龍格庫塔方法基本原理ppt課件

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1、在連續(xù)系統(tǒng)的仿真中，主要的計(jì)算工作是求解一階微分方程在連續(xù)系統(tǒng)的仿真中，主要的計(jì)算工作是求解一階微分方程 y=f(x,y)y（x0）=y0解析法只能用來求解一些特殊類型的方程，實(shí)際仿真問題中歸解析法只能用來求解一些特殊類型的方程，實(shí)際仿真問題中歸結(jié)出來的微分方程主要靠數(shù)值解法。結(jié)出來的微分方程主要靠數(shù)值解法。在連續(xù)系統(tǒng)的仿真中，主要的計(jì)算工作是求解一階微分方程 由于實(shí)際運(yùn)算只能完成有限項(xiàng)或有限步運(yùn)算，因此要將有些需用極限或無窮過程進(jìn)行的運(yùn)算有限化，對無窮過程進(jìn)行截?cái)?，這樣產(chǎn)生的誤差成為截?cái)嗾`差。根據(jù)實(shí)際情況建立的數(shù)學(xué)模型往往難以求解。通常需要通過近似替代，將所求解的數(shù)學(xué)模型簡化為易求解的數(shù)值計(jì)

2、算問題后再進(jìn)行求解。數(shù)學(xué)模型的理論解與數(shù)值計(jì)算問題的精確解之間的誤差稱為截?cái)嗾`差。這是計(jì)算方法本身帶來的誤差，所以也成為方法誤差。由于實(shí)際運(yùn)算只能完成有限項(xiàng)或有限步運(yùn)算，因此要將有些需用極限2024/5/283得到高精度方法的一個直接想法是利用Taylor展開假設(shè)式 y=f(x,y)(axb)中的 f(x,y)充分光滑,將y(xi+1)在x i點(diǎn)作Taylor展開，若取右端不同的有限項(xiàng)作為y(xi+1)的近似值，就可得到計(jì)算y(xi+1)的各種不同截?cái)嗾`差的數(shù)值公式。例如：取前兩項(xiàng)可得到例如：取前兩項(xiàng)可得到2023/8/53得到高精度方法的一個直接想法是利用Tayl2024/5/284其中P階

3、泰勒方法若取前三項(xiàng)，可得到截?cái)嗾`差為若取前三項(xiàng)，可得到截?cái)嗾`差為O(h3)的公式的公式 類似地，若取前類似地，若取前P+1項(xiàng)作為項(xiàng)作為y(xi+1)的近似值，便得到的近似值，便得到2023/8/54其中P階泰勒方法若取前三項(xiàng)，可得到截?cái)嗾`差2024/5/285顯然p=1時,y i+1=y i+hf(xi,y i)它即為我們熟悉的Euler方法。當(dāng)p2時,要利用泰勒方法就需要計(jì)算f(x,y)的高階微商。這個計(jì)算量是很大的，尤其當(dāng)f(x,y)較復(fù)雜時，其高階導(dǎo)數(shù)會很復(fù)雜。因此，利用泰勒公式構(gòu)造高階公式是不實(shí)用的。但是泰勒級數(shù)展開法的基本思想是許多數(shù)值方法的基礎(chǔ)。R-K方法不是直接使用Taylor級

4、數(shù),而是利用它的思想2023/8/55顯然p=1時,R-K方法不是直接使用Tay2024/5/286龍格龍格-庫塔庫塔(R-K)法的基本思想法的基本思想Euler公式可改寫成 則yi+1的表達(dá)式與y(xi+1)的Taylor展開式的前兩項(xiàng)完全相同,即局部截?cái)嗾`差局部截?cái)嗾`差為O(h2)。Runge-Kutta 方法是一種高精度的單步法方法是一種高精度的單步法,簡稱簡稱R-K法法2023/8/56龍格-庫塔(R-K)法的基本思想Euler2024/5/287同理，改進(jìn)Euler公式可改寫成 上述兩組公式在形式上共同點(diǎn):都是用f(x,y)在某些點(diǎn)上值的線性組合得出y(xi+1)的近似值yi+1,且

