《特征值與特征向量》課件

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1、特征值與特征向量特征值與特征向量特征值與特征向量特征值與特征向量選修選修選修選修4 4 4 42 2 2 2 矩陣與變換矩陣與變換矩陣與變換矩陣與變換 28 四月 2024【探究探究】1 1、計(jì)算下列結(jié)果：、計(jì)算下列結(jié)果：以上的計(jì)算結(jié)果與以上的計(jì)算結(jié)果與 的關(guān)系是怎樣的？的關(guān)系是怎樣的？2 2、計(jì)算下列結(jié)果：、計(jì)算下列結(jié)果：以上的計(jì)算結(jié)果與以上的計(jì)算結(jié)果與 的關(guān)系是怎樣的？的關(guān)系是怎樣的？【探究】以上的計(jì)算結(jié)果與【探究】以上的計(jì)算結(jié)果與 的關(guān)系是怎樣的的關(guān)系是怎樣的選修選修選修選修4 4 4 42 2 2 2 矩陣與變換矩陣與變換矩陣與變換矩陣與變換 28 四月 2024例題分析例題分析例題分

2、析例題分析選修選修選修選修4 4 4 42 2 2 2 矩陣與變換矩陣與變換矩陣與變換矩陣與變換 28 四月 2024特征值及特征向量的定義特征值及特征向量的定義l l為矩陣為矩陣M的特征值的特征值,為矩陣為矩陣M的屬于特征的屬于特征值值 的特征向量。的特征向量。特征值及特征向量的定義特征值及特征向量的定義l為矩陣為矩陣M的特征值的特征值,為矩陣為矩陣M的屬于特的屬于特選修選修選修選修4 4 4 42 2 2 2 矩陣與變換矩陣與變換矩陣與變換矩陣與變換 28 四月 2024建構(gòu)數(shù)學(xué)建構(gòu)數(shù)學(xué)設(shè)矩陣設(shè)矩陣A ，如果對(duì)于實(shí)數(shù)，如果對(duì)于實(shí)數(shù)l l，存在一個(gè)存在一個(gè)非零向量非零向量aa，使得，使得Aa

3、a=l laa，則稱，則稱l l是矩陣是矩陣A的一的一個(gè)個(gè)特征值特征值。aa是矩陣是矩陣A的屬于特征值的屬于特征值l l的一個(gè)的一個(gè)特征向量特征向量。從幾何上看，特征向量的方向經(jīng)過變換矩從幾何上看，特征向量的方向經(jīng)過變換矩陣陣A的作用后，保持在同一條直線上。的作用后，保持在同一條直線上。這時(shí)，特征向量或者這時(shí)，特征向量或者方向不變方向不變(l l0)，或者或者方向相反方向相反(l l0).特別地，當(dāng)特別地，當(dāng)l l=0時(shí)，特征向量被變換成了時(shí)，特征向量被變換成了0向量向量.建構(gòu)數(shù)學(xué)設(shè)矩陣建構(gòu)數(shù)學(xué)設(shè)矩陣A ，如果對(duì)于實(shí)數(shù)，如果對(duì)于實(shí)數(shù)l，存在一個(gè)非零向，存在一個(gè)非零向選修選修選修選修4 4 4

4、42 2 2 2 矩陣與變換矩陣與變換矩陣與變換矩陣與變換 28 四月 2024一般地，設(shè)一般地，設(shè) 為矩陣為矩陣A的屬于特征值的一個(gè)特征的屬于特征值的一個(gè)特征向量，則對(duì)于任意的非零常數(shù)向量，則對(duì)于任意的非零常數(shù)k，也是矩陣也是矩陣A的的屬于特征值的特征向量。屬于特征值的特征向量。例例 試從幾何直觀上，利用線性變換求矩陣試從幾何直觀上，利用線性變換求矩陣A=的特征值與特征向量。的特征值與特征向量。其幾何意義是什么？其幾何意義是什么？屬于矩陣的同一個(gè)特征值的特征向量屬于矩陣的同一個(gè)特征值的特征向量共線共線.屬于矩陣的不同特征值的特征向量屬于矩陣的不同特征值的特征向量不共線不共線。屬于矩陣的不同特

