《數(shù)字信號(hào)處理》第三版課后答案

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1、 西安電子 ( 高西全丁美玉第三版 ) 數(shù)字信號(hào)處理課后答案 1.2 教材第一章習(xí)題解答 1. 用單位脈沖序列 (n) 及其加權(quán)和表示 題 1 圖所示的序列。解： x( n)(n 4) 2 (n 2) ( n 1) 2 (n) (n 1) 2 (n 2) 4 ( n 3) 0.5 (n 4) 2 (n 6) 2n 5, 4 n 1 2. 給定信號(hào)： x( n) 6,0 n 4 0, 其它 （1）畫出 x(

2、n) 序列的波形，標(biāo)上各序列的值； （2）試用延遲單位脈沖序列及其加權(quán)和表示 x(n) 序列； （3）令 x1( n) 2 x(n 2) ，試畫出 x1( n) 波形； （ 4）令 x2 (n) 2x(n 2) ，試畫出 x2 (n) 波形； （ 5）令 x3 (n) 2x(2 n) ，試畫出 x3 (n) 波形。 解： （ 1） x(n) 的波形如 題 2 解圖（一） 所示。 （ 2） x( n) 3 ( n 4) (n 3) (n 2) 3 (n 1) 6 (n) 6 (n 1) 6 ( n 2) 6

3、(n 3) 6 (n 4) （ 3） x1 (n) 的波形是 x(n) 的波形右移 2 位，在乘以 2，畫出圖形如 題 2 解圖（二） 所示。 （ 4） x2 (n) 的波形是 x(n) 的波形左移 2 位，在乘以 2，畫出圖形如 題 2 解圖（三） 所示。 （ 5）畫 x3 (n) 時(shí)，先畫 x(-n) 的波形，然后再右移 2 位， x3 ( n) 波形如 題 2 解圖（四） 所 示。 3. 判斷下面的序列是否是周期的，若是周期的，確定其周期。 （1） x( n) Acos(3 n ) ，A 是常數(shù)； 7 8 （2

4、） x( n) j ( 1 n ) e 8 。 解： 1 3 2 14 T=14 ； （1） w , ，這是有理數(shù)，因此是周期序列，周期是 7 w 3 1 2 16 ，這是無(wú)理數(shù)，因此是非周期序列。 （2） w, w 8 5. 設(shè)系統(tǒng)分別用下面的差分方程描述， x(n) 與 y(n) 分別表示系統(tǒng)輸入和輸出， 判斷系統(tǒng)是 否是線性非時(shí)變的。 （1） y( n) x(n) 2x(n 1

5、) 3x( n 2) ； （3） y( n) x(n n0 ) ， n0 為整常數(shù)； （5） y( n) x2 (n) ； n （7） y( n) x(m) 。 m 0 解： （1）令：輸入為 x(n n0 ) ，輸出為 y (n) x(n n ) 2 x(n n 1) 3x( n n 2) 0 0 0 y(n n0 ) x( n n0 ) 2x(n n0 1) 3x(n n0 2) y ( n) 故該系統(tǒng)是時(shí)不變系統(tǒng)。

6、 y(n) T[ax1 (n) bx2 (n)] ax1 (n) bx2 (n) 2(ax1 (n 1) bx2 (n 1)) 3(ax1(n 2) bx2 (n 2)) T[ ax1( n)] ax1( n) 2ax1( n 1) 3ax1 (n 2) T [bx2 (n)] bx2 (n) 2bx2 (n 1) 3bx2 (n 2) T[ ax1(n) bx2 ( n)] aT[ x1 (n)] bT[ x2 (n)] 故該系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。 （3

7、）這是一個(gè)延時(shí)器，延時(shí)器是一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)，下面予以證明。 令輸入為 x(n n1) ，輸出為 y (n) x(n n1 n0 ) ，因?yàn)? y(n n1 ) x(n n1 n0 ) y (n) 故延時(shí)器是一個(gè)時(shí)不變系統(tǒng)。又因?yàn)? T [ ax1( n) bx2 (n)] ax1 (n n0 ) bx2 ( n n0 ) aT [ x1( n)] bT [ x2 (n)] 故延時(shí)器是線性系統(tǒng)。 （5） y(n) x2 ( n) 2 令：輸入為 x(n n0 ) ，輸出為 y (n) x2

