù)分布的渦源。以二維流動(dòng)為例說(shuō)明之。此時(shí)，物面上的渦源強(qiáng)度為為 對(duì)于不可壓縮流體，二維流動(dòng)的渦量輸運(yùn)方程為對(duì)于不可壓縮流體，二維流動(dòng)的渦量輸運(yùn)方程為 上式表明，由于粘性的影響，物面上的渦量一方面沿垂直流線方向擴(kuò)上式表明，由于粘性的影響，物面上的渦量一方面沿垂直流線方向擴(kuò)散，另一方面，渦量沿主流方向遷移，并隨之而逐漸衰減。渦量的擴(kuò)散，另一方面，渦量沿主流方向遷移，并隨之而逐漸衰減。渦量的擴(kuò)散速度與粘性有關(guān)，渦量的遷移速度取決于流動(dòng)速度。散速度與粘性有關(guān)，渦量的遷移速度取決于流動(dòng)速度。5.15.15.15.1、邊界層近似及其特征、邊界層近似及其特征、邊界層近似及

9、其特征、邊界層近似及其特征（3）邊界層厚度的量級(jí)估計(jì)邊界層厚度的量級(jí)估計(jì) 根根據(jù)據(jù)邊邊界界層層內(nèi)內(nèi)粘粘性性力力與與慣慣性性力力同同量量級(jí)級(jí)的的條條件件，可可估估算算邊邊界界層層的的厚厚度度。以以平平板板繞繞流流為為例例說(shuō)說(shuō)明明。設(shè)設(shè)來(lái)來(lái)流流的的速速度度為為U，在在x x方方向向的的長(zhǎng)長(zhǎng)度度為為L(zhǎng) L，邊邊界界層厚度為層厚度為 。慣性力：慣性力：粘性力：粘性力：由慣性力與粘性力同量級(jí)得到由慣性力與粘性力同量級(jí)得到 5.15.15.15.1、邊界層近似及其特征、邊界層近似及其特征、邊界層近似及其特征、邊界層近似及其特征由此可見(jiàn)，在高由此可見(jiàn)，在高Re數(shù)下，邊界層的厚度遠(yuǎn)小于被繞流物體的特征長(zhǎng)度。數(shù)

10、下，邊界層的厚度遠(yuǎn)小于被繞流物體的特征長(zhǎng)度。（4）邊界層各種厚度定義）邊界層各種厚度定義（a）邊界層排移厚度邊界層排移厚度 在邊界層內(nèi)，理想流體的質(zhì)量流量為在邊界層內(nèi)，理想流體的質(zhì)量流量為 其其中中，ue為為邊邊界界層層外外緣緣速速度度。由由于于粘粘性性的的存存在在，實(shí)實(shí)際際流流體體通通過(guò)過(guò)的的質(zhì)質(zhì)量量流量為流量為 上上述述兩兩項(xiàng)項(xiàng)之之差差表表示示粘粘性性存存在在而而損損失失的的流流量量，這這部部分分流流量量被被排排擠擠到到主主流流場(chǎng)中，相當(dāng)于主流區(qū)增加了一層流體。場(chǎng)中，相當(dāng)于主流區(qū)增加了一層流體。5.15.15.15.1、邊界層近似及其特征、邊界層近似及其特征、邊界層近似及其特征、邊界層近似

11、及其特征 主流區(qū)所增加的厚度為主流區(qū)所增加的厚度為 這部分主流區(qū)增加的流體厚度是由邊界層流體排擠入主流區(qū)造成的。因這部分主流區(qū)增加的流體厚度是由邊界層流體排擠入主流區(qū)造成的。因此，稱其為排移厚度。此，稱其為排移厚度。（b b）邊界層動(dòng)量損失厚度邊界層動(dòng)量損失厚度 在邊界層內(nèi)，在質(zhì)量流量不變的條件下，理想流體通過(guò)的動(dòng)量為在邊界層內(nèi)，在質(zhì)量流量不變的條件下，理想流體通過(guò)的動(dòng)量為 由于粘性的存在，實(shí)際流體通過(guò)的動(dòng)量為由于粘性的存在，實(shí)際流體通過(guò)的動(dòng)量為5.15.15.15.1、邊界層近似及其特征、邊界層近似及其特征、邊界層近似及其特征、邊界層近似及其特征 上上述述兩兩項(xiàng)項(xiàng)之之差差表表示示粘粘性性存存

12、在在而而損損失失的的動(dòng)動(dòng)量量，這這部部分分動(dòng)動(dòng)量量損損失失用用外外流流流流速速u(mài) ue e（理想流體）折算的動(dòng)量損失厚度為理想流體）折算的動(dòng)量損失厚度為（c c）邊界層能量損失厚度邊界層能量損失厚度 在在邊邊界界層層內(nèi)內(nèi)，在在質(zhì)質(zhì)量量流流量量不不變變的的條條件件下下，以以外外流流速速度度（理理想想流流體體）通通過(guò)的動(dòng)能為過(guò)的動(dòng)能為 由于粘性的存在，實(shí)際流體通過(guò)的動(dòng)能為由于粘性的存在，實(shí)際流體通過(guò)的動(dòng)能為5.15.15.15.1、邊界層近似及其特征、邊界層近似及其特征、邊界層近似及其特征、邊界層近似及其特征 上述兩項(xiàng)之差表示粘性存在而損失的動(dòng)能，這部分動(dòng)能損失用主流流上述兩項(xiàng)之差表示粘性存在而損

