【全程復(fù)習(xí)方略】（浙江專用）2013版高考數(shù)學(xué) 4.2參數(shù)方程配套課件 理 新人教A版選修4

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1、第 二 節(jié) 參 數(shù) 方 程 三 年 21考 高 考 指 數(shù) : 1.了 解 參 數(shù) 方 程 ， 了 解 參 數(shù) 的 意 義 ；2.能 選 擇 適 當(dāng) 的 參 數(shù) 寫 出 直 線 、 圓 和 橢 圓 的 參 數(shù) 方 程 . 1.直 線 、 圓 和 橢 圓 的 參 數(shù) 方 程 是 高 考 考 查 的 重 點(diǎn) ；2.利 用 參 數(shù) 方 程 解 決 最 大 值 、 最 小 值 等 問(wèn) 題 是 難 點(diǎn) ；3.高 考 多 以 解 答 題 的 形 式 考 查 屬 低 、 中 檔 題 . 1.參 數(shù) 方 程（ 1） 參 數(shù) 方 程 的 概 念一 般 地 ， 在 平 面 直 角 坐 標(biāo) 系 中 ， 如 果 曲

2、線 上 任 意 一 點(diǎn) 的 坐 標(biāo) x,y都 是 某 個(gè) 變 數(shù) t的 函 數(shù) ， 并 且 對(duì) 于 t的 每 一 個(gè) 允 許 值 ，由 這 個(gè) 方 程 組 所 確 定 的 點(diǎn) M(x,y)都 在 這 條 曲 線 上 ， 那 么 這 個(gè) 方 程組 就 叫 做 這 條 曲 線 的 參 數(shù) 方 程 ， 聯(lián) 系 變 數(shù) x,y的 變 數(shù) t叫做 ， 簡(jiǎn) 稱 .相 對(duì) 于 參 數(shù) 方 程 而 言 ， 直 接 給 出 點(diǎn) 的 坐 標(biāo) 間 關(guān) 系 的 方 程 F(x， y) 0叫 做 普 通 方 程 . x f(t)y g(t) 參 變 數(shù) 參 數(shù) （ 2） 參 數(shù) 方 程 與 普 通 方 程 的 互 化曲

3、 線 的 參 數(shù) 方 程 和 普 通 方 程 是 曲 線 方 程 的 不 同 形 式 ， 一 般 地 ，可 以 通 過(guò) 消 去 而 從 參 數(shù) 方 程 得 到 普 通 方 程 ， 如 果 知 道 變數(shù) x,y中 的 一 個(gè) 與 參 數(shù) t的 關(guān) 系 ， 例 如 x=f(t),把 它 代 入 普 通 方程 ， 求 出 另 一 個(gè) 變 數(shù) 與 參 數(shù) 的 關(guān) 系 y=g(t),那 么 就 是 曲線 的 參 數(shù) 方 程 .在 參 數(shù) 方 程 與 普 通 方 程 的 互 化 中 ， 必 須 使 x,y的 取值 范 圍 保 持 一 致 .參 數(shù) x f(t)y g(t) 【 即 時(shí) 應(yīng) 用 】(1)參

4、數(shù) 方 程 ( 為 參 數(shù) ,且 滿 足 0 )的 普 通 方程 為 _.(2)參 數(shù) 方 程 （ 為 參 數(shù) ,且 滿 足 ） 的 普 通方 程 為 _.x cos ,y sin . x cos ,y sin . 2 2 【 解 析 】 (1)參 數(shù) 方 程 （ 為 參 數(shù) ,且 滿 足 0 ）的 普 通 方 程 為 x2+y2=1(0 y 1),表 示 上 半 圓 .(2)參 數(shù) 方 程 （ 為 參 數(shù) ,且 滿 足 ） 的 普 通方 程 為 x2+y2=1(0 x 1),表 示 右 半 圓 .答 案 ： (1)x2+y2=1(0 y 1)(2)x2+y2=1(0 x 1). x cos

