[理學(xué)]高等數(shù)學(xué) 第十二章 無窮級數(shù)

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1、第十二章 無窮級數(shù) 【教學(xué)重點(diǎn)】 1、級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。 2、正項(xiàng)級數(shù)收斂性的比較判別法、比值判別法和根值判別； 3、交錯(cuò)級數(shù)的萊布尼茨判別法； 4、冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域； 5、，和的麥克勞林展開式； 6、傅里葉級數(shù)。 【教學(xué)難點(diǎn)】 1、 比較判別法的極限形式； 2、 萊布尼茨判別法； 3、 任意項(xiàng)級數(shù)的絕對收斂與條件收斂； 4、 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的收斂域及和函數(shù)； 5、 泰勒級數(shù)； 6、 傅里葉級數(shù)的狄利克雷定理。 第一節(jié) 常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念與性質(zhì) 一、常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念

2、 常數(shù)項(xiàng)級數(shù): 給定一個(gè)數(shù)列 u1, u2, u3, , un, , 則由這數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式u1 + u2 + u3 + + un + 叫做常數(shù)項(xiàng))無窮級數(shù), 簡稱常數(shù)項(xiàng))級數(shù), 記為, 即 , 其中第n項(xiàng)u n 叫做級數(shù)的一般項(xiàng). 級數(shù)的部分和: 作級數(shù)的前n項(xiàng)和 稱為級數(shù)的部分和. 級數(shù)斂散性定義: 如果級數(shù)的部分和數(shù)列有極限s, 即, 則稱無窮級數(shù)收斂, 這時(shí)極限s叫做這級數(shù)的和, 并寫成 ; 如果沒有極限, 則稱無窮級

3、數(shù)發(fā)散. 余項(xiàng): 當(dāng)級數(shù)收斂時(shí), 其部分和s n是級數(shù)的和s的近似值, 它們之間的差值 rn=s-sn=un+1+un+2+ 叫做級數(shù)的余項(xiàng). 例1 討論等比級數(shù)(幾何級數(shù)) 的斂散性, 其中a0, q叫做級數(shù)的公比. 解 如果q1, 則部分和 . 當(dāng)|q|<1時(shí), 因?yàn)? 所以此時(shí)級數(shù)收斂, 其和為. 當(dāng)|q|>1時(shí), 因?yàn)? 所以此時(shí)級數(shù)發(fā)散. 如果|q|=1, 則當(dāng)q=1時(shí), sn =na, 因此級數(shù)發(fā)散; 當(dāng)q=-1時(shí), 級數(shù)成為

4、 a-a+a-a+ , 當(dāng)|q|=1時(shí), 因?yàn)閟n 隨著n為奇數(shù)或偶數(shù)而等于a或零, 所以sn的極限不存在, 從而這時(shí)級數(shù)也發(fā)散. 綜上所述，級數(shù) 例2 證明級數(shù) 1+2+3+ +n+ 是發(fā)散的. 證 此級數(shù)的部分和為 . 顯然, , 因此所給級數(shù)是發(fā)散的. 例3 判別無窮級數(shù) 的收斂性. 提示: . 二、收斂級數(shù)的基本性質(zhì) 性質(zhì)1 如果級數(shù)

5、收斂于和s, 則它的各項(xiàng)同乘以一個(gè)常數(shù)k所得的級數(shù)也收斂, 且其和為ks. 性質(zhì)2 如果級數(shù)收斂于和s, 則級數(shù)也收斂, 且其和為ks. 性質(zhì)3 如果, 則. 性質(zhì)4 如果級數(shù)、分別收斂于和s、s, 則級數(shù)也收斂, 且其和為ss. 性質(zhì)5 如果、, 則. 性質(zhì)6 在級數(shù)中去掉、加上或改變有限項(xiàng), 不會改變級數(shù)的收斂性. 比如, 級數(shù)是收斂的, 級數(shù)也是收斂的, 級數(shù)也是收斂的. 性質(zhì)7 如果級數(shù)收斂, 則對這級數(shù)的項(xiàng)任意加括號后所成的級數(shù)仍收斂, 且其和不變. 應(yīng)注意的問題: 如果加括號后

6、所成的級數(shù)收斂, 則不能斷定去括號后原來的級數(shù)也收斂. 例如, 級數(shù) （1-1)+（1-1) + 收斂于零, 但級數(shù)1-1+1-1+ 卻是發(fā)散的. 推論: 如果加括號后所成的級數(shù)發(fā)散, 則原來級數(shù)也發(fā)散. 級數(shù)收斂的必要條件: 性質(zhì)8 如果收斂, 則它的一般項(xiàng)un 趨于零, 即. 應(yīng)注意的問題: 級數(shù)的一般項(xiàng)趨于零并不是級數(shù)收斂的充分條件. 例4 證明調(diào)和級數(shù) 是發(fā)散的. 證： 假若級數(shù)收斂且其和為s, sn是它的部分和. 顯然有及. 于是.