13、失的動(dòng)能，這部分動(dòng)能損失用主流流速速u(mài)e（理想流體）折算的動(dòng)能損失厚度為理想流體）折算的動(dòng)能損失厚度為:上述各種厚度的計(jì)算公式，對(duì)于不可壓縮流體而言，變?yōu)樯鲜龈鞣N厚度的計(jì)算公式，對(duì)于不可壓縮流體而言，變?yōu)?5.15.15.15.1、邊界層近似及其特征、邊界層近似及其特征、邊界層近似及其特征、邊界層近似及其特征（5 5）幾點(diǎn)說(shuō)明）幾點(diǎn)說(shuō)明（a a）實(shí)際流動(dòng)中，邊界層流動(dòng)與理想流動(dòng)是漸近過(guò)渡的，邊界層的外實(shí)際流動(dòng)中，邊界層流動(dòng)與理想流動(dòng)是漸近過(guò)渡的，邊界層的外邊界線實(shí)際上是不存在的，因此邊界層的外邊界線不是流線，而是被邊界線實(shí)際上是不存在的，因此邊界層的外邊界線不是流線，而是被流體所通過(guò)的，允許邊

14、界層內(nèi)流體穿過(guò)邊界線流動(dòng)。也就是說(shuō)，在邊流體所通過(guò)的，允許邊界層內(nèi)流體穿過(guò)邊界線流動(dòng)。也就是說(shuō)，在邊界層內(nèi)流線是向外偏的。界層內(nèi)流線是向外偏的。（b b）邊界層各種厚度的定義式，即適用于層流，也適用于湍流。邊界層各種厚度的定義式，即適用于層流，也適用于湍流。（c c）邊界層各種厚度的大小與邊界層內(nèi)流速分布有關(guān)。但各厚度的大邊界層各種厚度的大小與邊界層內(nèi)流速分布有關(guān)。但各厚度的大小依次是小依次是:邊界層厚度邊界層厚度 邊界層排移厚度邊界層排移厚度 邊界層動(dòng)量損失厚度邊界層動(dòng)量損失厚度 邊界層能量損失厚度邊界層能量損失厚度LudwigLudwigLudwigLudwig Prandtl Prand

15、tl Prandtl Prandtl介紹介紹介紹介紹 普普朗朗特特重重視視觀觀察察和和分分析析力力學(xué)學(xué)現(xiàn)現(xiàn)象象，養(yǎng)養(yǎng)成成了了非非凡凡的的直直觀觀洞洞察察能能力力，善善于于抓住物理本質(zhì)，概括出數(shù)學(xué)方程。他曾說(shuō)：抓住物理本質(zhì)，概括出數(shù)學(xué)方程。他曾說(shuō)：“我只是在相信自己對(duì)我只是在相信自己對(duì) 物物理理本本質(zhì)質(zhì)已已經(jīng)經(jīng)有有深深入入了了解解以以后后，才才想想到到數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)方方程程。方方程程的的用用處處是是說(shuō)說(shuō)出量的大小，這是直觀得不到的，同時(shí)它也證明結(jié)論是否正確。出量的大小，這是直觀得不到的，同時(shí)它也證明結(jié)論是否正確?！逼掌绽世侍靥刂钢笇?dǎo)導(dǎo)過(guò)過(guò)8181名名博博士士生生，著著名名學(xué)學(xué)者者BlasiusBlas

16、ius、Von Von KarmanKarman是是其其學(xué)學(xué)生生之之一一。我我國(guó)國(guó)著著名名的的空空氣氣動(dòng)動(dòng)力力學(xué)學(xué)專(zhuān)專(zhuān)家家、北北航航流流體體力力學(xué)學(xué)教教授授陸陸士士嘉嘉先先生生（女女，1911191119861986）是是普普朗朗特特正正式式接接受受的的唯唯一一中中國(guó)國(guó)學(xué)學(xué)生生，唯唯一一的的女女學(xué)生。學(xué)生。5.25.25.25.2、平面不可壓縮流體層流邊界層方程、平面不可壓縮流體層流邊界層方程、平面不可壓縮流體層流邊界層方程、平面不可壓縮流體層流邊界層方程1 1、平壁面上邊界層方程、平壁面上邊界層方程 根據(jù)根據(jù)PrandtlPrandtl邊界層概念，通過(guò)量級(jí)比較，可對(duì)邊界層概念，通過(guò)量級(jí)比較，