5、增加計(jì)算的次數(shù)f(x,y)的次數(shù),可提高截?cái)嗾`差的階。如歐拉法:每步計(jì)算一次f(x,y)的值,為一階方法。改進(jìn)歐拉法需計(jì)算兩次f(x,y)的值，為二階方法。局部截?cái)嗾`差局部截?cái)嗾`差為O(h3)2023/8/57同理，改進(jìn)Euler公式可改寫成 2024/5/288 于是可考慮用函數(shù)f(x,y)在若干點(diǎn)上的函數(shù)值的線性組合來構(gòu)造近似公式，構(gòu)造時要求近似公式在(xi,yi)處的Taylor展開式與解y(x)在xi處的Taylor展開式的前面幾項(xiàng)重合，從而使近似公式達(dá)到所需要的階數(shù)。既避免求高階導(dǎo)數(shù),又提高了計(jì)算方法精度的階數(shù)?；蛘哒f,在xi,xi+1這一步內(nèi)多計(jì)算幾個點(diǎn)的斜率值，然后將其進(jìn)行加權(quán)平

6、均作為平均斜率，則可構(gòu)造出更高精度的計(jì)算格式，這就是龍格龍格庫塔庫塔（Runge-Kutta）法的基本思想法的基本思想。2023/8/58 于是可考慮用函數(shù)f(x,y)在若干一般龍格庫塔方法的形式為2024/5/289其中ai,bij,ci為待定參數(shù)，要求上式y(tǒng)i+1在點(diǎn)(xi,yi)處作Tailor展開，通過相同項(xiàng)的系數(shù)確定參數(shù)。稱為P階龍格庫塔方法。一般龍格庫塔方法的形式為2023/8/59其中ai,bij10Runge-Kutta方法的推導(dǎo)思想對于常微分方程的初值問題的解y=y(x)，在區(qū)間xi,xi+1上使用微分中值定理，有即2024/5/2810Runge-Kutta方法的推導(dǎo)思想對

7、于常微分方程的初值11引入記號就可得到相應(yīng)的Runge-Kutta方法2024/5/2811引入記號就可得到相應(yīng)的Runge-Kutta方法202312如下圖即則上式化為即Euler方法Euler方法也稱為一階一階Runge-Kutta方法方法2024/5/2812如下圖即則上式化為即Euler方法Euler方法也稱為一二階龍格二階龍格庫塔法庫塔法 在xi,xi+1上取兩點(diǎn)xi和xi+a2=xi+a2h,以該兩點(diǎn)處的斜率值K1和K2的加權(quán)平均(或稱為線性組合)來求取平均斜率k*的近似值K，即 式中:K1 1為xi點(diǎn)處的切線斜率值 K1=hf(xi,yi)=hy(xi)K2 2為xi+a2h點(diǎn)處

8、的切線斜率值,比照改進(jìn)的歐拉法,將xi+a2視為xi+1，即可得 2024/5/2813確定系數(shù) c1、c2、a2、b21，可得到有2階精度的算法格式二階龍格庫塔法式中:K1為xi點(diǎn)處的切線斜率值 K1=h2024/5/2814因此 將y(xi+1)在x=xi處進(jìn)行Taylor展開：將 在x=xi處進(jìn)行Taylor展開：2023/8/514因此 將y(xi+1)在x=xi處進(jìn)行T2024/5/2815K1=hf(xi,yi)2023/8/515K1=hf(xi,yi)2024/5/2816這里有這里有 4 個未知個未知數(shù)，數(shù)，3 個方程。個方程。存在無窮多個解無窮多個解。所有滿足上式的格式統(tǒng)稱

9、為2階階龍格龍格 -庫塔格式庫塔格式。令 對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等，得到 2023/8/516這里有 4 個未知數(shù)，3 個方程。存在無2024/5/2817注意到，注意到，就是二階就是二階龍格龍格 -庫塔庫塔公式，也就是公式，也就是改進(jìn)的歐拉法。改進(jìn)的歐拉法。因此，凡滿足條件式有一簇形如上式的計(jì)算格式，這些格式統(tǒng)稱為二階龍格庫塔格式。因此改進(jìn)的歐拉格式是眾多的二階龍格庫塔法中的一種特殊格式。2023/8/517注意到，若取若取 ，就是另一種形式的二，就是另一種形式的二階階龍格龍格 -庫塔公式庫塔公式。2024/5/2818此計(jì)算公式稱為變形的二階龍格庫塔法。式中 為區(qū)間 的中點(diǎn)。也稱中點(diǎn)公式也稱中點(diǎn)公