7、 但另一方面, , 故, 矛盾. 這矛盾說明級數(shù)必定發(fā)散. 小結(jié) 1.常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念； 2. 常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的性質(zhì)； 第二節(jié) 常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的審斂法 一、正項(xiàng)級數(shù)及其審斂法 正項(xiàng)級數(shù): 各項(xiàng)都是正數(shù)或零的級數(shù)稱為正項(xiàng)級數(shù). 定理1 正項(xiàng)級數(shù)收斂的充分必要條件它的部分和數(shù)列{sn}有界. 定理2(比較審斂法) 設(shè)和都是正項(xiàng)級數(shù), 且unvn(k>0, "nN). 若收斂, 則收斂; 若發(fā)散, 則發(fā)散. 證 設(shè)級數(shù)收斂于和s, 則級數(shù)的部分和 sn=u1+u2+ +unv

8、1+ v2+ +vns (n=1, 2, ), 即部分和數(shù)列{sn}有界, 由定理1知級數(shù)收斂. 反之, 設(shè)級數(shù)發(fā)散, 則級數(shù)必發(fā)散. 因?yàn)槿艏墧?shù) 收斂, 由上已證明的結(jié)論, 將有級數(shù)也收斂, 與假設(shè)矛盾. 推論 設(shè)和都是正項(xiàng)級數(shù), 如果級數(shù)收斂, 且存在自然數(shù)N, 使當(dāng)nN時(shí)有unkvn(k>0)成立, 則級數(shù)收斂; 如果級數(shù)發(fā)散, 且當(dāng)nN時(shí)有unkvn(k>0)成立, 則級數(shù)發(fā)散. 例1 討論p-級數(shù) 的收斂性, 其中常數(shù)p>0. 提示: 級數(shù)的部分和為 .

9、 因?yàn)? 所以級數(shù)收斂. p-級數(shù)的收斂性: p-級數(shù)當(dāng)p>1時(shí)收斂, 當(dāng)p1時(shí)發(fā)散. 例2 證明級數(shù)是發(fā)散的. 證 因?yàn)? 而級數(shù)是發(fā)散的, 根據(jù)比較審斂法可知所給級數(shù)也是發(fā)散的. 定理3(比較審斂法的極限形式) 設(shè)和都是正項(xiàng)級數(shù), (1)如果(0l<+), 且級數(shù)收斂, 則級數(shù)收斂; (2)如果, 且級數(shù)發(fā)散, 則級數(shù)發(fā)散. 證明 由極限的定義可知, 對, 存在自然數(shù)N, 當(dāng)n>N時(shí), 有不等式 , 即, 再根據(jù)比較審斂法的推論1, 即得所要證的結(jié)論.

10、 例3 判別級數(shù)的收斂性. 解 因?yàn)? 而級數(shù)發(fā)散, 根據(jù)比較審斂法的極限形式, 級數(shù)發(fā)散. 例4 判別級數(shù)的收斂性. 解 因?yàn)? 而級數(shù)收斂, 根據(jù)比較審斂法的極限形式, 級數(shù)收斂. 定理4(比值審斂法, 達(dá)朗貝爾判別法) 若正項(xiàng)級數(shù)的后項(xiàng)與前項(xiàng)之比值的極限等于r: , 則當(dāng)r<1時(shí)級數(shù)收斂; 當(dāng)r>1(或)時(shí)級數(shù)發(fā)散; 當(dāng)r =1時(shí)級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 例5 證明級數(shù) 是收斂的. 例6 判別級數(shù)的收斂性. 例7 判別級數(shù)的收斂性.

