高中數(shù)學《兩角差的余弦公式》說課稿新人教A版必修4

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1、 關(guān)于《兩角差的余弦公式》 的說課稿 各位領(lǐng)導、各位老師： 大家好！ 我是臨澧一中的黃波。今天我說課的題目是《兩角差的余弦公式》 。我計劃從教材背景、教學目標、教學方法、教學過程、教學評價等方面來談談我對本節(jié)課的理解。 背景分析 1、教材所處的地位和作用： 《兩角差的余弦公式》是新課標人教版數(shù)學必修四第三章第一課時的教學內(nèi)容，是本模塊第 一章《三角函數(shù)》和第二章《平面向量》相關(guān)知識的延續(xù)和拓展。其中心任務是通過已學知識 , 探索建立兩角差的余弦公式。它不僅是前面已學的誘導公式的推廣，也是后面其

2、它和（差）角公 式推導的基礎(chǔ)和核心，具有承前啟后的作用，是本章的重點內(nèi)容之一。 2、重點，難點以及確定的依據(jù)： 對本節(jié)課來說，學生最大的困惑在于如何得到公式．所以， 本節(jié)課的教學重點是：兩角差的余弦公式的探究和應用； 教學難點是：兩角差的余弦公式的由來及證明； 引導學生通過主動參與 , 獨立探索。 教學目標設(shè)計 （ 1）知識與技能： 本節(jié)課的知識技能目標定位在公式的向量法證明和應用上；學會運用分類討論思想完善證 明；學會正用、逆用、變用公式；學會運用整體思想，抓住公式的本質(zhì)．在新舊知識的沖撞過程

3、 中，讓學生自主地對知識進行重組、構(gòu)建，形成屬于自己的知識結(jié)構(gòu)體系． （ 2）過程與方法： 創(chuàng)設(shè)問題情景， 調(diào)動學生已有的認知結(jié)構(gòu)， 激發(fā)學生的問題意識， 展開提出問題、 分析問題、 解決問題的學習活動，讓學生體會從“特殊”到“一般”的探究過程；在探究過程中體會化歸、 數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想； 在公式的證明過程中， 培養(yǎng)學生反思的好習慣； 在公式的理解記憶過程中， 讓學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學中的簡潔、對稱美；在公式的運用過程中，培養(yǎng)學生嚴謹?shù)乃季S習慣和自我糾錯 能力． 1 （ 3）情感、態(tài)度與價值觀：

4、體驗科學探索的過程，鼓勵學生大膽質(zhì)疑、大膽猜想，培養(yǎng)學生的“問題意識”，使學生感 受科學探索的樂趣，激勵勇氣，培養(yǎng)創(chuàng)新精神和良好的團隊合作意識． 通過對猜想的驗證，對公式證明的完善，培養(yǎng)學生實事求是的科學態(tài)度和科學精神． 教法設(shè)計 1、學情分析： 學生剛剛學習了同角三角函數(shù)的變換及平面向量的知識， 對用舉反例推翻猜想、 運用單位圓、 用向量解決三角問題已經(jīng)有了一定的基礎(chǔ)， 但還遠未達到綜合運用這些方法自主探究和證明的水平． 2、 教學手段： (1) 從知識的認知程序上看，老師看問題從整體到局部，而學生卻是從局部到整體。本節(jié)課

5、 嘗試將 “帶著知識走向?qū)W生” 的接受式教學模式轉(zhuǎn)變?yōu)?“帶著學生走向知識” 的探究式教學模式，充分尊重學生的主體地位． (2) 本節(jié)課的教法采用了“一個主題兩種教學”的設(shè)計模式．一個主題：公式探究與應用， 兩種教學：顯形教學（知識能力教學） 、隱性教學（情商培養(yǎng)） ，實踐兩種教學相互促進的人性化教學理念． (3) 在課堂上營造民主、開放、平等的教學氛圍，注重教學評價的多元性，將簡單的結(jié)果評價上升為對過程的評價；將一味的知識評價拓展為能力評價，突出學生的主體性，實現(xiàn)顯形教學與隱性教學的雙重評價，為全面發(fā)展學生打下基礎(chǔ)． (4) 利用幾何畫板，通過計算機技術(shù)，給