10、式。Q:為獲得更高的精度，應(yīng)該如何進(jìn)一步推廣？為獲得更高的精度，應(yīng)該如何進(jìn)一步推廣？若取 ，就是另一2024/5/2819 二級R-K方法是顯式單步式,每前進(jìn)一步需要計(jì)算兩個函數(shù)值。由上面的討論可知,適當(dāng)選擇四個參數(shù)c1,c2,a2,b21，可使每步計(jì)算兩次函數(shù)值的二階R-K方法達(dá)到二階精度。能否在計(jì)算函數(shù)值次數(shù)不變的情況下,通過選擇不同的參數(shù)值,使得二階R-K方法的精度再提高呢?答案是否定的！無論四個參數(shù)怎樣選擇,都不能使公式的局部截?cái)嗾`差提高到三階。這說明每一步計(jì)算兩個函數(shù)值的二階R-K方法最高階為二階。若若要要獲獲得得更更高高階階得得數(shù)數(shù)值值方方法法,就就必必須須增增加加計(jì)計(jì)算算函函數(shù)值

11、的次數(shù)。數(shù)值的次數(shù)。2023/8/519 二級R-K方法是顯式單步式,每前進(jìn)三階龍格三階龍格庫塔法庫塔法2024/5/2820 為進(jìn)一步提高精度，在區(qū)間xi,xi+1上除兩點(diǎn)xi和xi+a2=xi+a2h,以外，再增加一點(diǎn)xi+a3=xi+a3h，用這三點(diǎn)處的斜率值K1、K2和K3的加權(quán)平均得出平均斜率K*的近似值K，這時計(jì)算格式具有形式:三階龍格庫塔法2023/8/520 為進(jìn)一步提2024/5/2821 同理推導(dǎo)二階公式，將y(xi+1)和yi+1在x=xi處進(jìn)行Taylor展開，使局部截?cái)嗾`差達(dá)到O(h4)，使對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等，得到系數(shù)方程組：2023/8/521 同理推導(dǎo)二階公式，將y

12、(xi+1參數(shù)的選擇不唯一，從而構(gòu)成一類不同的三階R-K公式，下面給出一種常用的三階R-K公式，形似simpson公式：2024/5/2822參數(shù)的選擇不唯一，從而構(gòu)成一類不同的三階R-K公式，下面給出2024/5/2823四階四階(經(jīng)典經(jīng)典)龍格龍格庫塔法庫塔法 如果需要再提高精度，用類似上述的處理方法，只需在區(qū)間xi,xi+1上用四個點(diǎn)處的斜率加權(quán)平均作為平均斜率K*的近似值，構(gòu)成一系列四階龍格庫塔公式。具有四階精度，即局部截?cái)嗾`差是O(h5)。推導(dǎo)過程與前面類似，由于過程復(fù)雜，這里從略，只介紹最常用的一種四階經(jīng)典龍格四階經(jīng)典龍格庫塔公式庫塔公式。2023/8/523四階(經(jīng)典)龍格庫塔法

13、 如果需要2024/5/2824 K1=hf(xi,yi)K2=hf(xi+a2h,yi+b21K1)K3=hf(xi+a3h,yi+b31K1+b32K2)K4=hf(xi+a4h,yi+b41K1+b42K2+b43K3)其中c1、c2、c3、c4、a2、a3、a4、b21、b31、b32、b41、b42、b43均為待定系數(shù)。這里K1、K2、K3、K4為四個不同點(diǎn)上的函數(shù)值，分別設(shè)其為 設(shè)yi+1=yi+c1K1+c2K2+c3K3+c4K42023/8/524 K1=hf 2024/5/2825 類似于前面的討論，把K2、K3、K4分別在xi點(diǎn)展成h的冪級數(shù)，代入線性組合式中，將得到的公

14、式與y(xi+1)在xi點(diǎn)上的泰勒展開式比較，使其兩式右端直到h4的系數(shù)相等，經(jīng)過較復(fù)雜的解方程過程便可得到關(guān)于ci，ai，bij的一組特解 a2=a3=b21=b32=1/2 b31=b41=b42=0 a4=b43=1 c1=c4=1/6 c2=c3=1/3 2023/8/525 類似于前面的討論，把K226 四階(經(jīng)典)Runge-Kutta方法2024/5/2826四階(經(jīng)典)Runge-Kutta方法2023/8/527例1.使用高階R-K方法計(jì)算初值問題解:(1)使用三階R-K方法2024/5/2827例1.使用高階R-K方法計(jì)算初值問題解:(1)使28其余結(jié)果如下:(2)如果使用