11、提示: , 比值審斂法失效. 因?yàn)? 而級數(shù)收斂, 因此由比較審斂法可知所給級數(shù)收斂. 定理5(根值審斂法, 柯西判別法) 設(shè)是正項(xiàng)級數(shù), 如果它的一般項(xiàng)un的n次根的極限等于r: , 則當(dāng)r<1時(shí)級數(shù)收斂; 當(dāng)r>1(或)時(shí)級數(shù)發(fā)散; 當(dāng)r=1時(shí)級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 例8 證明級數(shù)是收斂的. 并估計(jì)以級數(shù)的部分和sn近似代替和s所產(chǎn)生的誤差. 解 因?yàn)? 所以根據(jù)根值審斂法可知所給級數(shù)收斂. 以這級數(shù)的部分和sn 近似代替和s所產(chǎn)生的誤差為

12、 + . 例9判定級數(shù)的收斂性. 定理6(極限審斂法) 設(shè)為正項(xiàng)級數(shù), (1)如果, 則級數(shù)發(fā)散; (2)如果p>1, 而, 則級數(shù)收斂. 例10 判定級數(shù)的收斂性. 解 因?yàn)? 故, 根據(jù)極限審斂法, 知所給級數(shù)收斂. 例11 判定級數(shù)的收斂性. 解 因?yàn)?, 根據(jù)極限審斂法, 知所給級數(shù)收斂. 二、交錯(cuò)級數(shù)及其審斂法 交錯(cuò)級數(shù): 交錯(cuò)級數(shù)是這樣的級數(shù), 它的各項(xiàng)是正負(fù)交錯(cuò)的. 交錯(cuò)級數(shù)的一般形式為, 其中.

13、 例如, 是交錯(cuò)級數(shù), 但不是交錯(cuò)級數(shù). 定理7（萊布尼茨定理） 如果交錯(cuò)級數(shù)滿足條件: (1)unun+1 (n=1, 2, 3, ); (2), 則級數(shù)收斂, 且其和su1, 其余項(xiàng)rn的絕對值|rn|un+1. 簡要證明: 設(shè)前n項(xiàng)部分和為sn. 由s2n=(u1-u2)+(u3-u4)+ +(u2n 1-u2n), 及 s2n=u1-(u2-u3)+(u4-u5)+ +(u2n-2-u2n-1)-u2n 看出數(shù)列{s2n}單調(diào)增加且有界(s2n

14、), 所以收斂. 設(shè)s2ns(n), 則也有s2n+1=s2n+u2n+1s(n), 所以sns(n). 從而級數(shù)是收斂的, 且sn

15、. 值得注意的問題: 如果級數(shù)發(fā)散, 我們不能斷定級數(shù)也發(fā)散. 但是, 如果我們用比值法或根值法判定級數(shù)發(fā)散, 則我們可以斷定級數(shù)必定發(fā)散. 這是因?yàn)? 此時(shí)|un|不趨向于零, 從而un也不趨向于零, 因此級數(shù)也是發(fā)散的. 例14 判別級數(shù)的收斂性. 例15 判別級數(shù)的收斂性. 小結(jié) 1.利用部分和數(shù)列的極限判別級數(shù)的斂散性； 2. 利用正項(xiàng)級數(shù)審斂法； 3. 任意項(xiàng)級數(shù)審斂法：Leibniz判別法。 第三節(jié) 冪函數(shù) 一、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的概念 函數(shù)項(xiàng)級數(shù): 給定一個(gè)定義在區(qū)間I 上的函數(shù)列{un(x

16、)}, 由這函數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式 u1(x)+u2(x)+u3(x)+ +un(x)+ 稱為定義在區(qū)間I上的(函數(shù)項(xiàng))級數(shù), 記為. 收斂點(diǎn)與發(fā)散點(diǎn): 對于區(qū)間I內(nèi)的一定點(diǎn)x0, 若常數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂, 則稱點(diǎn)x0是級數(shù)的收斂點(diǎn). 若常數(shù)項(xiàng)級數(shù)發(fā)散, 則稱點(diǎn)x0是級數(shù)的發(fā)散點(diǎn). 收斂域與發(fā)散域: 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的所有收斂點(diǎn)的全體稱為它的收斂域, 所有發(fā)散點(diǎn)的全體稱為它的發(fā)散域. 和函數(shù): 在收斂域上, 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和是x的函數(shù)s(x), s(x)稱為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和函數(shù), 并

17、寫成. ∑un(x)是的簡便記法, 以下不再重述. 在收斂域上, 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)∑un(x)的和是x的函數(shù)s(x), s(x)稱為函數(shù)項(xiàng)級數(shù)∑un(x)的和函數(shù), 并寫成s(x)=∑un(x). 這函數(shù)的定義就是級數(shù)的收斂域, 部分和: 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的前n項(xiàng)的部分和記作sn(x), 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)∑un(x)的前n項(xiàng)的部分和記作sn(x), 即 sn(x)= u1(x)+u2(x)+u3(x)+ +un(x). 在收斂域上有或sn(x)s(x)(n) . 余項(xiàng): 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和函數(shù)s