5、,y sin . x cos ,y sin . 2 2 2.直 線 、 圓 錐 曲 線 的 普 通 方 程 和 參 數(shù) 方 程軌 跡 普 通 方 程 參 數(shù) 方 程直線圓 (x-a) 2+(y-b)2=r2y-y0=tan (x-x0)( ， 點(diǎn) 斜 式 )2 （ t為 參 數(shù) ）x _,y _. 0y tsin 0 x tcos （ 為 參 數(shù) ）x _,y _. a rcos b rsin 軌 跡 普 通 方 程 參 數(shù) 方 程橢圓雙曲線 （ 為 參 數(shù) ）x _,y _. bsinacos（ 為 參 數(shù) ）x _,y _. asecbtan(a b 0)2 22 2x y 1a b (a

6、 0， b 0)2 22 2x y 1a b 軌 跡 普 通 方 程 參 數(shù) 方 程x _,y _. （ t為 參 數(shù) ， p 0）拋物線 y2 2px(p 0) 2pt22pt 【 即 時(shí) 應(yīng) 用 】判 斷 下 列 命 題 是 否 正 確 .（ 請(qǐng) 在 括 號(hào) 中 填 寫 “ ” 或 “ ” ）（ 1） 若 經(jīng) 過(guò) 點(diǎn) P0(x0， y0)， 傾 斜 角 是 的 直 線 l的 參 數(shù) 方 程 為 （ t為 參 數(shù) ） ， 則 直 線 的 斜 率 為 tan .( )(2)若 圓 的 參 數(shù) 方 程 為 （ 為 參 數(shù) ） ,則 圓 心 為(2,-1),半 徑 為 3. ( )00 x x t

7、cosy y tsin . ， x 2 3cosy 1 3sin 【 解 析 】 (1) 經(jīng) 過(guò) 點(diǎn) P0(x0， y0)， 傾 斜 角 是 的 直 線 l的 參 數(shù)方 程 為 即 （ t為 參 數(shù) ， t R） . 當(dāng) 傾 斜 角 時(shí) ， 直 線 的 斜 率 k=tan = ;當(dāng) 傾 斜 角 = 時(shí) ， 直 線 的 參 數(shù) 方 程 為 直 線 的 斜 率不 存 在 .所 以 (1)不 正 確 .00 x x tcos ,y y tsin 00 x x aty y bt 2 ba2 00 x xy y t ， (2)將 圓 的 參 數(shù) 方 程 （ 為 參 數(shù) ） 化 為 普 通 方 程為 (x

8、-2)2+(y+1)2=9,所 以 圓 心 為 (2,-1),半 徑 為 3.所 以 (2)正 確 .答 案 :(1) (2)x 2 3cos ,y 1 3sin . 參 數(shù) 方 程 化 為 普 通 方 程【 方 法 點(diǎn) 睛 】 參 數(shù) 方 程 與 普 通 方 程 互 化 的 方 法（ 1） 把 參 數(shù) 方 程 化 為 普 通 方 程 ， 需 要 根 據(jù) 其 結(jié) 構(gòu) 特 征 ， 選 取適 當(dāng) 的 消 參 方 法 常 見(jiàn) 的 消 參 方 法 有 ： 代 入 消 參 法 ； 加 減 消 參法 ； 平 方 和 (差 )消 參 法 ； 乘 法 消 參 法 等 （ 2） 把 曲 線 C的 普 通 方 程

9、 F(x， y) 0化 為 參 數(shù) 方 程 的 關(guān) 鍵 ： 一是 適 當(dāng) 選 取 參 數(shù) ； 二 是 確 保 互 化 前 后 方 程 的 等 價(jià) 性 【 例 1】 已 知 參 數(shù) 方 程 ： (1)若 t為 常 數(shù) ， 為 參 數(shù) ， 判 斷 方 程 表 示 什 么 曲 線 ？(2)若 為 常 數(shù) ， t為 參 數(shù) ， 方 程 表 示 什 么 曲 線 ？【 解 題 指 南 】 將 參 數(shù) 方 程 消 去 參 數(shù) 化 為 普 通 方 程 F(x,y)=0， 再判 斷 曲 線 形 狀 . 1x t sin t (t 0)1y t cos t （ ）（ ） 【 規(guī) 范 解 答 】 (1)當(dāng) t 1時(shí)