17、可對(duì)N-SN-S方程組進(jìn)行簡(jiǎn)化，方程組進(jìn)行簡(jiǎn)化，得到邊界層近似方程。對(duì)于二維不可壓縮流動(dòng)，得到邊界層近似方程。對(duì)于二維不可壓縮流動(dòng)，N-SN-S方程為方程為 選取長(zhǎng)度特征選取長(zhǎng)度特征L L，速度尺度速度尺度ueue，時(shí)間尺度時(shí)間尺度t=L/t=L/ueue，邊界層近似假定：邊界層近似假定：5.25.25.25.2、平面不可壓縮流體層流邊界層方程、平面不可壓縮流體層流邊界層方程、平面不可壓縮流體層流邊界層方程、平面不可壓縮流體層流邊界層方程（1 1）根據(jù)邊界層定義，縱向偏導(dǎo)數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于橫向偏導(dǎo)數(shù)。）根據(jù)邊界層定義，縱向偏導(dǎo)數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于橫向偏導(dǎo)數(shù)。（2 2）法向速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于縱向速度。）法向速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于

18、縱向速度。（3 3）邊界層內(nèi)的壓強(qiáng)與外流速度的平方成正比。）邊界層內(nèi)的壓強(qiáng)與外流速度的平方成正比。將這些量級(jí)關(guān)系式代入到將這些量級(jí)關(guān)系式代入到N-SN-S方程中，得到方程中，得到5.25.25.25.2、平面不可壓縮流體層流邊界層方程、平面不可壓縮流體層流邊界層方程、平面不可壓縮流體層流邊界層方程、平面不可壓縮流體層流邊界層方程N(yùn)-SN-S方程組與各項(xiàng)量級(jí)比較方程組與各項(xiàng)量級(jí)比較:5.25.25.25.2、平面不可壓縮流體層流邊界層方程、平面不可壓縮流體層流邊界層方程、平面不可壓縮流體層流邊界層方程、平面不可壓縮流體層流邊界層方程在高在高ReRe數(shù)情況下，忽略小量得到數(shù)情況下，忽略小量得到忽略

19、質(zhì)量力，由第三個(gè)方程得到忽略質(zhì)量力，由第三個(gè)方程得到這說(shuō)明，在高這說(shuō)明，在高ReRe數(shù)情況下，在邊界層內(nèi)壓力沿法向是不變的。數(shù)情況下，在邊界層內(nèi)壓力沿法向是不變的。5.25.25.25.2、平面不可壓縮流體層流邊界層方程、平面不可壓縮流體層流邊界層方程、平面不可壓縮流體層流邊界層方程、平面不可壓縮流體層流邊界層方程 邊界層內(nèi)的壓力分布與邊界層外邊界線上的壓力分布相等。也就是，邊界層內(nèi)的壓力分布與邊界層外邊界線上的壓力分布相等。也就是，p p與與y y無(wú)關(guān)，僅是無(wú)關(guān)，僅是x x和和t t的函數(shù)。即的函數(shù)。即 忽略質(zhì)量力，忽略質(zhì)量力，PrandtlPrandtl邊界層方程變?yōu)檫吔鐚臃匠套優(yōu)?邊界條

20、件：邊界條件：5.25.25.25.2、平面不可壓縮流體層流邊界層方程、平面不可壓縮流體層流邊界層方程、平面不可壓縮流體層流邊界層方程、平面不可壓縮流體層流邊界層方程 在邊界層外邊界線上，可按照理想流體勢(shì)流方程確定壓強(qiáng)。即在邊界層外邊界線上，可按照理想流體勢(shì)流方程確定壓強(qiáng)。即 在定常流動(dòng)情況下，有在定常流動(dòng)情況下，有5.25.25.25.2、平面不可壓縮流體層流邊界層方程、平面不可壓縮流體層流邊界層方程、平面不可壓縮流體層流邊界層方程、平面不可壓縮流體層流邊界層方程 綜上所述，邊界層基本特性可歸納為綜上所述，邊界層基本特性可歸納為2 2、曲壁面上的邊界層方程、曲壁面上的邊界層方程 在實(shí)際流動(dòng)中

21、所遇到的物面常是彎曲的，因此推導(dǎo)曲壁面上的邊界層在實(shí)際流動(dòng)中所遇到的物面常是彎曲的，因此推導(dǎo)曲壁面上的邊界層方程具有重要意義。在推導(dǎo)中，使用曲壁面上的邊界層坐標(biāo)系。其中，方程具有重要意義。在推導(dǎo)中，使用曲壁面上的邊界層坐標(biāo)系。其中，x x軸貼著壁面，軸貼著壁面，y y軸垂直于壁面。在邊界層內(nèi)任取一點(diǎn)軸垂直于壁面。在邊界層內(nèi)任取一點(diǎn)M M，其坐標(biāo)其坐標(biāo) x=ON y=NMx=ON y=NM M M為為M M的鄰點(diǎn)，的鄰點(diǎn)，MMMM的弧長(zhǎng)為的弧長(zhǎng)為dsds5.25.25.25.2、平面不可壓縮流體層流邊界層方程、平面不可壓縮流體層流邊界層方程、平面不可壓縮流體層流邊界層方程、平面不可壓縮流體層流邊