18、(x)與部分和sn(x)的差 rn (x)=s(x)-sn(x)叫做函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的余項(xiàng). 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)∑un(x)的余項(xiàng)記為rn (x), 它是和函數(shù)s(x)與部分和sn(x)的差 rn (x)=s(x)-sn(x). 在收斂域上有. 二、冪級數(shù)及其收斂性 冪級數(shù): 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)中簡單而常見的一類級數(shù)就是各項(xiàng)都冪函數(shù)的函數(shù) 項(xiàng)級數(shù), 這種形式的級數(shù)稱為冪級數(shù), 它的形式是 a0+a1x+a2x2+ +anxn+ , 其中常數(shù)a0, a1, a2, , an , 叫做冪級數(shù)的系數(shù). 冪級數(shù)

19、的例子: 1+x+x2+x3+ +xn + , . 注: 冪級數(shù)的一般形式是 a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+ +an(x-x0)n+ , 經(jīng)變換t=x-x0就得a0+a1t+a2t2+ +antn+ . 冪級數(shù) 1+x+x2+x3+ +xn + 可以看成是公比為x的幾何級數(shù). 當(dāng)|x|<1時(shí)它是收斂的; 當(dāng)|x|1時(shí), 它是發(fā)散的. 因此它的收斂 域?yàn)?

20、-1, 1), 在收斂域內(nèi)有 . 定理1 (阿貝爾定理) 如果級數(shù)當(dāng)x=x0 (x00)時(shí)收斂, 則適合不等式 |x|<|x0|的一切x使這冪級數(shù)絕對收斂. 反之, 如果級數(shù)當(dāng) x=x0時(shí)發(fā)散, 則適合不等式|x|>|x0|的一切x使這冪級數(shù)發(fā)散. 提示: ∑anxn是的簡記形式. 簡要證明 設(shè)∑anxn在點(diǎn)x0收斂, 則有anx0n0(n) , 于是數(shù)列{anx0n}有界, 即存在一個(gè)常數(shù)M, 使| anx0n |M(n=0, 1, 2, ). 因?yàn)? , 而當(dāng)時(shí), 等比級數(shù)收斂, 所以級數(shù)∑|anxn|收斂, 也就是級數(shù)∑anxn絕

21、對收斂. 定理的第二部分可用反證法證明. 倘若冪級數(shù)當(dāng)x=x0時(shí)發(fā)散而有一點(diǎn)x1適合|x1|>|x0|使級數(shù)收斂, 則根據(jù)本定理的第一部分, 級數(shù)當(dāng)x=x0時(shí)應(yīng)收斂, 這與所設(shè)矛盾. 定理得證. 推論 如果級數(shù)不是僅在點(diǎn)x=0一點(diǎn)收斂, 也不是在整個(gè)數(shù)軸上都收斂, 則必有一個(gè)完全確定的正數(shù)R存在, 使得 當(dāng)|x|R時(shí), 冪級數(shù)發(fā)散; 當(dāng)x=R與x=-R時(shí), 冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 收斂半徑與收斂區(qū)間: 正數(shù)通常叫做冪級數(shù)的收斂半徑. 開區(qū)間

22、(-R, R)叫做冪級數(shù)的收斂區(qū)間. 再由冪級數(shù)在x=R處的收斂性就可以決定它的收斂域. 冪級數(shù)的收斂域是(-R, R)(或[-R, R)、(-R, R]、[-R, R]之一. 規(guī)定: 若冪級數(shù)只在x=0收斂, 則規(guī)定收斂半徑R=0 , 若冪級數(shù)對一切x都收斂, 則規(guī)定收斂半徑R=+, 這時(shí)收斂域?yàn)?-, +). 定理2 如果, 其中an、an+1是冪級數(shù)的相鄰兩項(xiàng)的系數(shù), 則這冪級數(shù)的收斂半徑 . 簡要證明: . (1)如果0