15、四階R-K方法 i xi k1 k2 k3 yi 1.0000 0.1000 0.1000 0.1103 0.1256 1.1111 2.0000 0.2000 0.1235 0.1376 0.1595 1.2499 3.0000 0.3000 0.1562 0.1764 0.2092 1.4284 4.0000 0.4000 0.2040 0.2342 0.2866 1.6664 5.0000 0.5000 0.2777 0.3259 0.4163 1.99932024/5/2828其余結(jié)果如下:(2)如果使用四階R-K方法 29其余結(jié)果如下:i xi k1 k2 k3 k4 yi 1.00

16、00 0.1000 0.1000 0.1103 0.1113 0.1235 1.1111 2.0000 0.2000 0.1235 0.1376 0.1392 0.1563 1.2500 3.0000 0.3000 0.1562 0.1764 0.1791 0.2042 1.4286 4.0000 0.4000 0.2040 0.2342 0.2389 0.2781 1.6667 5.0000 0.5000 0.2777 0.3259 0.3348 0.4006 2.00002024/5/2829其余結(jié)果如下:i 【例】已知一階系統(tǒng)的微分方程為：，初始條件 ，取仿真步長h=0.1，分別用歐拉法

17、、梯形法和龍格庫塔法計(jì)算該系統(tǒng)仿真第一步的值。解：原方程可變?yōu)?即 數(shù)值積分公式應(yīng)用數(shù)值積分公式應(yīng)用 解：原方程可變?yōu)?即 數(shù)值積分公式應(yīng)用 （1）用歐拉法計(jì)算 根據(jù)歐拉公式，將函數(shù)表達(dá)式及其初始值代入后，可得該系統(tǒng)仿真第一步的值：數(shù)值積分公式應(yīng)用數(shù)值積分公式應(yīng)用 （1）用歐拉法計(jì)算數(shù)值積分公式應(yīng)用（2）用梯形法計(jì)算：根據(jù)預(yù)報(bào)校正公式，將函數(shù)表達(dá)式及其初始值代入后，可得仿真第一步的值。用預(yù)報(bào)公式求起始值：數(shù)值積分公式應(yīng)用數(shù)值積分公式應(yīng)用（2）用梯形法計(jì)算：數(shù)值積分公式應(yīng)用 再用校正公式得到系統(tǒng)仿真第一步的值：數(shù)值積分公式應(yīng)用數(shù)值積分公式應(yīng)用 再用校正公式得到系統(tǒng)仿真第一步的值：數(shù)值積分公式應(yīng)用

18、 二階龍格二階龍格-庫塔公式庫塔公式二階龍格-庫塔公式（3）用二階龍格庫塔法計(jì)算 根據(jù)公式先計(jì)算出兩個系數(shù)，再計(jì)算仿真第一步的值：數(shù)值積分公式應(yīng)用數(shù)值積分公式應(yīng)用（3）用二階龍格庫塔法計(jì)算數(shù)值積分公式應(yīng)用 則系統(tǒng)仿真第一步的值為：數(shù)值積分公式應(yīng)用數(shù)值積分公式應(yīng)用 則系統(tǒng)仿真第一步的值為：數(shù)值積分公式應(yīng)用 四階龍格四階龍格庫塔（庫塔（RungeKutta）法）法四階龍格庫塔（RungeKutta）法（4）用四階龍格庫塔公式計(jì)算根據(jù)公式先計(jì)算出4個系數(shù)，再計(jì)算仿真第一步的值：數(shù)值積分公式應(yīng)用數(shù)值積分公式應(yīng)用（4）用四階龍格庫塔公式計(jì)算數(shù)值積分公式應(yīng)用 數(shù)值積分公式應(yīng)用數(shù)值積分公式應(yīng)用 數(shù)值積分公式

