高三數(shù)學二輪復習 第1部分 專題6 突破點17 函數(shù)與方程用書 理-人教高三數(shù)學試題

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1、突破點17函數(shù)與方程提煉1函數(shù)yf(x)零點個數(shù)的判斷(1)代數(shù)法：求方程f(x)0的實數(shù)根(2)幾何法：對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)yf(x)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質找出零點(3)定理法：利用函數(shù)零點的存在性定理，即如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)f(b)0，那么，函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內有零點.提煉2已知函數(shù)零點個數(shù)，求參數(shù)的值或取值范圍已知函數(shù)零點個數(shù)，求參數(shù)的值或取值范圍問題，一般利用數(shù)形結合轉化為兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題要注意觀察是否需要將一個復雜函數(shù)轉化為兩個相對較為簡單的函數(shù)，常轉化為定曲線與動直線問題回訪1

2、函數(shù)零點個數(shù)的判斷1(2015湖北高考)函數(shù)f(x)2sin xsinx2的零點個數(shù)為_2f(x)2sin xsinx22sin xcos xx2sin 2xx2，由f(x)0，得sin 2xx2.設y1sin 2x，y2x2，在同一平面直角坐標系中畫出二者的圖象，如圖所示由圖象知，兩個函數(shù)圖象有兩個交點，故函數(shù)f(x)有兩個零點2(2014福建高考)函數(shù)f(x)的零點個數(shù)是_2當x0時，令x220，解得x(正根舍去)，所以在(，0上有一個零點當x0時，f(x)20恒成立，所以f(x)在(0，)上是增函數(shù)又因為f(2)2ln 20，f(2)f(3)0，所以f(x)在(2,3)內有一個零點綜上，

3、函數(shù)f(x)的零點個數(shù)為2.回訪2已知函數(shù)零點個數(shù)，求參數(shù)的值或取值范圍3(2015湖南高考)若函數(shù)f(x)|2x2|b有兩個零點，則實數(shù)b的取值范圍是_(0,2)由f(x)|2x2|b0得|2x2|b.在同一平面直角坐標系中畫出y|2x2|與yb的圖象，如圖所示，則當0b2時，兩函數(shù)圖象有兩個交點，從而函數(shù)f(x)|2x2|b有兩個零點4(2014天津高考)已知函數(shù)f(x)若函數(shù)yf(x)a|x|恰有4個零點，則實數(shù)a的取值范圍為_1a2畫出函數(shù)f(x)的圖象如圖所示函數(shù)yf(x)a|x|有4個零點，即函數(shù)y1a|x|的圖象與函數(shù)f(x)的圖象有4個交點(根據(jù)圖象知需a0)當a2時，函數(shù)f(

4、x)的圖象與函數(shù)y1a|x|的圖象有3個交點故a2.當y1a|x|(x0)與y|x25x4|相切時，在整個定義域內，f(x)的圖象與y1a|x|的圖象有5個交點，此時，由得x2(5a)x40.由0得(5a)2160，解得a1，或a9(舍去)，則當1a2時，兩個函數(shù)圖象有4個交點故實數(shù)a的取值范圍是1a2.熱點題型1函數(shù)零點個數(shù)的判斷題型分析：函數(shù)零點個數(shù)的判斷常與函數(shù)的奇偶性、對稱性、單調性相結合命題，難度中等偏難.(1)(2016秦皇島模擬)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：圖象關于(1,0)點對稱；f(1x)f(1x)；當x1,1時，f(x)則函數(shù)yf(x)|x|在區(qū)間3,3上的零點個數(shù)為

5、() A5B6C7D8(2)(2016鄭州二模)已知定義在R上的奇函數(shù)yf(x)的圖象關于直線x1對稱，當0x1時，f(x)logx，則方程f(x)10在(0,6)內的零點之和為() 【導學號：85952062】A8B10 C12D16(1)A(2)C(1)因為f(1x)f(1x)，所以函數(shù)f(x)的圖象關于直線x1對稱，又函數(shù)f(x)的圖象關于點(1,0)對稱，如圖所示，畫出f(x)以及g(x)|x|在3,3上的圖象，由圖可知，兩函數(shù)圖象的交點個數(shù)為5，所以函數(shù)yf(x)|x|在區(qū)間3,3上的零點個數(shù)為5，故選A.(2)因為函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，所以當1x0時，f(x)f(x)l

6、og(x)，又因為函數(shù)f(x)的圖象關于直線x1對稱，所以函數(shù)f(x)的圖象的對稱軸為x2k1，kZ，在平面直角坐標系內畫出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示，由圖易得直線y1與函數(shù)f(x)的圖象在(0,6)內有四個交點，且分別關于直線x1和x5對稱，所以方程f(x)10在(0,6)內的零點之和為212512，故選C.求解此類函數(shù)零點個數(shù)的問題時，通常把它轉化為求兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題來解決函數(shù)F(x)f(x)g(x)的零點就是方程f(x)g(x)的實數(shù)根，也就是函數(shù)yg(x)的圖象與函數(shù)yf(x)的圖象交點的橫坐標其解題的關鍵步驟為：分解為兩個簡單函數(shù)；在同一坐標系內作出這兩個函數(shù)的圖象；數(shù)