23、(2)如果r=0, 則冪級數(shù)總是收斂的, 故R=+. (3)如果r=+, 則只當(dāng)x=0時(shí)冪級數(shù)收斂, 故R=0. 例1 求冪級數(shù) 的收斂半徑與收斂域. 解 因?yàn)? 所以收斂半徑為. 當(dāng)x=1時(shí), 冪級數(shù)成為, 是收斂的; 當(dāng)x=-1時(shí), 冪級數(shù)成為, 是發(fā)散的. 因此, 收斂域?yàn)?-1, 1]. 例2 求冪級數(shù)的收斂域. 例3 求冪級數(shù)的收斂半徑. 例4 求冪級數(shù)的收斂半徑. 解 級數(shù)缺少奇次冪的項(xiàng), 定理2不能

24、應(yīng)用. 可根據(jù)比值審斂法來求收斂半徑， 冪級數(shù)的一般項(xiàng)記為. 因?yàn)?, 當(dāng)4|x|2<1即時(shí)級數(shù)收斂; 當(dāng)4|x|2>1即時(shí)級數(shù)發(fā)散, 所以收斂半徑為. 提示: . 例5 求冪級數(shù)的收斂域. 解 令t=x-1, 上述級數(shù)變?yōu)? 因?yàn)?, 所以收斂半徑R=2. 當(dāng)t=2時(shí), 級數(shù)成為, 此級數(shù)發(fā)散; 當(dāng)t=-2時(shí), 級數(shù)成為, 此級數(shù)收斂. 因此級數(shù)的收斂域?yàn)?2t<2. 因?yàn)?2x-1<2, 即-1x<3, 所以原級數(shù)的收斂域?yàn)閇-1, 3). 三、冪級數(shù)的運(yùn)算 設(shè)冪級數(shù)及分別在區(qū)間(-R, R)及(-R, R

25、)內(nèi)收斂, 則在(-R, R)與(-R, R)中較小的區(qū)間內(nèi)有 加法: , 減法: , 設(shè)冪級數(shù)∑anxn及∑bnxn分別在區(qū)間(-R, R)及(-R, R)內(nèi)收斂, 則在(-R, R)與(-R, R)中較小的區(qū)間內(nèi)有 加法: ∑anxn+∑bnxn =∑(an+bn)xn , 減法: ∑anxn-∑bnxn =∑(an-bn)xn . 乘法: =a0b0+(a0b1+a1b0)x+(a0b2+a1b1+a2b0)x2+ +(a0bn+a1bn-1+ +anb0)xn+

26、 性質(zhì)1 冪級數(shù)的和函數(shù)s(x)在其收斂域I上連續(xù). 如果冪級數(shù)在x=R (或x=-R)也收斂, 則和函數(shù)s(x)在(-R, R](或[-R, R))連續(xù). 性質(zhì)2 冪級數(shù)的和函數(shù)s(x)在其收斂域I上可積, 并且有逐項(xiàng)積分公式 (xI ), 逐項(xiàng)積分后所得到的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑. 性質(zhì)3 冪級數(shù)的和函數(shù)s(x)在其收斂區(qū)間(-R, R)內(nèi)可導(dǎo), 并且有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式 (|x|

27、 解 求得冪級數(shù)的收斂域?yàn)閇-1, 1). 設(shè)和函數(shù)為s(x), 即, x[-1, 1). 顯然s(0)=1. 在的兩邊求導(dǎo)得 . 對上式從0到x積分, 得 . 于是, 當(dāng)x 0時(shí), 有. 從而. 因?yàn)? , 所以, 當(dāng)x0時(shí), 有, 從而 . 提示: 應(yīng)用公式, 即. . 例7 求級數(shù)的和. 小結(jié) 1.求冪級數(shù)收斂域和收斂半徑的方法； 2. 冪級數(shù)的性質(zhì)。 第四節(jié) 函數(shù)展開成冪級數(shù) 一、泰勒級數(shù) 要解決的問題: 給定函數(shù)f(

28、x), 要考慮它是否能在某個(gè)區(qū)間內(nèi)“展開成冪級數(shù)”, 就是說, 是否能找到這樣一個(gè)冪級數(shù), 它在某區(qū)間內(nèi)收斂, 且其和恰好就是給定的函數(shù)f(x). 如果能找到這樣的冪級數(shù), 我們就說, 函數(shù)f(x)在該區(qū)間內(nèi)能展開成冪級數(shù), 或簡單地說函數(shù)f(x)能展開成冪級數(shù), 而該級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)就表達(dá)了函數(shù)f(x). 泰勒多項(xiàng)式: 如果f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù), 則在該鄰域內(nèi)f(x)近似等于 , 其中(x介于x與x0之間). 泰勒級數(shù): 如果f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)f(x),