8、(n n0 ) ，因?yàn)? y( n n0 ) x2 (n n0 ) y (n) 故系統(tǒng)是時(shí)不變系統(tǒng)。又因?yàn)? T [ax1 (n) bx2 ( n)] (ax1 (n) bx2 ( n))2 aT[ x1 (n)] bT[ x2 (n)] ax12 ( n) bx22 (n) 因此系統(tǒng)是非線性系統(tǒng)。 n （7） y(n) x( m) m 0 令：輸入為 x(n n0 ) ，輸出為 y (n) n x(

9、m n0 ) ，因?yàn)? m 0 n n0 y ( n) y(n n0 ) x( m) m 0 故該系統(tǒng)是時(shí)變系統(tǒng)。又因?yàn)? n T[ ax1 (n) bx2 (n)] (ax1( m) bx2 (m)) aT [ x1 (n)] bT [ x2 (n)] m 0 故系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。 6. 給定下述系統(tǒng)的差分方程，試判斷系統(tǒng)是否是因果穩(wěn)定系統(tǒng)，并說(shuō)明理由。 1 N 1 （1） y( n) x(n k) ；

10、N k 0 n n0 （3） y( n) x(k ) ； k n n0 （ 5） y( n) ex(n ) 。 解： （1）只要 N 1 ，該系統(tǒng)就是因果系統(tǒng)，因?yàn)檩敵鲋慌c n 時(shí)刻的和 n 時(shí)刻以前的輸入有關(guān)。 如果 x(n) M ，則 y(n) M ，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。 （3）如果 x( n) M ， y(n) n n0 x(k ) 2n0 1 M ，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。系統(tǒng)是非因 k n n0 果的，

11、因?yàn)檩敵鲞€和 x(n) 的將來(lái)值有關(guān) . （ 5 ）系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，因?yàn)橄到y(tǒng)的輸出不取決于 x(n) 的未來(lái)值。如果 x(n) M ，則 y(n) ex( n ) ex (n) eM ，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 3 7. 設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)h(n) 和輸入序列 x(n) 如題 7 圖所示，要求畫出輸出輸 出 y( n) 的波形。 解： 解法（ 1） :采用圖解法 y( n) x(n) h( n) x(m)h(n m)

12、 m 0 圖解法的過(guò)程如 題 7 解圖 所示。 解法（ 2） :采用解析法。按照 題 7 圖寫出 x(n) 和 h(n)的表達(dá)式 : x(n) (n 2) (n 1) 2 ( n 3) h(n) 2 (n) (n 1) 1 (n 2) 2 x(n)* (n) x( n) 因?yàn)? A (n k ) Ax(n k) x(n)* y( n) x(n)*[

13、2 ( n) (n 1) 1 (n 2)] 所以 2 1 x( n 2 x(n) x( n 1) 2) 2 將 x(n) 的表達(dá)式代入上式，得到 y( n)2 (n 2) (n 1) 0.5 (n) 2 (n 1) (n 2) 4.5 (n 3) 2 (n 4) (n 5) 8. 設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)h(n) 和輸入 x

14、(n) 分別有以下三種情況， 分別求出輸出 y(n) 。 （1） h(n) R4 (n), x(n) R5 (n) ； （2） h( n) 2R4 (n), x(n) (n) (n 2) ； （3） h(n) 0.5n u(n), xn R5 (n) 。 解： （1） y( n) x(n)* h( n) R4 (m)R5 (n m) m 先確定求和域，由 R4 (m) 和 R5 (n m) 確定對(duì)于 m 的非零區(qū)間如下： 0

15、 m 3, n 4 m n 4 根據(jù)非零區(qū)間，將 n 分成四種情況求解： ① n 0, y(n) 0 n ② 0 n 3, y( n) 1 n 1 m 0 3 ③ 4 n 7, y(n) 1 8 n m n 4 ④ 7 n, y(n) 0 最后結(jié)果為 0, n 0, n 7 y( n) n 1, 0 n 3 8 n, 4 n 7 y(n) 的波形如 題 8