10、 ， 由 得 sin =由 得 cos = ( )2+( )2=1，它 表 示 中 心 在 原 點(diǎn) ， 長(zhǎng) 軸 長(zhǎng) 為 2|t+ |， 短 軸 長(zhǎng) 為 2|t |,焦點(diǎn) 在 x軸 上 的 橢 圓 ；當(dāng) t= 1時(shí) ， y=0， x= 2sin ,x 2,2 ,它 表 示 在 x軸 上 2,2 的 線 段 . x1t t ，y1t t ，x1t t y1t t 1t 1t (2)當(dāng) (k Z)時(shí) ， 由 得 =t+ ， 由 得 =t ， 平 方 相 減 得它 表 示 中 心 在 原 點(diǎn) ， 實(shí) 軸 長(zhǎng) 為 4|sin |， 虛 軸 長(zhǎng) 為 4|cos |，焦 點(diǎn) 在 x軸 上 的 雙 曲 線 ；

11、當(dāng) =k (k Z)時(shí) ， x=0， 它 表 示 y軸 ；當(dāng) =k + (k Z)時(shí) ， y=0， x= (t+ ).由 于 當(dāng) t 0時(shí) ， t+ 2； 當(dāng) t 0時(shí) ， t+ 2， 于 是 |x| 2. 方 程 y=0（ |x| 2） 表 示 x軸 上 以 （ 2， 0） 和 （ 2， 0） 為 端點(diǎn) 的 向 左 和 向 右 的 兩 條 射 線 k2 xsin 1t ycos1t 2 2 2 22 2 2 2x y x y4, 1sin cos 4sin 4cos 即 2 1t1t 1t 【 反 思 感 悟 】 化 參 數(shù) 方 程 為 普 通 方 程 ， 關(guān) 鍵 是 消 去 參 數(shù) ， 建

12、立 關(guān) 于 x,y的 二 元 方 程 F(x， y) 0， 常 用 的 消 參 數(shù) 公 式 有 ：（ 1） t =1； （ 2） sin2 +cos2 =1；（ 3） (t+ )2-(t- )2=4；（ 4） 1t 1t1t 22 22 22t 1 t 1.1 t 1 t （ ） （ ） 【 變 式 訓(xùn) 練 】(1)將 參 數(shù) 方 程 （ 為 參 數(shù) ， 且 0 2 ） 化為 普 通 方 程 ;(2)判 斷 參 數(shù) 方 程 （ a 0， b 0,t為 參數(shù) ） 表 示 的 曲 線 形 狀 . 222a 1 tx 1 t2bty 1 t （ ）x | cos sin |2 2y 2 1 sin

13、（ ） 【 解 析 】 (1)由 參 數(shù) 方 程 ,得 x2=1+sin =即 y=2x2.由 于且即 普 通 方 程 為 y=2x2,x 0, . 1 y,2x cos sin 2 sin( ) ,2 2 2 4 5 , x 0, 2 .4 2 4 4 2 (2)方 法 一 :將 參 數(shù) 方 程 化 為兩 式 相 加 ， 得 1(a 0， b 0).由 于 x=a(-1+ )， 故 x -a.當(dāng) a=b時(shí) ， 方 程 的 曲 線 為 圓 心 在 原 點(diǎn) ， 半 徑 為 a的 圓 ， 去 掉 點(diǎn)(-a,0)； 222a 1 tx 1 t2bty 1 t （ ） 2 2 22 22 22 2x

14、1 t( )a 1 ty 2t( )b 1 t ，2 22 2x ya b221 t 當(dāng) a b時(shí) ， 方 程 的 曲 線 為 中 心 在 原 點(diǎn) ， 焦 點(diǎn) 在 x軸 上 的 橢 圓 ，去 掉 點(diǎn) (-a,0)；當(dāng) a b時(shí) ， 方 程 的 曲 線 為 中 心 在 原 點(diǎn) ， 焦 點(diǎn) 在 y軸 上 的 橢 圓 ，去 掉 點(diǎn) (-a,0).方 法 二 :由 x= ， 得 t2= ， 代 入得當(dāng) a=b時(shí) ， 方 程 的 曲 線 為 圓 心 在 原 點(diǎn) ， 半 徑 為 a的 圓 ， 去 掉 點(diǎn)(-a,0)； 22a 1 t1 t（ ） a xa x 2 2 22 2y 4tb 1 t 2 2 2