29、 f(x), , f (n)(x), , 則當(dāng)n時(shí), f(x)在點(diǎn)x0的泰勒多項(xiàng)式 成為冪級數(shù) 這一冪級數(shù)稱為函數(shù)f(x)的泰勒級數(shù). 顯然, 當(dāng)x=x0時(shí), f(x)的泰勒級數(shù)收斂于f(x0). 需回答的問題: 除了x=x0外, f(x)的泰勒級數(shù)是否收斂? 如果收斂, 它是否一定收斂于f(x)? 定理 設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域U(x0)內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù), 則f(x)在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級數(shù)的充分必要條件是f(x)的泰勒公式中的余項(xiàng)Rn(x)當(dāng)n0時(shí)的極限為零, 即 . 證明 先證必要性

30、. 設(shè)f(x)在U(x0)內(nèi)能展開為泰勒級數(shù), 即 , 又設(shè)sn+1(x)是f(x)的泰勒級數(shù)的前n+1項(xiàng)的和, 則在U(x0)內(nèi)sn+1(x) f(x)(n). 而f(x)的n階泰勒公式可寫成f(x)=sn+1(x)+Rn(x), 于是R n(x)=f(x)-sn+1(x)0(n). 再證充分性. 設(shè)Rn(x)0(n)對一切xU(x0)成立. 因?yàn)閒(x)的n階泰勒公式可寫成f(x)=sn+1(x)+R n(x), 于是sn+1(x)=f(x)-R n(x)f(x), 即f(x)的泰勒級數(shù)在U(x0)內(nèi)收斂, 并且收斂于f(x).

31、 麥克勞林級數(shù): 在泰勒級數(shù)中取x0=0, 得 , 此級數(shù)稱為f(x)的麥克勞林級數(shù). 展開式的唯一性: 如果f(x)能展開成x的冪級數(shù), 那么這種展式是唯一的, 它一定與f(x)的麥克勞林級數(shù)一致. 這是因?yàn)? 如果f(x)在點(diǎn)x0=0的某鄰域(-R, R)內(nèi)能展開成x的冪級數(shù), 即 f(x)=a0+a1x+a2x2+ +anxn + , 那么根據(jù)冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項(xiàng)求導(dǎo), 有 f (x)=a1+2a2x+3a3x2+ +nanxn-1+ , f (x)=2!a2+32a3x+ + n(n

32、-1)anxn-2 + , f (x)=3!a3+ +n(n-1)(n-2)anxn-3 + , f (n)(x)=n!an+(n+1)n(n-1) 2an+1x + , 于是得 a0=f(0), a1=f (0), , , , . 應(yīng)注意的問題: 如果f(x)能展開成x的冪級數(shù), 那么這個(gè)冪級數(shù)就是f(x)的麥克勞林級數(shù). 但是, 反過來如果f(x)的麥克勞林級數(shù)在點(diǎn)x0=0的某鄰域內(nèi)收斂, 它卻不一定收斂于f(x). 因此, 如果f(

33、x)在點(diǎn)x0=0處具有各階導(dǎo)數(shù), 則f(x)的麥克勞林級數(shù)雖然能作出來, 但這個(gè)級數(shù)是否在某個(gè)區(qū)間內(nèi)收斂, 以及是否收斂于f(x)卻需要進(jìn)一步考察. 二、函數(shù)展開成冪級數(shù) 展開步驟: 第一步 求出f (x)的各階導(dǎo)數(shù)： f (x), f (x), , f (n)(x), . 第二步 求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在x=0 處的值： f(0), f (0), f (0), , f (n)( 0), . 第三步 寫出冪級數(shù)：, 并求出收斂半徑R. 第四步 考察在區(qū)間(-R, R)內(nèi)時(shí)是否Rn(x)0(n).

