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1、一、兩向量的數(shù)量積一、兩向量的數(shù)量積二、兩向量的向量積二、兩向量的向量積8.2 數(shù)量積 向量積*混合積 第八八章 簡單介紹定義簡單介紹定義及計算及計算.一、兩向量的數(shù)量積二、兩向量的向量積8.2 數(shù)量積 向量積1一、兩向量的數(shù)量積一、兩向量的數(shù)量積1.定義定義 設(shè)向量設(shè)向量的夾角為的夾角為 ,稱稱 記作記作數(shù)量積數(shù)量積(點積點積).在物理學(xué)中在物理學(xué)中,一、兩向量的數(shù)量積1.定義設(shè)向量的夾角為,稱 記作數(shù)量2記作記作故故2.性質(zhì)性質(zhì)為兩個非零向量為兩個非零向量,則有則有 記作故2.性質(zhì)為兩個非零向量,則有3記作記作2.性質(zhì)性質(zhì)(1)向量在數(shù)軸上的投影向量在數(shù)軸上的投影(簡介簡介)x同理可定義向
2、量在同理可定義向量在y,z軸上的投影軸上的投影(2)記作2.性質(zhì)(1)向量在數(shù)軸上的投影(簡介)x同理可定義向43.點積的運算律點積的運算律(1)交換交換律律(2)結(jié)合律結(jié)合律(3)分配律分配律事實上事實上,當(dāng)當(dāng)時時,顯然成立顯然成立;3.點積的運算律(1)交換律(2)結(jié)合律(3)5例例1.證明三角形余弦定理證明三角形余弦定理證證:則則如圖如圖.設(shè)設(shè)例1.證明三角形余弦定理證:則如圖.設(shè)64.數(shù)量積的坐標(biāo)表示數(shù)量積的坐標(biāo)表示!設(shè)設(shè)則則當(dāng)當(dāng)為非零向量時為非零向量時,由于由于兩向量的夾角公式兩向量的夾角公式,得得4.數(shù)量積的坐標(biāo)表示!設(shè)則當(dāng)為非零向量時,由于兩向量7例例2.已知三點已知三點 AMB
3、.解解:則則求求故故例2.已知三點 AMB.解:則求故8為為 ).求單位時間內(nèi)流過該平面域的流體的質(zhì)量求單位時間內(nèi)流過該平面域的流體的質(zhì)量P(流體密度流體密度例例3.設(shè)均勻流速為設(shè)均勻流速為的流體流過一個面積為的流體流過一個面積為 A 的平的平面域面域,與該平面域的單位垂直向量與該平面域的單位垂直向量解解:單位時間內(nèi)流過的體積單位時間內(nèi)流過的體積的夾角為的夾角為且且為單位向量為單位向量為 ).求單位時間內(nèi)流過該平面域的流體的質(zhì)量P(流體9二、兩向量的向量積二、兩向量的向量積引例引例.設(shè)設(shè)O 為杠桿為杠桿L 的支點的支點,有一個與杠桿夾角為有一個與杠桿夾角為符合右手規(guī)則符合右手規(guī)則矩是一個向量矩
4、是一個向量 M:的力的力 F 作用在杠桿的作用在杠桿的 P點上點上,則力則力 F 作用在杠桿上的力作用在杠桿上的力二、兩向量的向量積引例.設(shè)O 為杠桿L 的支點,有一個與101.定義定義定義定義向量向量方向方向:(叉積叉積)記作記作且符合右手規(guī)則且符合右手規(guī)則模模:向量積向量積,稱稱引例中的力矩引例中的力矩右圖三角形面積右圖三角形面積S1.定義定義向量方向:(叉積)記作且符合右手規(guī)則模:向112.性質(zhì)性質(zhì)為非零向量為非零向量,則則3.運算律運算律(2)分配律分配律(3)結(jié)合律結(jié)合律(證明略證明略)證明證明:(交換律不成立交換律不成立!)2.性質(zhì)為非零向量,則3.運算律(2)分配律(3124.向
5、量積的坐標(biāo)表示式向量積的坐標(biāo)表示式!設(shè)則4.向量積的坐標(biāo)表示式!設(shè)則13向量積的行列式計算法向量積的行列式計算法向量積的行列式計算法14例例4.已知三點已知三點角形角形 ABC 的面積的面積 解解:如圖所示如圖所示,求三求三例4.已知三點角形 ABC 的面積 解:如圖所示,求15*三、向量的混合積三、向量的混合積(簡介簡介)1.定義定義 已知三向量已知三向量稱數(shù)量稱數(shù)量混合積混合積.記作記作*三、向量的混合積(簡介)1.定義已知三向量稱數(shù)量混合積16內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)設(shè)設(shè)1.向量運算向量運算加減加減:數(shù)乘數(shù)乘:點積點積:叉積叉積:內(nèi)容小結(jié)設(shè)1.向量運算加減:數(shù)乘:點積:叉積:17混合積混合積:2.向量關(guān)系向量關(guān)系:混合積:2.向量關(guān)系:18思考與練習(xí)思考與練習(xí)設(shè)設(shè)計算計算并求并求夾角夾角 的正弦與余弦的正弦與余弦.答案答案:思考與練習(xí)設(shè)計算并求夾角 的正弦與余弦.答案:19 作業(yè)作業(yè)（不交，課下練習(xí)（不交，課下練習(xí)）P22 3,4,6,7,9,10,12 作業(yè)（不交，課下練習(xí)）20
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