15、 2 22 2 2 2 22a x4y y x x ya x 1 1 x a .a xb b a a b1 a x ， 即 ， （ ） 當(dāng) a b時(shí) ， 方 程 的 曲 線 為 中 心 在 原 點(diǎn) ， 焦 點(diǎn) 在 x軸 上 的 橢 圓 ，去 掉 點(diǎn) (-a,0);當(dāng) a b時(shí) ， 方 程 的 曲 線 為 中 心 在 原 點(diǎn) ， 焦 點(diǎn) 在 y軸 上 的 橢 圓 ，去 掉 點(diǎn) (-a,0). 【 變 式 備 選 】(1)已 知 曲 線 C的 參 數(shù) 方 程 為 （ t為 參 數(shù) ） ， 則 曲 線C的 普 通 方 程 為 _.【 解 析 】 x2=t+ -2, 所 以 曲 線 C的 普 通 方

16、程 為 y=3x2+6.答 案 ： y=3x2+6 1x t t1y 3 t .t ，（ ）1t2 1 yx 2 t ,t 3 (2)參 數(shù) 方 程 （ 為 參 數(shù) ， 且 0 2 ）的 普 通 方 程 為 _.【 解 析 】 由 參 數(shù) 方 程 ,得 x2=1+sin = y,即 y=2x2.由 于 x=|cos +sin |= |sin( + )|,且 + , x 0, .即 普 通 方 程 為 y=2x 2,x 0, .答 案 ： y=2x2,x 0, x | cos sin |2 2y 2(1 sin ) 122 2 2 424 2 4 542 22 圓 的 參 數(shù) 方 程【 方 法

17、點(diǎn) 睛 】 將 圓 的 普 通 方 程 化 為 參 數(shù) 方 程（ 1） 圓 x2+y2=r2的 參 數(shù) 方 程 為（ 2） 圓 (x-a)2+(y-b)2=r2的 參 數(shù) 方 程 為x rcos ,y rsin （ ） ；為 參 數(shù)x a rcos , .y b rsin （ ）為 參 數(shù) 【 提 醒 】 (1)參 數(shù) 的 幾 何 意 義 是 OM與 x軸 正 方 向 的 夾 角 ;(2)隨 著 選 取 的 參 數(shù) 不 同 ,參 數(shù) 方 程 形 式 也 有 不 同 ,但 表 示 的 曲 線是 相 同 的 ;(3)在 建 立 曲 線 的 參 數(shù) 方 程 時(shí) ,要 注 明 參 數(shù) 及 參 數(shù) 的

18、取 值 范 圍 . 【 例 2】 已 知 x、 y滿 足 x2+(y-1)2=1,求 ：（ 1） 3x+4y的 最 大 值 和 最 小 值 ；（ 2） (x-3)2+(y+3)2的 最 大 值 和 最 小 值 ;【 解 題 指 南 】 設(shè) 圓 的 參 數(shù) 方 程 ， 將 問(wèn) 題 轉(zhuǎn) 化 為 三 角 函 數(shù) 的 問(wèn) 題 解決 . 【 規(guī) 范 解 答 】 由 圓 的 普 通 方 程 x2+(y-1)2=1得 圓 的 參 數(shù) 方 程 為（ 1） 3x+4y=3cos +4sin +4=4+5sin( + ),其 中 tan = ,且 的 終 邊 過(guò) 點(diǎn) （ 4， 3） . -5 5sin( + )

19、5, -1 4+5sin( + ) 9. 3x+4y的 最 大 值 為 9， 最 小 值 為 -1. x cos , .y 1 sin 為 參 數(shù)34 （ 2） (x-3)2+(y+3)2=(cos -3)2+(sin +4)2=26+8sin -6cos =26+10sin( + ).其 中 tan =- ,且 的 終 邊 過(guò) 點(diǎn) （ 4,-3） . -10 10sin( + ) 10， 16 26+10sin( + ) 36, (x-3) 2+(y+3)2的 最 大 值 為 36， 最 小 值 為 16.34 【 反 思 感 悟 】 1.解 決 與 圓 有 關(guān) 的 最 大 值 和 最 小