16、解圖（一） 所示。 （ 2） y(n) 2R4 (n)*[ ( n) (n 2)] 2R4 (n) 2R4 (n 2) 2[ (n) (n 1) ( n 4) ( n 5)] y(n) 的波形如 題 8 解圖（二） 所示 . （ 3） y( n) x(n)* h( n) R5 (m)0.5n mu(n m) 0.5n R5 (m)0.5 m u(n m) m m y(n) 對(duì)于 m 的非零區(qū)間為 0 m 4, m n 。

17、 ① n 0, y(n) 0 n n 1 ② 0 n 4, y( n) 0.5n 0.5 m 1 0.5 1 0.5n (1 0.5 n 1)0.5n 2 0.5n m 0 1 0.5 4 1 0.5 5 ③ 5 n, y( n) 0.5n 0.5 m 1 0.5n 31 0.5n m 0 1 0.5 最后寫

18、成統(tǒng)一表達(dá)式： y( n) (2 0.5n )R5 (n) 31 0.5n u(n 5) 11. 設(shè)系統(tǒng)由下面差分方程描述： y(n) 1 y(n 1) x(n) 1 x( n 1)； 2 2 設(shè)系統(tǒng)是因果的，利用遞推法求系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)。 5 解： 令： x(n) ( n)

19、 h(n) 1 h(n 1) (n) 1 (n 1) 2 2 n 0,h(0) 1 h( 1) (0) 1 1) 1 2 ( 2 n 1,h(1) 1 h(0) (1) 1 (0) 1

20、 2 2 n 2,h(2) 1 h(1) 1 2 2 n 3, h(3) 1 h(2) ( 1 )2 2 2 歸納起來(lái)，結(jié)果為

21、 h(n) ( 1 )n 1 u(n 1) (n) 2 12. 有一連續(xù)信號(hào) xa (t ) cos(2 ft ), 式中， f 20Hz, 2 （1）求出 xa (t ) 的周期。 （2）用采樣間隔 T 0.02s 對(duì) ( ) 進(jìn)行采樣，試寫出采樣

22、信號(hào) x%(t) 的表達(dá)式。 xa t a 3 ）畫出對(duì)應(yīng) % ) （ ( 的時(shí)域離散信號(hào) (序列 ) x( n) 的波形，并求出 x(n) 的周期。 xa t ————第二章———— 教材第二章習(xí)題解答 1. 設(shè) X ( ejw ) 和 Y(ejw )

23、分別是 x( n) 和 y(n) 的傅里葉變換，試求下面序列的傅里葉變換：（1） x(n n0 ) ； （2） x( n) ； （3） x(n) y(n) ； （4） x(2 n) 。 解： （1） FT [ x( n n0 )] x( n n0 )e jwn n 6 令 n n n0 ,n n n0 ，則 FT [ x(n n0 )] jw( n n ) jwn jw n x(n

24、)e 0 e 0 X (e ) jwn （2） FT [ x* (n)] x* (n)e [ x(n)ejwn ]* X * (e jw ) n n （3） FT [ x( n)] x( n)e jwn n 令 n n ，則 jwn FT [ x(

25、 n)] x( n )e X (e jw ) n （4） FT [ x(n)* y(n)] X (e jw )Y(e jw ) 證明： x(n)* y( n) x(m) y(n m) m FT [ x(n)* y(n)] [ x(m) y(n m)] e jwn n m 令 k=n-m ，則 FT [ x(n)* y(n)] [ x(m) y( k)]e jwk e jwn k m y

26、(k)e jwk x(m) e jwn k m X (ejw )Y(e jw ) 1, w w0 2. 已知 X (e jw ) 0, w0 w 求 X (ejw ) 的傅里葉反變換 x(n) 。 解： x( n) 1 e jwn dw sin w0 n w0 2 w0 n 3. 線性時(shí)不變系統(tǒng)的頻率響應(yīng) (傳輸函數(shù) ) H (e jw ) H (ejw ) ej ( w) , 如果單位脈沖響應(yīng) h(n) 為實(shí)序列，試證明輸入 x(n) A cos(w0n

27、 ) 的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為 y( n) A H (ejw ) cos[w0n (w0 )] 。 7 解： 假設(shè)輸入信號(hào) x(n) ejw0 n ，系統(tǒng)單位脈沖相應(yīng)為 h(n)，系統(tǒng)輸出為 jw 0 n y( n ) h ( n )* x (n ) h( m ) e jw 0 ( n m ) e jw 0 n h ( m ) e jw 0 m H ( e jw 0 )e m

