2020-2021學(xué)年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識點(diǎn)專題6-3 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和

《2020-2021學(xué)年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識點(diǎn)專題6-3 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020-2021學(xué)年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識點(diǎn)專題6-3 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和（8頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、專題6.3 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和 【考情分析】 1.理解等比數(shù)列的概念．　 2.掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式．　 3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題．　 4.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系． 【重點(diǎn)知識梳理】 知識點(diǎn)一 等比數(shù)列的定義 如果一個數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個非零常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示． 數(shù)學(xué)語言表達(dá)式：＝q(n≥2，q為非零常數(shù))，或＝q(n∈N*，q為非零常數(shù))． 知識點(diǎn)二 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式 (1)若

2、等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比是q，則其通項(xiàng)公式為an＝a1qn－1； 通項(xiàng)公式的推廣：an＝amqn－m. (2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：當(dāng)q＝1時，Sn＝na1；當(dāng)q≠1時，Sn＝＝. 知識點(diǎn)三 等比數(shù)列及前n項(xiàng)和的性質(zhì) (1)如果a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)．即：G是a與b的等比中項(xiàng)?a，G，b成等比數(shù)列?G2＝ab. (2)若{an}為等比數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則akal＝aman． (3)相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比數(shù)列，公比為qm． (4)當(dāng)q≠－1，或q＝－1且n

3、為奇數(shù)時，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn． 【必會結(jié)論】等比數(shù)列的常用性質(zhì) (1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝amqn－m(n，m∈N*)． (2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，則aman＝apaq＝a. (3)若數(shù)列{an}，{bn}(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列，則{λan}，，{a}，{anbn}，(λ≠0)仍然是等比數(shù)列． (4)在等比數(shù)列{an}中，等距離取出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個等比數(shù)列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…為等比數(shù)列，公比為qk. (5)公比不為－1的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn，S2n－Sn，S3n

4、－S2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn. (6)等比數(shù)列{an}滿足或時，{an}是遞增數(shù)列；滿足或時，{an}是遞減數(shù)列． 【典型題分析】 高頻考點(diǎn)一 等比數(shù)列基本量的運(yùn)算 【例1】（2020新課標(biāo)Ⅱ）數(shù)列中，，，若，則（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】在等式中，令，可得，， 所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，則， ， ，則，解得. 【舉一反三】(2019高考全國卷Ⅰ)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．若a1＝1，S3＝，則S4＝ ． 【解析】　(1)通解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由a1＝1及S3

5、＝，易知q≠1.把a(bǔ)1＝1代入S3＝＝，得1＋q＋q2＝，解得q＝－，所以S4＝＝＝. 優(yōu)解一：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因?yàn)镾3＝a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝，a1＝1，所以1＋q＋q2＝，解得q＝－，所以a4＝a1q3＝＝－，所以S4＝S3＋a4＝＋＝. 優(yōu)解二：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由題意易知q≠1.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝A(1－qn)(其中A為常數(shù))，則a1＝S1＝A(1－q)＝1?、?，S3＝A(1－q3)＝?、?，由①②可得A＝，q＝－.所以S4＝＝. 【答案】 【方法技巧】 (1)等比數(shù)列基本量的運(yùn)算是等比數(shù)列中的一類基本問題，等比數(shù)列中有五

6、個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)便可迎刃而解； (2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式涉及對公比q的分類討論，當(dāng)q＝1時，{an}的前n項(xiàng)和Sn＝na1；當(dāng)q≠1時，{an}的前n項(xiàng)和Sn＝＝。 【舉一反三】(2019高考全國卷Ⅲ)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前4項(xiàng)和為15，且a5＝3a3＋4a1，則a3＝(　　) A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】C 【解析】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0)，由a5＝3a3＋4a1，得a1q4＝3a1q2＋4a1，得q4－3q2－4＝0，令q2＝t，則t2－3t－4＝0，解得t＝4或t＝－1(舍

7、去)，所以q2＝4，即q＝2或q＝－2(舍去)．又S4＝＝15，所以a1＝1，所以a3＝a1q2＝4.故選C. 高頻考點(diǎn)二 等比數(shù)列的判定與證明 【例2】（2020北京卷）已知是無窮數(shù)列．給出兩個性質(zhì)： ①對于中任意兩項(xiàng)，在中都存在一項(xiàng)，使； ②對于中任意項(xiàng)，在中都存在兩項(xiàng)．使得． (Ⅰ)若，判斷數(shù)列是否滿足性質(zhì)①，說明理由； (Ⅱ)若，判斷數(shù)列是否同時滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，說明理由； (Ⅲ)若是遞增數(shù)列，且同時滿足性質(zhì)①和性質(zhì)②，證明：為等比數(shù)列. 【答案】(Ⅰ)詳見解析；(Ⅱ)詳解解析；(Ⅲ)證明詳見解析. 【解析】 (Ⅰ)不具有性質(zhì)①； (Ⅱ)具有性質(zhì)①； 具有

8、性質(zhì)②； (Ⅲ)假設(shè)數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)均為正數(shù)： 首先利用性質(zhì)②：取，此時， 由數(shù)列的單調(diào)性可知， 而，故， 此時必有，即， 即成等比數(shù)列，不妨設(shè)， 然后利用性質(zhì)①：取，則， 即數(shù)列中必然存在一項(xiàng)的值為，下面我們來證明， 否則，由數(shù)列的單調(diào)性可知， 在性質(zhì)②中，取，則，從而， 與前面類似的可知則存在，滿足， 若，則：，與假設(shè)矛盾； 若，則：，與假設(shè)矛盾； 若，則：，與數(shù)列的單調(diào)性矛盾； 即不存在滿足題意的正整數(shù)，可見不成立，從而， 同理可得：，從而數(shù)列為等比數(shù)列， 同理，當(dāng)數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)均為負(fù)數(shù)時亦可證得數(shù)列為等比數(shù)列. 由推理過程易知數(shù)列中的項(xiàng)要么恒正要么恒負(fù)，不