22、界層方程 在在x x處，設(shè)曲壁的曲率半徑為處，設(shè)曲壁的曲率半徑為R(x)R(x)，有有 則則 仍以仍以u(píng) u和和v v分別表示邊界層坐標(biāo)系中的分別表示邊界層坐標(biāo)系中的x x和和y y方向的速度分量，則由正交方向的速度分量，則由正交曲線坐標(biāo)系方程，得到曲線坐標(biāo)系方程，得到 連續(xù)方程連續(xù)方程5.25.25.25.2、平面不可壓縮流體層流邊界層方程、平面不可壓縮流體層流邊界層方程、平面不可壓縮流體層流邊界層方程、平面不可壓縮流體層流邊界層方程運(yùn)動(dòng)方程為運(yùn)動(dòng)方程為:5.25.2、平面不可壓縮流體層流邊界層方程、平面不可壓縮流體層流邊界層方程、平面不可壓縮流體層流邊界層方程、平面不可壓縮流體層流邊界層方

23、程 假定物面的曲率半徑假定物面的曲率半徑R(x)R(x)與與x x向的向的特征長(zhǎng)度特征長(zhǎng)度L L同量級(jí)，同量級(jí)，y y的量級(jí)與邊界的量級(jí)與邊界層厚度同量級(jí)，故有層厚度同量級(jí)，故有 量級(jí)比較，簡(jiǎn)化的邊界層方程為量級(jí)比較，簡(jiǎn)化的邊界層方程為5.25.25.25.2、平面不可壓縮流體層流邊界層方程、平面不可壓縮流體層流邊界層方程、平面不可壓縮流體層流邊界層方程、平面不可壓縮流體層流邊界層方程 這就是曲壁面上的邊界層方程，與平壁面的方程相比，只是這就是曲壁面上的邊界層方程，與平壁面的方程相比，只是y y方向的方方向的方程有所不同。為了和流動(dòng)彎曲所產(chǎn)生的離心力相平衡，必須有程有所不同。為了和流動(dòng)彎曲所產(chǎn)

24、生的離心力相平衡，必須有y y方向的壓方向的壓力梯度。以下估計(jì)這個(gè)壓力梯度的量級(jí)大小。初步假定邊界層內(nèi)速度分力梯度。以下估計(jì)這個(gè)壓力梯度的量級(jí)大小。初步假定邊界層內(nèi)速度分布為線性分布。布為線性分布。從從y=0y=0到到y(tǒng)=sy=s積分，有積分，有 在在RsRs的情況下，此壓差是個(gè)小量，可忽略不計(jì)。由此仍得出在曲壁面的情況下，此壓差是個(gè)小量，可忽略不計(jì)。由此仍得出在曲壁面的邊界層內(nèi)，法向壓力不變是個(gè)常數(shù)。這說(shuō)明，在曲率半徑不太小且變的邊界層內(nèi)，法向壓力不變是個(gè)常數(shù)。這說(shuō)明，在曲率半徑不太小且變化不太大的情況下，曲壁面上的邊界層方程與平壁面上的邊界層方程完化不太大的情況下，曲壁面上的邊界層方程與平

25、壁面上的邊界層方程完全相同。全相同。5.35.35.35.3、平板層流邊界層的相似解、平板層流邊界層的相似解、平板層流邊界層的相似解、平板層流邊界層的相似解 1908年，年，Prandtl學(xué)生學(xué)生Blasius利用邊界層速度分布的相似性求解了平利用邊界層速度分布的相似性求解了平板層流邊界層方程。對(duì)于零壓梯度、定常、不可壓縮流體平板層流板層流邊界層方程。對(duì)于零壓梯度、定常、不可壓縮流體平板層流繞流，邊界層方程為繞流，邊界層方程為 相應(yīng)的邊界條件為相應(yīng)的邊界條件為 Blasius假設(shè)，在平板上邊界層內(nèi)的速度分布具有相似性特征。即假設(shè)，在平板上邊界層內(nèi)的速度分布具有相似性特征。即 5.35.35.3

26、5.3、平板層流邊界層的相似解、平板層流邊界層的相似解、平板層流邊界層的相似解、平板層流邊界層的相似解根據(jù)量級(jí)比較，邊界層厚度的量級(jí)為根據(jù)量級(jí)比較，邊界層厚度的量級(jí)為:引入流函數(shù)，可消掉一個(gè)連續(xù)方程。引入流函數(shù)，可消掉一個(gè)連續(xù)方程。5.35.35.35.3、平板層流邊界層的相似解、平板層流邊界層的相似解、平板層流邊界層的相似解、平板層流邊界層的相似解由此得到由此得到代入方程中，得到代入方程中，得到5.35.35.35.3、平板層流邊界層的相似解、平板層流邊界層的相似解、平板層流邊界層的相似解、平板層流邊界層的相似解化簡(jiǎn)后變?yōu)榛?jiǎn)后變?yōu)檫吔鐥l件為邊界條件為Blasius用無(wú)窮級(jí)數(shù)進(jìn)行了求解。假設(shè)