34、 是否為零. 如果Rn(x)0(n), 則f(x)在(-R, R)內(nèi)有展開式 (-R

35、. (-1

36、 . 例8 將函數(shù)展開成(x-1)的冪級數(shù). 提示: ,. , , 收斂域的確定: 由和得. 展開式小結(jié): , , , , , . 小結(jié) 1.函數(shù)的冪級數(shù)展開式； 2.常用函數(shù)的冪級數(shù)展開式； 練習(xí)題 (A) 用定義判斷下列級數(shù)的斂散性 1． ；2．；3．。 判斷下列正項(xiàng)級數(shù)的斂散性 4．；5．；6．；7．；8．； 9．；10．。 求下列任意項(xiàng)級數(shù)的斂散性，收斂時(shí)要說明條件收斂或絕對收斂 11．；12．；13．； 14．； 求下列冪級數(shù)的收斂半

37、徑和收斂區(qū)間 15．；16．；17．；18．； 19．；20．； 求下列級數(shù)的和函數(shù) 21．；22．； 將下列函數(shù)展開成的冪的級數(shù) 23．，；24．，； 25．，；26．，； (B) 用定義判斷下列級數(shù)的斂散性 1．；2．；3．； 判斷下列正項(xiàng)級數(shù)的斂散性 4．；5．；6．，()； 7．，其中()，，，均為正數(shù)； 8．，()；9．； 判斷下列任意項(xiàng)級數(shù)的斂散性，收斂時(shí)要說明條件收斂或絕對收斂 10．；11．；12．； 求下列冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域 13．；14．，(,)； 15．；16．； 求下列級數(shù)的和函數(shù) 17．；18．；19．； 20．求證：

38、； 將下列函數(shù)展開成的冪的級數(shù) 21．，；22．，；23．，； (C) 1．用定義判斷下列級數(shù)的斂散性 2．設(shè)，，判斷級數(shù) 的斂散性。 判斷下列正項(xiàng)級數(shù)的斂散性 3．；4．；5．； 6．判斷級數(shù)的斂散性。 求下列冪級數(shù)的收斂半徑和收斂區(qū)間 7．；8．； 求下列級數(shù)的和 9． 10．展開為冪級數(shù)，并推出。 11．求級數(shù)的收斂區(qū)間及和函數(shù)。 (A) 1．解：∵，(),∴原級數(shù)發(fā)散。 2．解：∵，()，∴原級數(shù)收斂且和為。 3．解：∵ ，()，∴原級數(shù)收斂且和為。 4．解：∵，∴由比值判別法知原級數(shù)發(fā)散。 5．解：∵，∴由比值判別法知，原級數(shù)收斂。 6

39、．解：∵，∴原級數(shù)發(fā)散。 7．解：∵，而發(fā)散，∴由比較判別法知原級數(shù)發(fā)散。 8．解：∵，∴由比值判別法知，原級數(shù)收斂。 9．解：∵，∴由比值判別法知，原級數(shù)收斂。 10．解：∵，而，故，∴由比值判別法知，原級數(shù)收斂。 11．解：，由正項(xiàng)級數(shù)的比值判別可知，此級數(shù)收斂，故原級數(shù)絕對收斂。 12．解：，而發(fā)散，故發(fā)散。因此原級數(shù)非絕對收斂，又，顯然，，且，故由萊布尼茲判別法知原級數(shù)條件收斂。 13．解：∵，∴原級數(shù)發(fā)散。 14．解：此為交錯(cuò)級數(shù)，∵，()而級數(shù)發(fā)散，故發(fā)散，即原級數(shù)非絕對收斂，顯然單調(diào)遞減且趨向于零，故原級數(shù)條件收斂。 15．解：∵，∴，當(dāng)時(shí)，級數(shù)為發(fā)散，當(dāng)時(shí)，級

40、數(shù)為收斂。故原級數(shù)的收斂區(qū)間為。 16．解：∵，，∴，收斂區(qū)間為。 17．解：∵，，∴。 18．解：∵，∴。故當(dāng)，即時(shí)收斂，當(dāng)或時(shí)發(fā)散，當(dāng)時(shí)，級數(shù)為，收斂；當(dāng)時(shí)，級數(shù)為，發(fā)散。故收斂區(qū)間為。 19．解：∵，，當(dāng)時(shí)，即時(shí)收斂，當(dāng)，即或時(shí)發(fā)散，∴。當(dāng)時(shí)原級數(shù)為，發(fā)散，故收斂區(qū)間為。 20．解：∵，，∴，當(dāng)時(shí)，原級數(shù)，發(fā)散。故收斂區(qū)間為。 21．解：設(shè)，， ∴，。 22．解：設(shè)，，則 ， 即， ∴，。 23．解：，。 24．解： ，。 25．解：， 。 26．解： ，即 (B) 1．解：