20、值 問(wèn) 題 ， 常 常 設(shè)出 圓 的 參 數(shù) 方 程 ， 轉(zhuǎn) 化 為 求 三 角 函 數(shù) 的 最 大 值 和 最 小 值 問(wèn) 題 來(lái) 解決 .2.注 意 運(yùn) 用 三 角 恒 等 式 輔 助 角 公 式 求 最 值 ：asin +bcos = sin( + ).其 中 tan = (a 0),且 角 的 終 邊 過(guò) 點(diǎn) （ a,b） .2 2a bba 【 變 式 訓(xùn) 練 】 已 知 圓 的 極 坐 標(biāo) 方 程 為 ： 2- cos( - )+6=0（ 1） 將 極 坐 標(biāo) 方 程 化 為 普 通 方 程 ；（ 2） 若 點(diǎn) P(x,y)在 該 圓 上 ， 求 x+y的 最 大 值 和 最 小

21、值 .4 24 【 解 析 】 （ 1） 2-4 cos -4 sin +6=0.又 2=x2+y2,x= cos ,y= sin ， x2+y2-4x-4y+6=0.（ 2） 圓 的 圓 心 坐 標(biāo) 為 （ 2,2） ， 半 徑 為 設(shè) 圓 的 參 數(shù) 方 程 為則 x+y=4+2sin( + )，故 x+y的 最 大 值 為 6， 最 小 值 為 2.2 4 2 cos 6 04 （ ） ，r 2 ，x 2 2cos ,y 2 2sin , 4 直 線 、 圓 錐 曲 線 參 數(shù) 方 程 的 綜 合 問(wèn) 題【 方 法 點(diǎn) 睛 】1.直 線 的 參 數(shù) 方 程 中 參 數(shù) 的 幾 何 意 義

22、設(shè) e表 示 直 線 向 上 的 方 向 的 單 位 向 量 ， 如 圖 ， =te， 當(dāng) 參 數(shù) t 0時(shí) , 與 e方 向 相 同 ； 當(dāng) 參 數(shù) t 0時(shí) , 與 e方 向 相 反 .因 此 ,總 有 | |=|t|， 所 以 參 數(shù) t為 點(diǎn) M0(x0,y0)到 直 線 上 點(diǎn) M(x,y)的有 向 線 段 的 數(shù) 量 （ 即 方 向 +長(zhǎng) 度 ） ， 這 就 是 參 數(shù) t的 幾 何 意義 0M M 0M M0M M0M M 0M M 2.直 線 參 數(shù) 方 程 的 常 用 公 式根 據(jù) 直 線 的 參 數(shù) 方 程 中 t的 幾 何 意 義 ， 有 以 下 結(jié) 論 :（ 1） 設(shè)

23、A、 B是 直 線 上 任 意 兩 點(diǎn) ， 它 們 對(duì) 應(yīng) 的 參 數(shù) 分 別 為 tA和 tB，則|AB|=|tB-tA|=（ 2） 線 段 AB的 中 點(diǎn) 所 對(duì) 應(yīng) 的 參 數(shù) 值 等 于 2A B A Bt t 4t t . A Bt t2 【 例 3】 已 知 直 線 l的 參 數(shù) 方 程 為曲 線 C的 極 坐 標(biāo) 方 程 是 = ， 以 極 點(diǎn) 為 原 點(diǎn) ， 極軸 為 x軸 正 半 軸 建 立 直 角 坐 標(biāo) 系 ， 點(diǎn) M(-1,0)， 直 線 l與 曲 線 C交于 A、 B兩 點(diǎn) (1)求 直 線 l的 極 坐 標(biāo) 方 程 與 曲 線 C的 直 角 坐 標(biāo) 方 程 ；(2)

24、線 段 MA， MB長(zhǎng) 度 分 別 記 為 |MA|， |MB|， 求 |MA| |MB|的 值 2x 1 t2 t2y t2 （ ） ，為 參 數(shù)2sin1 sin 【 解 題 指 南 】 （ 1） 將 直 線 的 參 數(shù) 方 程 化 為 普 通 方 程 ， 再 化 為極 坐 標(biāo) 方 程 ， 將 曲 線 的 極 坐 標(biāo) 方 程 利 用 公 式化 為 直 角 坐 標(biāo) 方 程 ；（ 2） 將 直 線 的 參 數(shù) 方 程 代 入 曲 線 的 普 通 方 程 ， 利 用 直 線 的 參數(shù) 方 程 的 幾 何 意 義 以 及 一 元 二 次 方 程 的 根 與 系 數(shù) 的 關(guān) 系 計(jì) 算 .x cos