27、：用無(wú)窮級(jí)數(shù)進(jìn)行了求解。假設(shè)：其中，其中，為待定系數(shù)。為待定系數(shù)。5.35.35.35.3、平板層流邊界層的相似解、平板層流邊界層的相似解、平板層流邊界層的相似解、平板層流邊界層的相似解 由邊界條件，可得由邊界條件，可得（1）邊界層厚度）邊界層厚度（2）邊界層位移厚度邊界層位移厚度（3）邊界層動(dòng)量損失厚度邊界層動(dòng)量損失厚度 5.35.35.35.3、平板層流邊界層的相似解、平板層流邊界層的相似解、平板層流邊界層的相似解、平板層流邊界層的相似解（4）壁面切應(yīng)力）壁面切應(yīng)力（5）壁面摩擦阻力系數(shù)壁面摩擦阻力系數(shù)（6）平均壁面摩擦總阻力系數(shù)平均壁面摩擦總阻力系數(shù) 郭永懷（郭永懷（1953年）對(duì)平板前

28、緣點(diǎn)的修正，得到年）對(duì)平板前緣點(diǎn)的修正，得到適用范圍：適用范圍：5.45.45.45.4、邊界層動(dòng)量積分方程、邊界層動(dòng)量積分方程、邊界層動(dòng)量積分方程、邊界層動(dòng)量積分方程 邊界層動(dòng)量積分關(guān)系式是由邊界層動(dòng)量積分關(guān)系式是由Karman1921導(dǎo)出的，對(duì)近似求解邊導(dǎo)出的，對(duì)近似求解邊界層特性具有重要作用。適應(yīng)于層流邊界層和湍流邊界層。今在界層特性具有重要作用。適應(yīng)于層流邊界層和湍流邊界層。今在邊界層內(nèi)任取一控制體，控制體長(zhǎng)度為邊界層內(nèi)任取一控制體，控制體長(zhǎng)度為dx，控制面為控制面為Aab、Abc、Acd、Ada?，F(xiàn)對(duì)控制體應(yīng)用動(dòng)量定律，可得現(xiàn)對(duì)控制體應(yīng)用動(dòng)量定律，可得 由由A Aabab面流入控制體

29、的質(zhì)量為面流入控制體的質(zhì)量為 由由Acd面流出控制體的質(zhì)量為面流出控制體的質(zhì)量為5.45.45.45.4、邊界層動(dòng)量積分方程、邊界層動(dòng)量積分方程、邊界層動(dòng)量積分方程、邊界層動(dòng)量積分方程根據(jù)質(zhì)量守恒定律，通過(guò)根據(jù)質(zhì)量守恒定律，通過(guò)Abc流入控制體的質(zhì)量為流入控制體的質(zhì)量為由由Aab面流入控制體的動(dòng)量為面流入控制體的動(dòng)量為由由Acd面流出控制體的動(dòng)量為面流出控制體的動(dòng)量為通過(guò)通過(guò)Abc流入控制體的動(dòng)量在流入控制體的動(dòng)量在x方向的分量為方向的分量為 5.45.45.45.4、邊界層動(dòng)量積分方程、邊界層動(dòng)量積分方程、邊界層動(dòng)量積分方程、邊界層動(dòng)量積分方程在在Aab面上的作用力為面上的作用力為在在A A

30、cdcd面上的作用力為面上的作用力為在在A Abcbc面上的力為面上的力為在在A Aadad面上的切應(yīng)力為面上的切應(yīng)力為 5.45.45.45.4、邊界層動(dòng)量積分方程、邊界層動(dòng)量積分方程、邊界層動(dòng)量積分方程、邊界層動(dòng)量積分方程現(xiàn)對(duì)控制體建立現(xiàn)對(duì)控制體建立x方向的動(dòng)量方程為方向的動(dòng)量方程為整理后，得整理后，得由于由于5.45.45.45.4、邊界層動(dòng)量積分方程、邊界層動(dòng)量積分方程、邊界層動(dòng)量積分方程、邊界層動(dòng)量積分方程由由Bernoulli方程，可得方程，可得 這就是邊界層動(dòng)量積分方程。是一個(gè)一階常微分方程，適應(yīng)于層流和湍這就是邊界層動(dòng)量積分方程。是一個(gè)一階常微分方程，適應(yīng)于層流和湍流邊界層。流

31、邊界層。5.45.45.45.4、邊界層動(dòng)量積分方程、邊界層動(dòng)量積分方程、邊界層動(dòng)量積分方程、邊界層動(dòng)量積分方程如果寫(xiě)成無(wú)量綱形式，有如果寫(xiě)成無(wú)量綱形式，有對(duì)于零壓梯度的平板邊界層流動(dòng)，有對(duì)于零壓梯度的平板邊界層流動(dòng)，有動(dòng)量積分方程也可通過(guò)直接積分邊界層微分方程獲得。動(dòng)量積分方程也可通過(guò)直接積分邊界層微分方程獲得。對(duì)于二維不可壓縮流體邊界層方程為對(duì)于二維不可壓縮流體邊界層方程為5.45.45.45.4、邊界層動(dòng)量積分方程、邊界層動(dòng)量積分方程、邊界層動(dòng)量積分方程、邊界層動(dòng)量積分方程用用ueue乘以連續(xù)方程，并把動(dòng)量方程改寫(xiě)。乘以連續(xù)方程，并把動(dòng)量方程改寫(xiě)。兩式相減，得到兩式相減，得到積分上式，有