28、 m 上式說(shuō)明， 當(dāng)輸入信號(hào)為復(fù)指數(shù)序列時(shí)， 輸出序列仍是復(fù)指數(shù)序列，且頻率相同， 但幅度和 相位決定于網(wǎng)絡(luò)傳輸函數(shù)，利用該性質(zhì)解此題。 x(n) A cos(w0 n ) 1 A[e jw0n ej e jw0 ne j ] 2 y(n) 1 A[ ej ejw 0n H (e jw0 )e j e jw0 n H (e jw0 )] 2

29、 1 A[ ej e jw0n H (ejw 0 ) ej (w0 ) e j e jw0 n H (e jw0 ) e j ( w0 ) ] 2 上式中 H ( ejw ) 是 w 的偶函數(shù)，相位函數(shù)是 w 的奇函數(shù)， H (e jw ) H ( e jw ) , (w) ( w) y( n) 1 A H (ejw0 ) [ej e

30、jw0 n ej ( w0 ) e j e jw 0n e j (w0 ) ] 2 A H (e jw0 ) cos(w n (w )) 0 0 1,n 0,1 % 4. 設(shè) x(n) 將 x(n) 以 4 為周期進(jìn)行周期延拓， 形成周期序列 x(n) ，畫出 x(n) 和 0,其它

31、 % % x( n) 的波形，求出 x(n) 的離散傅里葉級(jí)數(shù) X ( k) 和傅里葉變換。 解： 畫出 x(n) 和 x%(n) 的波形如 題 4 解圖 所示。 % 3 j 2 kn 1 j kn j k

32、 4 % % 2 2 X (k) e 1 e DFS [ x(n)] x(n)e n 0 n 0 , j k j k e j k 2cos( k) ?e j k e 4 (e 4 4 ) 4

33、 4 % 為周期，或者 X (k ) 以 4 1 j kn % e 2 X (k) n 0 % 為周期 X (k ) 以 4  1 e j k j k 1 e 2  e e  1 j k 2 j 1 k 4  (e (e  1 j k 2 j 1 k 4  e

34、 e  1 j k 2 j 1 k 4  ) j 1 k e 4 )  sin 1 k 2 , 1 sin k 8 jw % 2 % 2 X (k) ( w k) X (e ) FT [ x(n)] 4 k 4 % (w k) 2 k X ( k) 2 cos(

35、j k (w k) k)e 4 k 4 2 5. 設(shè)如圖所示的序列 x(n) 的 FT 用 X (ejw ) 表示，不直接求出 X (e jw ) ，完成下列運(yùn)算：（1） X (e j 0 ) ； （2） X (e jw )dw ； 2 （5）X (e jw ) dw 解： （1） X (e j 0 ) 7 x(n) 6 n 3 （2） X (e jw )dw x(0) ? 2 4 2 7 （5）X (e

36、jw 2 ) dw 2 x( n) 28 n 3 6. 試求如下序列的傅里葉變換 : （2） x2 (n) 1 ( n 1) (n) 1 (n 1)； 2 2 （3） x3 (n) an u( n),0 a 1 解： （2） X 2 ( ejw ) x2 ( n)e jwn 1 e jw 1 1 e jw n 2 2

37、 1 1 (ejw e jw ) 1 cosw 2 （3） X3 (e jw ) anu(n)e jwn ane jwn 1 n n 0 1 ae jw 7. 設(shè) : （1） x(n) 是實(shí)偶函數(shù)， 9 （2） x(n) 是實(shí)奇函數(shù)，分別分析推導(dǎo)以上兩種假設(shè)下， x(n) 的傅里葉變換性質(zhì)。 解： 令 X ( ejw ) x(n)e jwn n

38、 （1） x(n) 是實(shí)、偶函數(shù)， ( e jw ) ( ) jwn X x n e n 兩邊取共軛，得到 X * ( ejw ) x(n)ejwn x(n)e j ( w )n X (e jw ) n n 因此 X (e jw ) X * (e jw ) 上式說(shuō)明 x(n) 是實(shí)序列， X (ejw ) 具有共軛對(duì)稱性質(zhì)。