6、學生提供一種驗證猜想合理性的途徑 . （教學媒體 設(shè)計） 課堂結(jié)構(gòu)設(shè)計 ： 引入課題，提出猜想，實驗探究，嚴謹證明，例題訓練，課堂小結(jié) 教學過程設(shè)計 1、引入課題： 例：如圖所示 , 一個斜坡的高為 向的夾角為 60, 且大小為 10N ,  6m,斜坡的水平長度為 8m,已知作用在物體上的力 F 與水平方在力 F 的作用下物體沿斜坡運動了３ m,求力 F 作用在物體上的 F  2 功 W． 解： W =

7、 F S F S cos(60 ) S = 30 cos(60 ) ． 6m 提問： 1、解決問題需要求什么 ? 2 、你能找到哪些與 有關(guān)的條件 ? 8m 3、能否利用這些條件求出 cos(60 ) ？如果能，提出你的猜想． 4 、怎樣檢驗這些猜想是否正確？ 【設(shè)計意圖】生活實例引入，體現(xiàn)數(shù)學與實際生活的聯(lián)系，也與物理（功的定義） 、哲學（透 過現(xiàn)象看本質(zhì)）等相關(guān)學科相聯(lián)系，增強學生的應用意識，激發(fā)學生的學習熱情，同時也讓學生體會數(shù)學知識的產(chǎn)生、發(fā)展過程． 2、提出猜想： 從特殊情況

8、去猜測公式的結(jié)構(gòu)形式． 令 ,則：cos( ) cos( ) cos 令 ,則：cos() cos( ) sin 2 2 分析：可見，我們的公式的形式應該與 cos 、cos 和 sin 、sin 均有關(guān)系？他們之間存在怎樣 的代數(shù)關(guān)系呢？請同學們根據(jù)下表中數(shù)據(jù)，相互交流討論，提出你的猜想． 用具體值檢驗猜想的合理性． 令150 , 60 則 cos( ) cos(150 60 ) cos90 ＝ 0 三角函數(shù) cos150 cos60 s

9、in150 sin 60 三角函數(shù)值 3 1 1 3 2 2 2 2 猜想 ： cos( ) cos cos sin sin 【設(shè)計意圖】 鼓勵學生發(fā)揮想象力， 大膽猜測， 然后再去驗證其合理性， 增強學生探索問題、 挑戰(zhàn)困難的勇氣． 3、實驗探究： 3

10、 【設(shè)計意圖】 讓學生用幾何畫板進行數(shù)學實驗 , 激起學生的好奇心和探究欲望 , 使學生體會 到數(shù)學的系統(tǒng)演繹性和實驗歸納性的兩個側(cè)面 . 4、嚴謹證明： （利用向量） 前一章我們剛剛學習完向量，并用向量知識解決了相關(guān)的幾何問題，這里，我們能否用向量 知識來推導兩角差的余弦公式呢？我們來仔細觀察猜想的結(jié)構(gòu)，我們在什么地方見到過類似結(jié) 構(gòu)？在向量部分，求角的余弦有什么方法嗎？ （學生：向量的數(shù)量積！ ） y 1 (cos , sin )  B (cos ,s

11、in ) x -1 0 1 -1 證明：在平面直角坐標系 xOy 內(nèi)作單位圓 O，以 Ox 為始邊作角 、 ，它們終邊與單位圓 O 的交點分別為 A、B，則： 4 OA = (cos ,sin ) ， OB = (cos , sin ) cos( OA OB (cos ,sin )(cos , sin ) ) | OA | | OB | = cos cos sin sin ∴ cos

12、( ) = cos cos sin sin （0≤ ≤ ） 思考： 1、 作為兩向量的夾角，有沒有限制條件？ 2、如果 不在［０， ］這個區(qū)間內(nèi)， 我們的結(jié)論還會成立嗎？怎樣給出證明？ （引導學生找到 與夾角 之間的關(guān)系） 【設(shè)計意圖】讓學生經(jīng)歷用向量知識解出一個數(shù)學問題的過程，體會向量方法在數(shù)學探究過 程中的簡潔性。 思考： 1、 作為兩向量的夾角，有沒有限制條件？ 2、如果 不在［０， ］這個區(qū)間內(nèi)， 我們的結(jié)論還會成立嗎？怎樣給出證明？ （引導學生找到 與夾角 之間