32、積分上式，有5.45.45.45.4、邊界層動(dòng)量積分方程、邊界層動(dòng)量積分方程、邊界層動(dòng)量積分方程、邊界層動(dòng)量積分方程 整理后，得到整理后，得到 這與這與KarmanKarman方程完全一樣。動(dòng)量積分方程含有三個(gè)未知數(shù)，排移厚度、方程完全一樣。動(dòng)量積分方程含有三個(gè)未知數(shù)，排移厚度、動(dòng)量損失厚度、壁面切應(yīng)力。因此，必須尋求補(bǔ)充關(guān)系，積分求解。動(dòng)量損失厚度、壁面切應(yīng)力。因此，必須尋求補(bǔ)充關(guān)系，積分求解。由于三個(gè)未知量都取決與邊界層的速度分布，因此只要給定速度分布，由于三個(gè)未知量都取決與邊界層的速度分布，因此只要給定速度分布，就可以求解。顯然，該方法的精度取決于邊界層內(nèi)速度分布的合理性。就可以求解。顯

33、然，該方法的精度取決于邊界層內(nèi)速度分布的合理性。通常假定，邊界層內(nèi)速度分布為通常假定，邊界層內(nèi)速度分布為 確定系數(shù)的條件為確定系數(shù)的條件為例題：例題：一次型：一次型：3.464二次型：二次型：5.477 三次型：三次型：4.641四次型：四次型：5.835正弦函數(shù)：正弦函數(shù)：4.795平板邊界層，有平板邊界層，有5.45.45.45.4、邊界層動(dòng)量積分方程、邊界層動(dòng)量積分方程、邊界層動(dòng)量積分方程、邊界層動(dòng)量積分方程對(duì)于壁面切應(yīng)力，有對(duì)于壁面切應(yīng)力，有代入動(dòng)量積分方程中，得到代入動(dòng)量積分方程中，得到5.45.45.45.4、邊界層動(dòng)量積分方程、邊界層動(dòng)量積分方程、邊界層動(dòng)量積分方程、邊界層動(dòng)量積

34、分方程5.55.55.55.5、邊界層的分離現(xiàn)象、邊界層的分離現(xiàn)象、邊界層的分離現(xiàn)象、邊界層的分離現(xiàn)象1 1、邊界層分離現(xiàn)象、邊界層分離現(xiàn)象 邊界層中的流體質(zhì)點(diǎn)受慣性力、粘性力和壓力的作用。其中，粘性力邊界層中的流體質(zhì)點(diǎn)受慣性力、粘性力和壓力的作用。其中，粘性力的作用始終是阻滯流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，使流體質(zhì)點(diǎn)減速，失去動(dòng)能；壓力的作用始終是阻滯流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，使流體質(zhì)點(diǎn)減速，失去動(dòng)能；壓力的作用取決于繞流物體的形狀和流道形狀，順壓梯度有助于流體加速的作用取決于繞流物體的形狀和流道形狀，順壓梯度有助于流體加速前進(jìn)，而逆壓梯度阻礙流體運(yùn)動(dòng)。以圓柱繞流為例說(shuō)明邊界層的分離前進(jìn)，而逆壓梯度阻礙流體運(yùn)動(dòng)。以圓柱繞

35、流為例說(shuō)明邊界層的分離現(xiàn)象。現(xiàn)象。對(duì)于理想流體，流體微團(tuán)繞過(guò)圓柱時(shí)，對(duì)于理想流體，流體微團(tuán)繞過(guò)圓柱時(shí)，在在OMOM段為加速減壓區(qū)，壓能轉(zhuǎn)化為動(dòng)段為加速減壓區(qū)，壓能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能。在能。在MFMF段為減速增壓區(qū)，動(dòng)能減小段為減速增壓區(qū)，動(dòng)能減小壓能增加壓能增加5.55.55.55.5、邊界層的分離現(xiàn)象、邊界層的分離現(xiàn)象、邊界層的分離現(xiàn)象、邊界層的分離現(xiàn)象 對(duì)于粘性流體，在上述能量的轉(zhuǎn)化過(guò)程中，由于粘性的作用，邊界層內(nèi)對(duì)于粘性流體，在上述能量的轉(zhuǎn)化過(guò)程中，由于粘性的作用，邊界層內(nèi)的流體質(zhì)點(diǎn)將要克服粘性力作功而消耗機(jī)械能。因此微團(tuán)在逆壓區(qū)，不的流體質(zhì)點(diǎn)將要克服粘性力作功而消耗機(jī)械能。因此微團(tuán)在逆壓區(qū)，不

