費馬引理與羅爾中值定理

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1、*,第三章 微分中值定理及其應用,3.1,費爾馬引理與函數最值,3.2,羅,爾中值定理及應用,一、,費馬引理,(,費馬引理,),如果對,有,則,設,f,(,x,),在點 的某鄰域 內有定義,且在 處可導,注：導數為零的點稱為函數的,駐點,.,證,設對于,有,由極限的保號性,推論,(,最值的必要條件,),設,如果 存在,如果 在,a,b,上連續(xù),則 在,a,b,上一,定有最大值和最小值,.,由最值的必要條件,最大、最小值點只可能,是的駐點、不可導點或區(qū)間的端點,.,求函數最大值與最小值的一般步驟,:,1.,求駐點和不可導點,;,2.,求出區(qū)間端點及駐點和不可導點的函數值,比較大小,其中最大者就是

2、最大值,最小者就,是最小值,;,3.,在實際問題的應用中,問題本身可以保證目標,函數的最大值或最小值一定存在,我們通常用這,種思想求取應用問題的最值,.,例,1,求函數 在,-,1,4,上的最大值,解,計算,與最小值,.,(-1,4),內駐點,比較得,最大值 最小值,解,得,例,2,求內接于球的圓柱體的最大體積,設球的,半徑,R.,設圓柱體的高為,2,h,底半徑為,r,體積為,V,圓柱體的最大體積一定存在,故,唯一駐點,就是最大值點,最大體積為,令,得,(,舍去負值,),唯一駐點,定理,3.2(,羅爾定理,),(1),在閉區(qū)間,a,b,上連續(xù),;,(2),在開區(qū)間,(,a,b,),內可導,;,

3、(3),使得,3.2,羅爾中值定理及其應用,證,若函數,f,(,x,),滿足,:,必有最大值,M,和最小值,m,.,由,費爾馬引理,推論,:,可微函數 的任意兩個零點之間至少有,的一個零點,若定理條件不全具備,結論不一定成立,.,注,例,1,證明 是,方程 的唯一實根,.,證,矛盾,.,由,羅爾定理,原命題得證,.,使得,對可導函數,f,(,x,),之間,在方程,f,(,x,),=,0,的兩實根,推論,至少存在方程,的一個實根,.,例,證,例,2,設常數,滿足,:,試證方程,分析：,注意到,在,(0,1),內存在一個實根,.,證,設,且,由,羅爾定理,即,在,(0,1),內可導,在,0,1,上

4、二階可導,且,則在 內至少存在一點,例,3,若,證,使得,使得,上使用,羅爾定理,使得,使用,羅爾定理,兩種常用的構造輔助函數的方法：,1.,常數,k,法構造函數,基本思路是令待證等式中的常數為,k,，,通過,恒等變形將含有的式子寫成 的形式，,然后用羅爾定理,則 就是需要的輔助函數,進行證明,.,例,4,設,分析,證,令,羅爾定理,整理得,使得,故,即,2.,通過對待證等式的恒等變形尋找輔助函數,然后再觀察所得函數是哪個函數的導數，這個函數,就是我們需要的輔助函數,.,因為等式中出現的中值 一定是對某個函數,使用中值定理得到的,因此,可以首先把 還原為,x,，,如果待證等式出現 的形式，,則可以考慮形如 的輔助函數,.,問題轉化為證,設輔助函數,在,0,1,上用,羅爾定理,使得,即有,例,5,設,證,分析,:,作業(yè),習題,3,.2,(116,頁,),2.3.4.5.7.,(1),8.,(1),習題,3,.1,(111,頁,),1,.(2),