19、應(yīng)用 則系統(tǒng)仿真第一步的值為：數(shù)值積分公式應(yīng)用數(shù)值積分公式應(yīng)用 則系統(tǒng)仿真第一步的值為：數(shù)值積分公式應(yīng)用 從上述結(jié)果可以看出從上述結(jié)果可以看出:對對于于同同一一個個系系統(tǒng)統(tǒng)進(jìn)進(jìn)行行仿仿真真計(jì)計(jì)算算時時，其其值值的的精精度度是是隨隨著著數(shù)數(shù)值值積積分分公公式式的的變變化化而而改改變變的的，其其中中歐歐拉拉法法計(jì)計(jì)算算精精度度最最低低，其其次次為為梯梯形形法法和和二二階階龍龍格格庫庫塔塔法法，四四階階龍龍格格庫塔法計(jì)算精度最高。庫塔法計(jì)算精度最高。數(shù)值積分公式應(yīng)用數(shù)值積分公式應(yīng)用 例例2：用：用matlab演示演示從上述結(jié)果可以看出:數(shù)值積分公式應(yīng)用 例2：用matlab演龍格龍格-庫塔法的誤差估

20、計(jì)庫塔法的誤差估計(jì) 一個高精度的仿真方法必須將步長控制作為手段。一個高精度的仿真方法必須將步長控制作為手段。實(shí)現(xiàn)步長控制涉及局部誤差估計(jì)和步長控制策略兩實(shí)現(xiàn)步長控制涉及局部誤差估計(jì)和步長控制策略兩方面的問題。方面的問題。龍格-庫塔法的誤差估計(jì) 一個高精度的仿真方法必須將步長龍格龍格-庫塔法的誤差估計(jì)庫塔法的誤差估計(jì)RK方法的誤差估計(jì)通常是設(shè)法找一個低一階的方法的誤差估計(jì)通常是設(shè)法找一個低一階的RK公式，將公式，將兩個公式計(jì)算結(jié)果之差作為估計(jì)誤差。例如兩個公式計(jì)算結(jié)果之差作為估計(jì)誤差。例如Runge-Kutta-Fehlberg法的計(jì)算公式是法的計(jì)算公式是 RKF1-2公式公式用另一個一階公式用

21、另一個一階公式來估計(jì)誤差來估計(jì)誤差龍格-庫塔法的誤差估計(jì)RK方法的誤差估計(jì)通常是設(shè)法找一個低一龍格龍格-庫塔法的誤差估計(jì)庫塔法的誤差估計(jì)RKM3-4公式：誤差估計(jì)式用公式：誤差估計(jì)式用3 階，計(jì)算公式為階，計(jì)算公式為4 階。階。RKM3-4公式公式誤差估計(jì)公式誤差估計(jì)公式龍格-庫塔法的誤差估計(jì)RKM3-4公式：誤差估計(jì)式用3 階，龍格龍格-庫塔法的步長控制庫塔法的步長控制 龍格龍格-庫塔法的誤差估計(jì)和步長控制策略的基本思想庫塔法的誤差估計(jì)和步長控制策略的基本思想是：每積分一步都設(shè)法估計(jì)出本步的積分誤差是：每積分一步都設(shè)法估計(jì)出本步的積分誤差en，然后判斷是否滿足允許誤差然后判斷是否滿足允許誤差

22、E，據(jù)此選擇相應(yīng)的步，據(jù)此選擇相應(yīng)的步長控制策略。長控制策略。每一步的局部誤差通常取以下形式每一步的局部誤差通常取以下形式 en=En/(|yn|+1)其中其中|yn|是利用誤差估計(jì)式計(jì)算出的本步的估計(jì)誤差。是利用誤差估計(jì)式計(jì)算出的本步的估計(jì)誤差。當(dāng)當(dāng)|yn|較大時，較大時，en是相對誤差，當(dāng)是相對誤差，當(dāng)|yn|較小時，較小時，en 是絕對誤差。這樣作的目的是避免當(dāng)是絕對誤差。這樣作的目的是避免當(dāng)y 的值很小時，的值很小時，en變得過大。變得過大。龍格-庫塔法的步長控制 仿真模型的運(yùn)行速度與實(shí)際系統(tǒng)運(yùn)行速度一致，稱為實(shí)時仿真。一般方法難以滿足實(shí)時仿真的需要：所得模型的執(zhí)行速度較慢；機(jī)理也不符