36、可能到達(dá)可能到達(dá)F F點(diǎn)，而是在點(diǎn)，而是在MFMF段中的某點(diǎn)處微團(tuán)速度降為零，以后來(lái)的質(zhì)點(diǎn)段中的某點(diǎn)處微團(tuán)速度降為零，以后來(lái)的質(zhì)點(diǎn)將改道進(jìn)入主流將改道進(jìn)入主流中，使來(lái)流邊界層與壁面分離。中，使來(lái)流邊界層與壁面分離。在分離點(diǎn)下游的區(qū)域，在分離點(diǎn)下游的區(qū)域，受逆壓梯度的作用而發(fā)生倒流。分離點(diǎn)定義為緊鄰壁面順流區(qū)與倒流區(qū)受逆壓梯度的作用而發(fā)生倒流。分離點(diǎn)定義為緊鄰壁面順流區(qū)與倒流區(qū)的分界點(diǎn)。的分界點(diǎn)。在分離點(diǎn)附近和分離區(qū)，由于邊界層厚度大在分離點(diǎn)附近和分離區(qū)，由于邊界層厚度大 大增加，邊界層假設(shè)不在成立。邊界層分離大增加，邊界層假設(shè)不在成立。邊界層分離 的必要條件是：逆壓梯度和物面粘性的阻滯的必要條

37、件是：逆壓梯度和物面粘性的阻滯 作用結(jié)果。作用結(jié)果。僅有粘性的阻滯作用而無(wú)逆壓梯度，不會(huì)發(fā)生邊界層的分離，因?yàn)闊o(wú)反僅有粘性的阻滯作用而無(wú)逆壓梯度，不會(huì)發(fā)生邊界層的分離，因?yàn)闊o(wú)反推力使邊界層流體進(jìn)入到外流區(qū)。這說(shuō)明，順壓梯度的流動(dòng)不可能發(fā)生推力使邊界層流體進(jìn)入到外流區(qū)。這說(shuō)明，順壓梯度的流動(dòng)不可能發(fā)生邊界層分離。只有逆壓梯度而無(wú)粘性的阻滯作用，同樣也不會(huì)發(fā)生分離邊界層分離。只有逆壓梯度而無(wú)粘性的阻滯作用，同樣也不會(huì)發(fā)生分離現(xiàn)象，因?yàn)闊o(wú)阻滯作用，運(yùn)動(dòng)流體不可能消耗動(dòng)能而滯止下來(lái)。現(xiàn)象，因?yàn)闊o(wú)阻滯作用，運(yùn)動(dòng)流體不可能消耗動(dòng)能而滯止下來(lái)。5.55.55.55.5、邊界層的分離現(xiàn)象、邊界層的分離現(xiàn)象、邊

38、界層的分離現(xiàn)象、邊界層的分離現(xiàn)象氣流繞翼型的流動(dòng)與邊界層分離現(xiàn)象。氣流繞翼型的流動(dòng)與邊界層分離現(xiàn)象。需要指出的是：逆壓梯度和壁面粘性阻滯作用是邊界層分離的必需要指出的是：逆壓梯度和壁面粘性阻滯作用是邊界層分離的必要條件，但不是充分的，也就是說(shuō)只有在一定的逆壓梯度下，才要條件，但不是充分的，也就是說(shuō)只有在一定的逆壓梯度下，才有可能發(fā)生分離。有可能發(fā)生分離。5.55.55.55.5、邊界層的分離現(xiàn)象、邊界層的分離現(xiàn)象、邊界層的分離現(xiàn)象、邊界層的分離現(xiàn)象2 2、在不同壓力梯度區(qū)邊界層的速度分布特征、在不同壓力梯度區(qū)邊界層的速度分布特征根據(jù)邊界層動(dòng)量方程，在壁面上根據(jù)邊界層動(dòng)量方程，在壁面上壓力梯度對(duì)

39、邊界層內(nèi)流動(dòng)速度分布產(chǎn)生一定的影響。壓力梯度對(duì)邊界層內(nèi)流動(dòng)速度分布產(chǎn)生一定的影響。對(duì)于順壓梯度的情況，有對(duì)于順壓梯度的情況，有對(duì)于逆壓梯度的情況，有對(duì)于逆壓梯度的情況，有5.55.55.55.5、邊界層的分離現(xiàn)象、邊界層的分離現(xiàn)象、邊界層的分離現(xiàn)象、邊界層的分離現(xiàn)象對(duì)于零壓梯度的情況，有對(duì)于零壓梯度的情況，有由此可見(jiàn)，隨著壓力梯度的變號(hào)，邊界層速度分布的曲率將改變符號(hào)。由此可見(jiàn)，隨著壓力梯度的變號(hào)，邊界層速度分布的曲率將改變符號(hào)。5.55.55.55.5、邊界層的分離現(xiàn)象、邊界層的分離現(xiàn)象、邊界層的分離現(xiàn)象、邊界層的分離現(xiàn)象 對(duì)于順壓梯度區(qū)，壓力沿程減小，速度沿程增加。在壁面處，對(duì)于順壓梯度區(qū)