39、 X (e jw ) x(n)e jwn x(n)[cos wn j sin wn ] n n 由于 x(n) 是偶函數(shù)， x(n)sinwn 是奇函數(shù)，那么 x(n)sin wn 0 n 因此 X (e jw ) x(n) cos wn n 該式說(shuō)明 X (ejw ) 是實(shí)函數(shù)，且是 w 的偶函數(shù)。 總結(jié)以上 x(n) 是實(shí)、偶函數(shù)時(shí)，對(duì)應(yīng)的傅里葉變換 X (e jw ) 是實(shí)、偶函數(shù)。 （2） x(n) 是實(shí)、奇函數(shù)。 上面已推出，由于 x(n) 是實(shí)序列， X (ej

40、w ) 具有共軛對(duì)稱性質(zhì)，即 X (e jw ) X * (e jw ) X (e jw ) x(n)e jwn x(n)[cos wn j sin wn ] n n 由于 x(n) 是奇函數(shù)，上式中 x(n)cos wn 是奇函數(shù)，那么 x(n) cos wn 0 n 因此 X (e jw ) j x(n)sin wn n 10 這說(shuō)明 X (e jw ) 是純虛數(shù)，且是 w 的奇函數(shù)。 10. 若序列 h(n) 是實(shí)因果序列，其傅里葉變換的實(shí)部如下式 : H R (ej

41、w ) 1 cosw 求序列 h(n) 及其傅里葉變換 H (ejw ) 。 H R(e jw ) 1 cos w 1 1 , n 1 2 he (n) 1,n 0 1 , n 1 2 0, n 0 h(n) he( n), n 0 2he (n), n 0 H (ejw ) h( n)e jwn n  1 e jw 1 e jw FT [ h (n)] h (n) e jwn 2 2 e e n

42、 1,n 0 1, n 1 0, 其它 n 1 e jw 2e jw / 2 cos w 2 12. 設(shè)系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng) h(n) an u(n),0 a 1，輸入序列為 x(n) ( n) 2 (n 2) ， 完成下面各題： （1）求出系統(tǒng)輸出序列 y(n) ； （2）分別求出 x(n) 、 h(n) 和 y( n) 的傅里葉變換。 解： （ 1） y(n) h( n)* x(n) an u(n)*[ (n) 2

43、 (n 2)] an u(n) 2an 2u(n 2) （ 2） X (e jw ) [ ( n) 2 (n 2)]e jwn 1 2e j 2 w n H (e jw ) an u( n)e jwn ane jwn n n 0 Y(ejw ) H (ejw ) gX (ejw ) 1 2e j 2w 1 ae jw  1 1 ae  jw 13. 已知 xa (t ) 2cos(2 f 0t ) ，式中 f0 100Hz ，以采樣頻率 f s

44、 400Hz 對(duì) xa (t ) 進(jìn)行采 樣，得到采樣信號(hào) % (t ) 和時(shí)域離散信號(hào) x( n) ，試完成下面各題： xa 11 （1）寫出 xa (t ) 的傅里葉變換表示式 X a ( j ) ； % （2）寫出 xa (t ) 和 x(n) 的表達(dá)式； （3）分別求出 解： （ 1）  % xa (t ) 的傅里葉變換和 x(n) 序列的傅里葉變換。 X a ( j ) xa (t )e j t dt 2cos( 0t)e j

45、 t dt ( ej 0t e j 0t )e j t dt 上式中指數(shù)函數(shù)的傅里葉變換不存在，引入奇異函數(shù) 函數(shù)，它的傅里葉變換可以 表示成： X a ( j ) 2 [ ( 0 ) ( 0 )]) （2） ? xa (t) (t nT ) 2cos( 0 nT ) (t nT ) xa (t ) n n x( n) 2cos( 0 nT ), n 02 f0

46、 200 rad ,T 1 2.5ms fs （3） ? ) 1 X a ( j jk s) X a ( j T k 2 [ ( 0 k s ) ( 0 k s)] T k

47、 式中 s 2 f s 800 rad / s X (e jw ) x(n)e jwn 2cos( 0nT )e jwn 2cos(w0n)e jwn n n n [e jw0n e jw0n ]e jwn 2 [ ( w w 2k ) (w w 2k )] n k 0 0 式中 w0 0T 0.5 ra