5、征值的特征向量有何關(guān)系？屬于矩陣的不同特征值的特征向量有何關(guān)系？思考：思考：一般地，設(shè)一般地，設(shè) 為矩陣為矩陣A的屬于特征值的一個(gè)特征例的屬于特征值的一個(gè)特征例 試從幾何直觀試從幾何直觀選修選修選修選修4 4 4 42 2 2 2 矩陣與變換矩陣與變換矩陣與變換矩陣與變換 28 四月 2024 設(shè)設(shè)l l是矩陣是矩陣A=的一個(gè)特征值，它的一個(gè)的一個(gè)特征值，它的一個(gè)特征向量為特征向量為則則即即 滿足方程組滿足方程組故故該方程組有非零解的充要條件是它的系數(shù)矩陣的行列式該方程組有非零解的充要條件是它的系數(shù)矩陣的行列式 =0記記 ，則，則解此方程，求得解此方程，求得 的值，代入方程組求得相應(yīng)的的值，代

6、入方程組求得相應(yīng)的y的值，便可得到屬于該的值，便可得到屬于該特征值的一個(gè)特征向量。特征值的一個(gè)特征向量。設(shè)設(shè)l是矩陣是矩陣A=的一個(gè)特征值，它的的一個(gè)特征值，它的選修選修選修選修4 4 4 42 2 2 2 矩陣與變換矩陣與變換矩陣與變換矩陣與變換 28 四月 2024建構(gòu)數(shù)學(xué)建構(gòu)數(shù)學(xué)設(shè)矩陣設(shè)矩陣A ，l l R，我們把行列式我們把行列式分析表明，如果分析表明，如果l l是矩陣是矩陣A A的特征值，則的特征值，則f(l)=0(l)=0此時(shí)，將此時(shí)，將l l代入方程組代入方程組(*)(*)，得到一組非零解，得到一組非零解即即 為矩陣為矩陣A的屬于的屬于l l的一個(gè)特征向量的一個(gè)特征向量.稱為稱為

7、A的的特征多項(xiàng)式特征多項(xiàng)式。0稱為矩陣稱為矩陣A的特征方程。的特征方程。建構(gòu)數(shù)學(xué)設(shè)矩陣建構(gòu)數(shù)學(xué)設(shè)矩陣A ，lR，我們把行列式分析表明，我們把行列式分析表明，選修選修選修選修4 4 4 42 2 2 2 矩陣與變換矩陣與變換矩陣與變換矩陣與變換 28 四月 2024數(shù)學(xué)運(yùn)用數(shù)學(xué)運(yùn)用例例1、求出矩陣、求出矩陣A=的特征值和特征向量的特征值和特征向量總結(jié)總結(jié)求二階矩陣特征值與特征向量的求二階矩陣特征值與特征向量的步驟步驟：數(shù)學(xué)運(yùn)用例數(shù)學(xué)運(yùn)用例1、求出矩陣、求出矩陣A=的特征的特征選修選修選修選修4 4 4 42 2 2 2 矩陣與變換矩陣與變換矩陣與變換矩陣與變換 28 四月 2024特征值與特征向

8、量課件特征值與特征向量課件選修選修選修選修4 4 4 42 2 2 2 矩陣與變換矩陣與變換矩陣與變換矩陣與變換 28 四月 2024知識(shí)回顧知識(shí)回顧知識(shí)回顧知識(shí)回顧選修選修選修選修4 4 4 42 2 2 2 矩陣與變換矩陣與變換矩陣與變換矩陣與變換 28 四月 20242、探究：、探究：試計(jì)算試計(jì)算新課講解新課講解2、探究：試計(jì)算新課講解、探究：試計(jì)算新課講解選修選修選修選修4 4 4 42 2 2 2 矩陣與變換矩陣與變換矩陣與變換矩陣與變換 28 四月 2024建構(gòu)數(shù)學(xué)建構(gòu)數(shù)學(xué)建構(gòu)數(shù)學(xué)建構(gòu)數(shù)學(xué)選修選修選修選修4 4 4 42 2 2 2 矩陣與變換矩陣與變換矩陣與變換矩陣與變換 28 四月 2024建構(gòu)數(shù)學(xué)建構(gòu)數(shù)學(xué)任意向量都可以用特征向量來表示。任意向量都可以用特征向量來表示。建構(gòu)數(shù)學(xué)任意向量都可以用特征向量來表示。建構(gòu)數(shù)學(xué)任意向量都可以用特征向量來表示。選修選修選修選修4 4 4 42 2 2 2 矩陣與變換矩陣與變換矩陣與變換矩陣與變換 28 四月 2024數(shù)學(xué)運(yùn)用數(shù)學(xué)運(yùn)用數(shù)學(xué)運(yùn)用數(shù)學(xué)運(yùn)用