40、，壓力沿程減小，速度沿程增加。在壁面處，另一方面，在邊界層的外邊界上，有另一方面，在邊界層的外邊界上，有 由此說(shuō)明，在順壓梯度區(qū)，邊界層內(nèi)的速度沿由此說(shuō)明，在順壓梯度區(qū)，邊界層內(nèi)的速度沿y y方向是單調(diào)增加的，方向是單調(diào)增加的，分布曲線無(wú)拐點(diǎn)，是一條向外凸的光滑曲線，流動(dòng)是穩(wěn)定的。分布曲線無(wú)拐點(diǎn)，是一條向外凸的光滑曲線，流動(dòng)是穩(wěn)定的。5.55.5、邊界層的分離現(xiàn)象、邊界層的分離現(xiàn)象、邊界層的分離現(xiàn)象、邊界層的分離現(xiàn)象 對(duì)于逆壓梯度區(qū)（分離點(diǎn)前），壓力沿程增加，速度沿程減小。在對(duì)于逆壓梯度區(qū)（分離點(diǎn)前），壓力沿程增加，速度沿程減小。在壁面處，有壁面處，有 另一方面，在邊界層的外邊界上另一方面，在

41、邊界層的外邊界上 于是在邊界層內(nèi)于是在邊界層內(nèi) ，速度分布曲率從正變?yōu)樨?fù)，在某點(diǎn)處必然有，速度分布曲率從正變?yōu)樨?fù)，在某點(diǎn)處必然有 這一點(diǎn)是速度分布的拐點(diǎn)。拐點(diǎn)的出現(xiàn)改變了速度分布的形狀，在這一點(diǎn)是速度分布的拐點(diǎn)。拐點(diǎn)的出現(xiàn)改變了速度分布的形狀，在拐點(diǎn)以上為外凸型，在拐點(diǎn)以下為外凹型，存在拐點(diǎn)的速度分布型拐點(diǎn)以上為外凸型，在拐點(diǎn)以下為外凹型，存在拐點(diǎn)的速度分布型是不穩(wěn)定的。是不穩(wěn)定的。5.55.55.55.5、邊界層的分離現(xiàn)象、邊界層的分離現(xiàn)象、邊界層的分離現(xiàn)象、邊界層的分離現(xiàn)象 在最小壓力點(diǎn)處，有在最小壓力點(diǎn)處，有 說(shuō)明拐點(diǎn)在物面上，隨著流體質(zhì)點(diǎn)向下游流動(dòng)，拐點(diǎn)向外邊界移動(dòng)，說(shuō)明拐點(diǎn)在物面上，

42、隨著流體質(zhì)點(diǎn)向下游流動(dòng)，拐點(diǎn)向外邊界移動(dòng)，物面近區(qū)的速度分布愈來(lái)愈瘦小，但當(dāng)拐點(diǎn)移動(dòng)到某點(diǎn)時(shí)，物面處物面近區(qū)的速度分布愈來(lái)愈瘦小，但當(dāng)拐點(diǎn)移動(dòng)到某點(diǎn)時(shí)，物面處出現(xiàn)出現(xiàn) 該點(diǎn)稱為分離點(diǎn)。該點(diǎn)稱為分離點(diǎn)。5.55.55.55.5、邊界層的分離現(xiàn)象、邊界層的分離現(xiàn)象、邊界層的分離現(xiàn)象、邊界層的分離現(xiàn)象 在分離點(diǎn)下游區(qū)，有在分離點(diǎn)下游區(qū)，有 發(fā)生了回流，回流把主流推離壁面，邊界層假設(shè)失效。由上分析可見(jiàn)，發(fā)生了回流，回流把主流推離壁面，邊界層假設(shè)失效。由上分析可見(jiàn)，逆壓梯度愈大，邊界層分離愈靠前。邊界層分離后，流動(dòng)特征發(fā)生了逆壓梯度愈大，邊界層分離愈靠前。邊界層分離后，流動(dòng)特征發(fā)生了變化。如：變化。如：（1 1）從分離點(diǎn)不斷脫離出旋渦，在分離點(diǎn)下游形成不穩(wěn)定的旋渦區(qū)，）從分離點(diǎn)不斷脫離出旋渦，在分離點(diǎn)下游形成不穩(wěn)定的旋渦區(qū)，從而使得主流區(qū)由原來(lái)的無(wú)渦區(qū)變成有渦。從而使得主流區(qū)由原來(lái)的無(wú)渦區(qū)變成有渦。（2 2）物面上壓力分布由原來(lái)的幾乎對(duì)稱分布變成不對(duì)稱分布，在分離）物面上壓力分布由原來(lái)的幾乎對(duì)稱分布變成不對(duì)稱分布，在分離點(diǎn)后出現(xiàn)低壓區(qū)（或負(fù)壓區(qū)），從而大大增加了繞流物體的阻力。點(diǎn)后出現(xiàn)低壓區(qū)（或負(fù)壓區(qū)），從而大大增加了繞流物體的阻力。