41、∵, ，∴原級數(shù)收斂且和為。 2．解：∵ ，，∴原級數(shù)收斂且和為。 3．解：∵ ，，∴原級數(shù)收斂且和為。 4．解：∵，∴由比值判別法知原級數(shù)收斂。 5．解：∵，∴由根值判別法知原級數(shù)收斂。 6．解：∵當(dāng)充分大時(shí)有，而，故，∴由根值判別法知原級數(shù)收斂。 7．解：∵，，∴當(dāng)，即 時(shí)，原級數(shù)收斂；，即 ，原級數(shù)發(fā)散，當(dāng)時(shí)不定。 8．解：當(dāng)時(shí)，∵，∴級數(shù)發(fā)散。 當(dāng)時(shí)，∵，()，而收斂，∴級數(shù)發(fā)散。 9．解：∵，∵收斂，∴由比較判別法知級數(shù)收斂。 10．解：∵，，故也發(fā)散，故也非條件收斂。 11．解：∵，而發(fā)散，故級數(shù)發(fā)散，即原級數(shù)非絕對收斂，原級數(shù)為交錯(cuò)級數(shù)，顯

42、然數(shù)列單調(diào)遞減且收斂于零，故由萊布尼茲判別法知，原級數(shù)條件收斂。 12．解：∵，而發(fā)散，∴發(fā)散，即原級數(shù)非絕對收斂。 記原級數(shù)為為交錯(cuò)級數(shù)，∵ 又，即，故由萊布尼茲判別法知原級數(shù)收斂，故原級數(shù)條件收斂。 13．解：∵，，故對，原級數(shù)收斂，所以收斂半徑為，收斂區(qū)間為。 14．∵，∴，當(dāng)時(shí)，原級數(shù)發(fā)散，故收斂區(qū)間為，其中。 15．解：∵，， ∴當(dāng)，即時(shí)，原級數(shù)收斂，當(dāng)，即或時(shí)，原級數(shù)發(fā)散，當(dāng)，原級數(shù)收斂，當(dāng)時(shí)原級數(shù)也收斂。故原級數(shù)收斂半徑為2，收斂區(qū)間為。 16．解：∵，，∴，當(dāng)，即，原級數(shù)收斂。當(dāng)時(shí)，原級數(shù)收斂，當(dāng)時(shí)，原級數(shù)發(fā)散。故原級數(shù)的收斂區(qū)間為。 17．解：，但 ，故有，

43、。 18．解：∵，，而 ， ∴，。 19．解：∵， ∵ ，故 ，。 20．證明：考慮級數(shù)，，逐項(xiàng)微分得：，。 ，取，得。 21．解：，，，， 。 ∴，。 22．解： ，()。 23．解：∵ ， ∴，。 (C) 1．解： , 故原級數(shù)收斂，且和為。 2．證：，由比較判別法知原正項(xiàng)級數(shù)收斂。 3．解：∵，，∴由比值判別法知，原級數(shù)發(fā)散。 4．解：考慮函數(shù)，，，由得，易知時(shí)的最大值，所以當(dāng)?shù)兀?，∴，但為收斂的幾何級?shù)，∴原級數(shù)也收斂。 5．解：，∵有；而當(dāng)時(shí)，有，

44、∴當(dāng)時(shí)，，而級九可判別其是收斂的，∴原級數(shù)收斂。 6．解：因?yàn)橐阎墧?shù) 條件收斂的級數(shù)。設(shè)其部分和數(shù)極限為，則有，而級數(shù)，取其前項(xiàng)，其和與的部分和相等且為，當(dāng)時(shí)，，故原級數(shù)收斂且和為。 7．解：，，當(dāng)，即時(shí)，收斂；當(dāng)時(shí)發(fā)散。故，當(dāng)時(shí)，級數(shù)為發(fā)散，故原級數(shù)收斂域?yàn)椤? 8．解：，由于，而當(dāng)，故；當(dāng)時(shí)，原級數(shù)為，由于通項(xiàng)不以零為極限，故發(fā)散。所以原級數(shù)的收斂域?yàn)椤? 9．解：當(dāng)時(shí)，級數(shù)收斂。設(shè)，，則，，，，兩邊積分得： ，(∵)； 再積分一次 ，(∵)； ∴，即原級數(shù)的和。 10．解：∵，∴ 因?yàn)楫?dāng)時(shí)， 又當(dāng)時(shí)， 故展開式對所有的均成立，在展開式中令，得 。 11．解：，()，故當(dāng)，即當(dāng)時(shí)級數(shù)收斂，當(dāng)時(shí)級數(shù)發(fā)散，因此原級數(shù)收斂區(qū)間為，且 ，。