48、d 上式推導(dǎo)過(guò)程中， 指數(shù)序列的傅里葉變換仍然不存在， 只有引入奇異函數(shù)函數(shù)， 才能寫出它 的傅里葉變換表達(dá)式。 14. 求以下序列的 Z 變換及收斂域：（2） 2 n u( n 1) ； 12 （ 3） 2 n u( n) ； （ 6） 2 n[u(n) u(n 10)] 解 ： （2） ZT[2 n u(n)] 2 n u(n)z n 2 n z n 1 1 z 1 , z 1

49、 n n 0 1 2 2 （3） ZT[ 2 n u( n 1)] 2 n u( n 1)z n 2 n z n 2n zn n n 1 n 1 2z 1 1 1 2z 1 2 1 z 1 , z 2 （ 6） 9 ZT [2 n u(n) u( n 10)] 2 n z n n 0 1 2 10 z 10 1 2

50、1 z 1 ,0 z 16. 已知 : 3 2 X ( z) 1 2z 1 1 z 1 1 2 求出對(duì)應(yīng) X ( z) 的各種可能的序列的表達(dá)式。 解： 有兩個(gè)極點(diǎn)，因?yàn)槭諗坑蚩偸且詷O點(diǎn)為界，因此收斂域有以下三種情況： 三種收斂域?qū)?yīng)三種不同的原序列。 （1）當(dāng)收斂域 z 0.5 時(shí)， x(n) 21 j ?c X (Z )zn 1dz 令 F (z) X ( z)z n 1 5 7 z

51、1 z n 1 5z 7 z n (1 0.5z 1 )(1 2z 1 ( z 0.5)( z ) 2) n 0 ，因?yàn)? c 內(nèi)無(wú)極點(diǎn)， x(n)=0 ； n 1 ， C 內(nèi)有極點(diǎn) 0，但 z=0 是一個(gè) n 階極點(diǎn)，改為求圓外極點(diǎn)留數(shù)，圓外極點(diǎn)有 z1 0.5, z2 2 ，那么 13 x(n) Re s[ F ( z),0.5] Re s[ F ( z), 2] (

52、5 z 7) zn ( z 0.5) z 0.5 (5 z 7) zn ( z 0.5)( z ( z ( z 2) 2) 0.5)( z 2) [3g( 1 )n 2g2n ]u( n 1) 2 （2）當(dāng)收斂域 0.5 z 2 時(shí)， F ( z) (5z 7) zn 2) ( z 0.5

53、)(z n 0 ， C 內(nèi)有極點(diǎn) 0.5； x(n) Res[ F ( z),0.5] 3g( 1 ) n n 0 ， C 內(nèi)有極點(diǎn) 2 0.5，0，但 0 是一個(gè) n 階極點(diǎn)，改成求 c 外極點(diǎn)留數(shù)， 個(gè)，即 2，  z 2 c

54、外極點(diǎn)只有一 x(n) Re s[ F ( z), 2] 2g2n u( n 1) 最后得到 x(n) 3g( 1)n u(n) 2g2n u( n 1) 2 （3）當(dāng)收斂域 2 z 時(shí)， F ( z) (5z 7) zn 0.5)(z 2) ( z n 0 ， C 內(nèi)有極點(diǎn) 0.5，2； x(n) Re s[ F (z),0.5] Re s[ F ( z),2] 3g(1 ) n 2g2n 2 n<0，由收斂域判斷，這是一個(gè)因果

55、序列，因此 x(n)=0 。 或者這樣分析， C 內(nèi)有極點(diǎn) 0.5， 2， 0，但 0 是一個(gè) n 階極點(diǎn)，改成求 c 外極點(diǎn)留數(shù)， c 外 無(wú)極點(diǎn)，所以 x(n)=0 。 最后得到 1 n n x(n) [3g( ) 2g2 ]u(n) 2 17. 已知 x(n) anu( n),0 a 1，分別求： （ 1） x(n) 的 Z 變換； （ 2） nx(n) 的 Z 變換； （ 3） a nu( n) 的 z 變換。解： 14 （1） X ( z) ZT [

56、anu( n)] anu( n)z n 1 1 1 , z a n az （2） ZT [ nx(n)] z d X ( z) (1 az 1 , z a dz az 1) 2 （3） ZT [ a nu( n)] a n z n an zn 1 1 , z a 1 n 0 n 0 az 18. 已知 X (z) 3z 1 ，分別求： 2 5z 1 2z 2