9、會同時出現(xiàn)正數(shù)和負(fù)數(shù). 從而題中的結(jié)論得證，數(shù)列為等比數(shù)列. 【變式探究】(2019全國卷Ⅱ)已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1＝1，b1＝0，4an＋1＝3an－bn＋4，4bn＋1＝3bn－an－4. (1)證明：{an＋bn}是等比數(shù)列，{an－bn}是等差數(shù)列； (2)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式． 【解析】(1)證明：由題設(shè)得4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，即an＋1＋bn＋1＝(an＋bn)． 又因?yàn)閍1＋b1＝1，所以{an＋bn}是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列． 由題設(shè)得4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8，即an＋1－bn＋1＝an－bn＋

10、2. 又因?yàn)閍1－b1＝1，所以{an－bn}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列． (2)由(1)知，an＋bn＝，an－bn＝2n－1. 所以an＝[(an＋bn)＋(an－bn)]＝＋n－， bn＝[(an＋bn)－(an－bn)]＝－n＋. 【方法技巧】等比數(shù)列的判定方法 定義法 若＝q(q為非零常數(shù)，n∈N*)或＝q(q為非零常數(shù)且n≥2，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列 中項(xiàng)公式法 若數(shù)列{an}中，an≠0且a＝anan＋2(n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列 通項(xiàng)公式法 若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式可寫成an＝cqn－1(c，q均為非零常數(shù)，n∈N*)，則{an}是等

11、比數(shù)列 前n項(xiàng)和公式法 若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝kqn－k(k為非零常數(shù)，q≠0,1)，則{an}是等比數(shù)列 【特別提醒】(1)前兩種方法是判定等比數(shù)列的常用方法，常用于證明；后兩種方法常用于選擇題、填空題中的判定； (2)若要判定一個數(shù)列不是等比數(shù)列，則只需判定存在連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可。 【舉一反三】（2018全國卷）已知數(shù)列an滿足a1=1，nan+1=2n+1an，設(shè)bn=ann． （1）求b1?，??b2?，??b3； （2）判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列，并說明理由； （3）求an的通項(xiàng)公式． 【答案】(1) b1=1，b2=2，b3=4． (2) {bn}

12、是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列．理由見解析. (3) an=n2n-1． 【解析】 （1）由條件可得an+1=2(n+1)nan． 將n=1代入得，a2=4a1，而a1=1，所以，a2=4． 將n=2代入得，a3=3a2，所以，a3=12． 從而b1=1，b2=2，b3=4． （2）{bn}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列． 由條件可得an+1n+1=2ann，即bn+1=2bn，又b1=1，所以{bn}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列． （3）由（2）可得ann=2n-1，所以an=n2n-1． 高頻考點(diǎn)三 等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用 【例3】(2020河南洛陽市模擬)在等比

13、數(shù)列{an}中，a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的兩根，則的值為(　　) A．－ B．－ C. D．－或 【答案】B　 【解析】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因?yàn)閍3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的兩根，所以a3a15＝a＝2，a3＋a15＝－6，所以a3＜0，a15＜0，則a9＝－，所以＝＝a9＝－. 【方法技巧】 (1)在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時，要注意挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)“若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則aman＝apaq”，可以減少運(yùn)算量，提高解題速度． (2)在應(yīng)用相應(yīng)性質(zhì)解題時，要注意性質(zhì)成立的前提條件，有時需要進(jìn)行適當(dāng)變形．此外，

14、解題時注意設(shè)而不求思想的運(yùn)用． 【變式探究】（2020河北承德模擬）等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a1a5＝4，則log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝ ． 【答案】5　 【解析】由題意知a1a5＝a＝4，因?yàn)閿?shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以a3＝2.所以a1a2a3a4a5＝(a1a5)(a2a4)a3＝(a)2a3＝a＝25.所以log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝log2(a1a2a3a4a5)＝log225＝5. 高頻考點(diǎn)四 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)的應(yīng)用 【例4】（2020江蘇卷）設(shè){a

15、n}是公差為d的等差數(shù)列，{bn}是公比為q的等比數(shù)列．已知數(shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)和，則d+q的值是_______． 【答案】4 【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意. 等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式為， 等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式為， 依題意，即， 通過對比系數(shù)可知，故. 【舉一反三】 (2018全國卷Ⅲ)等比數(shù)列{an}中，a1＝1，a5＝4a3. (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)記Sn為{an}的前n項(xiàng)和．若Sm＝63，求m. 【解析】(1)設(shè){an}的公比為q，由題設(shè)得an＝qn－1. 由已知得q4＝4q2， 解得q＝0(舍去)或q＝－2或q＝2. 故an＝(－2)n－1或an＝2n－1. (2)若an＝(－2)n－1，則Sn＝. 由Sm＝63，得(－2)m＝－188， 此方程沒有正整數(shù)解． 若an＝2n－1，則Sn＝＝2n－1. 由Sm＝63，得2m＝64，解得m＝6. 綜上，m＝6. 【變式探究】（2020江蘇南京模擬）設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若＝，則＝ ． 【解析】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，因?yàn)椋剑詛an}的公比q≠1.由＝，得q3＝－，所以＝＝. 【答案】