25、y sin 【 規(guī) 范 解 答 】 （ 1） 直 線 l： 的 直 角 坐 標(biāo) 方程 為 x-y+1=0，所 以 直 線 l的 極 坐 標(biāo) 方 程 為 ： cos（ + ） =-1，曲 線 C： = 即 （ cos ） 2= sin ，所 以 曲 線 的 直 角 坐 標(biāo) 方 程 為 y=x2. 2x 1 t2 t2y t2 （ ）為 參 數(shù)2 42sin1 sin （ 2） 由 于 直 線 l與 曲 線 C交 于 A、 B兩 點(diǎn) ，將 代 入 y=x2， 得 t2-3 t+2=0， 設(shè) A、 B兩 點(diǎn) 對(duì) 應(yīng)的 參 數(shù) 分 別 為 t1， t2， 由 一 元 二 次 方 程 的 根 與 系 數(shù)

26、 的 關(guān) 系 ， 得t1t2=2， |MA| |MB|=|t 1t2|=2.2x 1 t22y t2 2 【 反 思 感 悟 】 利 用 直 線 的 參 數(shù) 方 程 研 究 直 線 與 圓 錐 曲 線 的 位置 關(guān) 系 以 及 弦 長(zhǎng) 計(jì) 算 ， 可 以 使 問(wèn) 題 簡(jiǎn) 便 ,方 法 是 ： 把 l： （ t為 參 數(shù) ） 代 入 圓 錐 曲 線 C： F（ x， y） =0,消 去x,y得 到 關(guān) 于 t的 一 元 二 次 方 程 at2+bt+c=0（ a 0） ， 其 中 =b2-4ac.00 x x tcosy y tsin 當(dāng) 0時(shí) ， l與 C有 兩 個(gè) 公 共 點(diǎn) ； 此 時(shí) 方

27、 程 at2+bt+c=0有 兩 個(gè)不 同 的 實(shí) 根 t1、 t2， 把 參 數(shù) t1、 t2代 入 l的 參 數(shù) 方 程 ， 即 可 求 得 l與 C的 兩 個(gè) 交 點(diǎn) M1、 M2的 坐 標(biāo) . 【 變 式 訓(xùn) 練 】 （ 2011 福 建 高 考 ） 在 直 角 坐 標(biāo) 系 xOy中 ， 直 線 l的 方 程 為 x y 4=0， 曲 線 C的 參 數(shù) 方 程 為 （ 為 參數(shù) ） .（ 1） 已 知 在 極 坐 標(biāo) 系 （ 與 直 角 坐 標(biāo) 系 xOy取 相 同 的 長(zhǎng) 度 單 位 ，且 以 原 點(diǎn) O為 極 點(diǎn) ， 以 x軸 正 半 軸 為 極 軸 ） 中 ， 點(diǎn) P的 極 坐

28、標(biāo) 為（ 4， ） ， 判 斷 點(diǎn) P與 直 線 l的 位 置 關(guān) 系 ；（ 2） 設(shè) 點(diǎn) Q是 曲 線 C上 的 一 個(gè) 動(dòng) 點(diǎn) ， 求 它 到 直 線 l的 距 離 的 最 小值 . x 3cosy sin 2 【 解 析 】 （ 1） 把 極 坐 標(biāo) 系 下 的 P（ 4， ） 化 為 直 角 坐 標(biāo) ，得 P（ 0,4） ,顯 然 點(diǎn) P的 直 角 坐 標(biāo) （ 0,4） 滿 足 直 線 l的 方 程x y 4=0， 所 以 點(diǎn) P在 直 線 l上 .（ 2） 因 為 點(diǎn) Q在 曲 線 C上 ， 故 可 設(shè) 點(diǎn) Q的 坐 標(biāo) 為 ( cos ,sin ).從 而 點(diǎn) Q到 直 線 l的 距 離 為由 此 得 ， 當(dāng) cos( + )=-1時(shí) ， d min= . 2 32cos 43cos sin 4 6d 2cos 2 262 2 （ ） （ ） ，6 2