7、交點的個數(shù)，即原函數(shù)的零點的個數(shù)提醒：在畫函數(shù)圖象時，切忌隨手一畫，注意“草圖不草”，畫圖時應注意基本初等函數(shù)圖象的應用，以及函數(shù)性質(如單調性、奇偶性、對稱性等)的適時運用，可加快畫圖速度，從而將問題簡化變式訓練1(1)(2016合肥二模)定義在R上的奇函數(shù)f(x)，當x0時，f(x)則關于x的函數(shù)F(x)f(x)a(0a1)的零點個數(shù)為()A2B3 C4D5(2)已知函數(shù)f(x)cos x，g(x)2|x2|，x2,6，則函數(shù)h(x)f(x)g(x)的所有零點之和為()A6B8 C10D12(1)D(2)D(1)在同一坐標系中畫出函數(shù)yf(x)和ya(0a1)的圖象，如圖所示：兩圖象共有5

8、個交點，所以F(x)有5個零點(2)函數(shù)h(x)f(x)g(x)的零點之和可轉化為f(x)g(x)的根之和，即轉化為y1f(x)和y2g(x)兩個函數(shù)圖象的交點的橫坐標之和又由函數(shù)g(x)2|x2|與f(x)的圖象均關于x2對稱，可知函數(shù)h(x)的零點之和為12.熱點題型2已知函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍題型分析：已知函數(shù)的零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，主要考查學生的數(shù)形結合思想和分類討論思想，對學生的畫圖能力有較高要求.(1)(2016重慶模擬)已知函數(shù)f(x)且g(x)f(x)mxm在(1,1內有且僅有兩個不同的零點，則實數(shù)m的取值范圍是() A.B.C.D.(2)(名師押題)已知函數(shù)f(x

9、)g(x)kx1(xR)，若函數(shù)yf(x)g(x)在x2,3內有4個零點，則實數(shù)k的取值范圍是()A. B(2，)C. D(2，4(1)A(2)C(1)令g(x)0，則f(x)m(x1)，故函數(shù)g(x)在(1,1內有且僅有兩個不同的零點等價于函數(shù)yf(x)的圖象與直線ym(x1)有且僅有兩個不同的交點函數(shù)f(x)的圖象如圖中實線所示易求kAB，kAC2，過A(1,0)作曲線的切線，不妨設切線方程為yk(x1)，由得kx2(2k3)x2k0，則(2k3)24k(2k)0，解得k.故實數(shù)m的取值范圍為.(2)當x0時，顯然有f(x)g(x)，即x0不是yf(x)g(x)的零點當x0時，yf(x)g

10、(x)在x2,3內的零點個數(shù)即方程f(x)g(x)(2x3)的實根的個數(shù)當0x3時，有kx1x23，即kx；當2x0時，有kx114xcos x，即k4cos x.則yf(x)g(x)(2x3)的零點個數(shù)等價于函數(shù)yk與y的圖象的交點個數(shù)，作出這兩個函數(shù)的圖象，如圖所示，由圖知2k，故選C.求解此類逆向問題的關鍵有以下幾點：一是將原函數(shù)的零點個數(shù)問題轉化為方程根的個數(shù)問題，并進行適當化簡、整理；二是構造新的函數(shù)，把方程根的個數(shù)問題轉化為新構造的兩個函數(shù)的圖象交點個數(shù)問題；三是對新構造的函數(shù)進行畫圖；四是觀察圖象，得參數(shù)的取值范圍提醒：把函數(shù)零點轉化為方程的根，在構造兩個新函數(shù)的過程中，一般是構

11、造圖象易得的函數(shù)，最好有一條是直線，這樣在判斷參數(shù)的取值范圍時可快速準確地得到結果變式訓練2(1)(2016湖北七校聯(lián)考)已知f(x)是奇函數(shù)并且是R上的單調函數(shù)，若函數(shù)yf(2x21)f(x)只有一個零點，則實數(shù)的值是() 【導學號：85952063】A. BC D(2)(2016汕頭一模)設函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的函數(shù)，且對任意的實數(shù)x，恒有f(x)f(x)0，當x1,0時，f(x)x2，若g(x)f(x)logax在x(0，)上有且僅有三個零點，則a的取值范圍為()A3,5 B4,6C(3,5) D(4,6)(1)C(2)C(1)令yf(2x21)f(x)0，且f(x)是奇函數(shù)，則f(2x21)f(x)f(x)，又因為f(x)是R上的單調函數(shù)，所以2x21x只有一個零點，即2x2x10只有一個零點，則18(1)0，解得，故選C.(2)因為f(x)f(x)0，所以f(x)f(x)，所以f(x)是偶函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的周期性和奇偶性作出f(x)的圖象如圖所示：因為g(x)f(x)logax在x(0，)上有且僅有三個零點，所以yf(x)和ylogax的圖象在(0，)上只有三個交點，所以解得3a5.