23、合實(shí)時仿真的需要。假設(shè)對一般形式的系統(tǒng)進(jìn)行仿真：以RK-2為例進(jìn)行分析，其公式為 實(shí)時仿真仿真模型的運(yùn)行速度與實(shí)際系統(tǒng)運(yùn)行速度一致，稱為實(shí)時仿真 假定在h/2的時間內(nèi)計(jì)算機(jī)剛好計(jì)算一次右端函數(shù)f,則計(jì)算分為兩步：1 在tk時刻利用當(dāng)前的un、yn計(jì)算K1；2 在tn+h/2時刻計(jì)算K2,此時un+1無法得到，但實(shí)時仿真除了要滿足執(zhí)行速度的要求外，還要求實(shí)時接收外部輸入，并實(shí)時得到輸出。?假定在h/2的時間內(nèi)計(jì)算機(jī)剛好計(jì)算一次右端函數(shù)f,則計(jì) 此種情況下，解決的方法有兩個：對un+1進(jìn)行預(yù)報(bào)（增大仿真誤差）或仿真延遲半個計(jì)算步距。后者的計(jì)算流程如下 可見，后種方法的輸出也會延遲半個計(jì)算步距，為了

24、克服這個缺陷，人們提出了如下形式的實(shí)時二階RK法圖圖 RK-2 2的計(jì)算流程的計(jì)算流程 此種情況下，解決的方法有兩個：對un+1進(jìn)行預(yù)報(bào)（增大仿 實(shí)時RK-2公式：其計(jì)算流程：假定在h/2的時間內(nèi)計(jì)算機(jī)也剛好計(jì)算一次右端函數(shù)f,則計(jì)算也分為兩步：1 在tn時刻利用當(dāng)前的un、yn計(jì)算K1；2 在tn+h/2時刻計(jì)算K2,此時un+1/2可以得到，不會引入新的誤差，可實(shí)時得到y(tǒng)n+1圖圖 實(shí)時實(shí)時RK-2RK-2公式計(jì)算流程公式計(jì)算流程 實(shí)時RK-2公式：其計(jì)算流程：假定在h/2的時間內(nèi)計(jì)算龍格庫塔方法基本原理ppt課件2024/5/2851由上節(jié)分析常微分方程數(shù)值解法穩(wěn)定性問題的方法，可得到各

25、階Runge-Kutta公式的穩(wěn)定性條件：二階二階與歐拉預(yù)估校正公式一致三階三階四階四階龍格庫塔方法的穩(wěn)定性條件龍格庫塔方法的穩(wěn)定性條件2023/8/551由上節(jié)分析常微分方程數(shù)值解法穩(wěn)定性問題的2024/5/2852 龍格庫塔方法的推導(dǎo)基于Taylor展開方法，因而它要求所求的解具有較好的光滑性。如果解的光滑性差，那么，使用四階龍格庫塔方法求得的數(shù)值解，其精度可能反而不如改進(jìn)的歐拉方法。在實(shí)際計(jì)算時，應(yīng)當(dāng)針對問題的具體特點(diǎn)選擇合適的算法。對于光滑性不太好的解，最好采用對于光滑性不太好的解，最好采用低階算法低階算法而將步長而將步長h 取小取小。2023/8/552 龍格庫塔方法的推導(dǎo)基于Tay

26、l2024/5/2853 前面已經(jīng)看到,二階、四階R-K方法可分別達(dá)到最高階數(shù)2 2階、4 4階，但是N階R-K方法的最高階卻不一定是N階。R-K方法的級數(shù)表示公式中計(jì)算函數(shù)值f 的次數(shù)。Butcher于1965年給出了R-K方法計(jì)算函數(shù)值f 的次數(shù)與可達(dá)到的最高精度階數(shù)之間的關(guān)系表，如下：由表可見，四級以下R-K的方法其最高階數(shù)與計(jì)算f 的次數(shù)一致，對m階R-K公式，當(dāng)m4，雖然計(jì)算f 的次數(shù)增加，但是方法階數(shù)不一定增加。因此四階R-K公式是應(yīng)用最為廣泛的公式。753可達(dá)到的最高精度可達(dá)到的最高精度642每步須算每步須算Ki 的個數(shù)的個數(shù)2023/8/553 前面已經(jīng)看到,二階、四階R-K方2024/5/2854 順便指出，當(dāng)常微分方程中的f(t,u)與u無關(guān)時，常微分方程初值問題便簡化為計(jì)算定積分的問題。這時，第一節(jié)介紹的Euler方法就是求定積分的矩形公式，改進(jìn)的Euler方法就是求定積分的梯形公式，而三階Runge-Kutta公式就是計(jì)算定積分的Simpson公式，它們的精度也是一致的。2023/8/554 順便指出，當(dāng)常微分方程中的f(