57、 （1）收斂域 0.5 z 2 對(duì)應(yīng)的原序列 x(n) ； （ 2）收斂域 z 2 對(duì)應(yīng)的原序列 x(n) 。 解： x( n) 1 ? X ( z) zn 1dz 2 j c F ( z) X ( z) zn 1 3z 1 zn 1 2( z 3 ? zn 2 5z 1 2z 2 0.5)( z 2) （1）當(dāng)收斂域 0.5 z 2 時(shí)， n

58、 0 ， c 內(nèi)有極點(diǎn) 0.5， x(n) Re s[ F (z),0.5] 0.5n 2 n , n 0, c 內(nèi)有極點(diǎn) 0.5,0,但 0 是一個(gè) n 階極點(diǎn) ,改求 c 外極點(diǎn)留數(shù) ,c 外極點(diǎn)只有 2, x(n)Res[ F ( z), 2] 2n , 最后得到 x(n) 2 n u( n) 2n u( n 1) 2 n （2（當(dāng)收斂域 z 2 時(shí)， n 0, c 內(nèi)有極點(diǎn) 0.5,2, x(n) Re s[ F (z),0.5] Re s[ F ( z),2]

59、 0.5n 3? zn ( z 2) 2(z 0.5)(z 2) z 2 0.5n 2n n 0, c 內(nèi)有極點(diǎn) 0.5,2,0,但極點(diǎn) 0 是一個(gè) n 階極點(diǎn) ,改成求 c 外極點(diǎn)留數(shù) ,可是 c 外沒有極點(diǎn) , 15 因此 x(n) 0 , 最后得到 x(n) (0.5n 2n )u(n) 25. 已知網(wǎng)絡(luò)的輸入和單位脈沖響應(yīng)分別為 x( n) anu(n), h(n) bn u(n),0 a 1,0 b 1 ， 試：

60、 （1）用卷積法求網(wǎng)絡(luò)輸出 y(n) ； （2）用 ZT 法求網(wǎng)絡(luò)輸出 y( n) 。 解： （1）用卷積法求 y(n) y(n) h(n) x(n) bmu(m)an mu(n m) ， n 0 , m n n

61、 a mbm an 1 a n 1 n 1 n 1 n 1 y(n)an mbm an b a a b ， n 0 ， y( n) 0 m 0 m 0 1 a 1b b 最后得到 y( n) an 1 bn 1 a u( n) b （2）

62、用 ZT 法求 y(n) X (z) 1 1 , H ( z) 1 1 az 1 bz 1 Y(z) X (z)H ( z) 1 1 az 1 1 bz 1 y(n) 21 j ?c Y(z)zn 1dz 令 F (z) Y( z) zn

63、1 1 zn 1 bz 1 ( z zn 1 b) az 1 1 a)( z n 0 ,c 內(nèi)有極點(diǎn) a,b y(n) Re s[ F (z), a] an 1 bn 1 an 1 bn 1 Re s[ F (z), b] b b a a b a 因?yàn)橄到y(tǒng)是因果系統(tǒng)， n 0 , y( n) 0 ，最后得到

64、 16 an 1 bn 1 y( n) u( n) a b 28. 若序列 h(n) 是因果序列，其傅里葉變換的實(shí)部如下式： H R (ejw ) 1 1 a cosw , a 1 a2 2acosw 求序列 h(n) 及其傅里葉變換 H (ejw ) 。 解：

65、 H R (e jw ) 1 1 a cos w 1 0.5a(ejw e jw ) a2 2a cos w 1 a 2 a(ejw e jw ) H R ( z) 1 0.5a( z z 1 ) 1 0.5a(e jw e jw ) 1 a2 a(z z 1 ) (1 az 1)(1 az) 求上式 IZT ，得到序列 h(n) 的共軛對(duì)稱序列 he (n) 。

66、 he (n) 2 1 H R ( z) zn 1dz j ? c F ( z) H R (z)z n 1 0.5az2 z 0.5a z n 1 a( z a)( z a 1 ) 因?yàn)?h(n) 是因果序列， he (n) 必定是雙邊序列，收斂域?。? a z a 1 。 n 1時(shí)， c 內(nèi)有極點(diǎn) a , he ( n) Re s[ F (z), a] 0.5az2 z 0.5a z n 1 (z a) 1