13、的關(guān)系） 推廣完善：令 為 OA 、 OB 的夾角， 則 2k 或 2k (k Z ) 無論哪種情況，都有 cos( ) cos 即 cos( ) cos cos cos sin sin 小結(jié)：兩角差的余弦公式： cos( ) cos cos sin sin （其中 、 為任意角，簡記為 C( ) ） 思考：請同學們仔細觀察一下公式的結(jié)構(gòu)， 說說公式的結(jié)構(gòu)有什么特點？應怎樣記憶？ （對 學生的回答給予及時肯定） 【設(shè)計意圖】引導學生關(guān)注兩個向量的夾角 θ 與α - β 的聯(lián)系與區(qū)別，并通過觀察和討

14、論， 增強學生用數(shù)形結(jié)合、分類討論的方法解決問題的意識，感受數(shù)學思維的嚴謹性． （介紹單位圓的三角函數(shù)線法） 除了以上的證明方法，是否還有其它證法呢？ 5 我們發(fā)現(xiàn)， cos( ) 這里涉及的是三角函數(shù)， 是 這個角的余弦問題， 那我們還能不 能考慮在單位圓里用三角函數(shù)線來推導呢？ 請同學們課后自己在單位圓中畫出 、 、 ，并考慮如何用角 , 的正弦線、 余弦線 來表示 的余弦線 ? 這個問題作為課后思考題，請同學們課下相互討論，共同探索。 【設(shè)計意圖】根據(jù)教學實際，對教材進行

15、適當安排，把單位圓三角函數(shù)線證法留作課后學生思考，為學生的課后探討留有空間。 5、例題訓練： 1、解決引例中的問題． 2、 P127 練習：已知 sin 2 , ( , 3 ),cos 3 , ( 3 ,2 ) ，求 cos( ) ． 3 2 4 2 （運用公式時應根據(jù)角的范圍，正確確定兩角正、余弦值的范圍） 3、 公式的逆用： ． 求 1 cos 15 3 sin 15 的值 2 2 4、公式活用： cos 1 , cos( ) 11 ,且 、 （0， ），求 cos ． 7 14 2 【設(shè)計意圖】例 1 讓學生

16、運用所學解決實際問題；例 2 利用變式突破學生在運用公式過程中 的易錯點；例 3 對逆用公式解題加深認識；例 4 活用公式，加深學生對公式中兩角形式變化的認 識，強化整體思想。 6：課堂小結(jié)： 公式探索的一般步驟；公式的結(jié)構(gòu)和功能；公式的運用應注意的問題。 7、作業(yè)： P127 練習 1、 2、 3； sin sin 3 ,cos cos 4 , 求 cos( ) . 5 5 【設(shè)計意圖】讓學生通過自己小結(jié)，反思學習過程，加深對公式的推導和應用過程的理解， 促進知識的內(nèi)化；然后用作業(yè)鞏固本節(jié)課所學知識。 （附

17、：板書設(shè)計） 6 3.1.1 兩角差的余弦公式 一、公式 二、證明 引例： 例 4： 例 2： 小結(jié)： 例 3： 教學評價分析 診斷性評價： 1．按常規(guī)，學生很可能想到先探究兩角和的正弦公式，怎樣想到先研究兩角差的余弦公式 是一個難點 ( 但非重點 ) ，教學時可以直接提出研究兩角差的余弦公式。但后面補充老教材的證明 方法，讓學生明白和與差內(nèi)在的聯(lián)系性與統(tǒng)一性，努力讓學習過程自然。 2．盡管教材在前面的習題中，已經(jīng)為用向量法證明兩角

18、差的余弦公式做了鋪墊，多數(shù)學生 仍難以想到．教師需要引導學生，聯(lián)想到向量的數(shù)量積公式和單位圓上點的坐標特點，努力使數(shù) 學思維顯得自然、合理。 3. 用向量的數(shù)量積公式證明兩角差的余弦公式時，學生容易犯思維不嚴謹?shù)腻e誤，教學時需要引導學生搞清楚兩角差與相應向量的夾角的聯(lián)系與區(qū)別。 預期效果 : 1 、讓學生在掌握兩角差的余弦公式探究方法的基礎(chǔ)上，能夠自我總結(jié)形成公式探究的一般方法。 2、激發(fā)學生的探究欲望，能夠獨立或合作提出推導其它三角恒等式的方案，形成對三角恒 等變換的本質(zhì)認識，加深對靈活運用公式的理解。 3、培養(yǎng)學生的“問題意識” ，在探索的過程中學會將“知識問題化” ，大膽、合理地提出猜 測，通過證明、完善，最終達到將“問題知識化”的目的． 以上是我對這節(jié)課的淺顯認識和處理，不到之處見諒。 7