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1、
課時提升作業(yè)(六十五) 選修4-4 第二節(jié) 參數(shù)方程
一、選擇題
1.已知直線l:x=t,y=t+1(t為參數(shù)),圓C:ρ=2cosθ,則圓心C到直線l的距離是
( )
(A)2 (B)3 (C)2 (D)1
2.參數(shù)方程x=2cosθ,y=sinθ(θ為參數(shù))和極坐標(biāo)方程ρ=-6cosθ所表示的圖形分別是
( )
(A)圓和直線 (B)直線和直線
(C)橢圓和直線 (D)橢圓和圓
3.(2013惠州模擬)直線x=1+2t,y=2+t(t為參數(shù))被圓x2+y2=9截得的弦長為( )
(A)125 (B)1255
(C)955
2、 (D)9510
二、填空題
4.(2012北京高考)直線x=2+t,y=-1-t(t為參數(shù))與曲線x=3cosα,y=3sinα(α為參數(shù))的交點個數(shù)為 .
5.(2012天津高考)已知拋物線的參數(shù)方程為
x=2pt2,y=2pt(t為參數(shù)),其中p>0,焦點為F,準(zhǔn)線為l.過拋物線上一點M作l的垂線,垂足為E.若|EF|=|MF|,點M的橫坐標(biāo)是3,則p= .
6.(2013咸陽模擬)若直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ-π4)=32,圓C:x=cosφ,y=sinφ(φ為參數(shù))上的點到直線l的距離為d,則d的最大值為 .
三、解答題
7.已知直線l過
3、點P(1,-33),傾斜角為π3,求直線l與直線l:y=x-23的交點Q與點P的距離|PQ|.
8.(2013三明模擬)已知極坐標(biāo)系的極點與直角坐標(biāo)系的原點重合,極軸與直角坐標(biāo)系中x軸的正半軸重合.圓C的參數(shù)方程為x=1+2cosα,y=-1+2sinα(α為參數(shù)),點Q的極坐標(biāo)為(22,7π4).
(1)化圓C的參數(shù)方程為極坐標(biāo)方程.
(2)若點P是圓C上的任意一點,求P,Q兩點距離的最小值.
9.在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為x=t,y=1+kt(t為參數(shù)),以O(shè)為原點,Ox軸為極軸,單位長度不變,建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ=
4cosθ.
(1)
4、寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程.
(2)若直線l和曲線C相切,求實數(shù)k的值.
10.已知直線l經(jīng)過點P(1,1),傾斜角α=π6,
(1)寫出直線l的參數(shù)方程.
(2)設(shè)l與圓x2+y2=4相交于兩點A,B,求點P到A,B兩點的距離之積.
11.已知某圓的極坐標(biāo)方程是ρ2-42ρcos(θ-π4)+6=0,
求:(1)圓的普通方程和一個參數(shù)方程.
(2)圓上所有點(x,y)中xy的最大值和最小值.
12.(2012新課標(biāo)全國卷)已知曲線C1的參數(shù)方程是C1:x=2cosφ,y=3sinφ(φ為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)
5、方程是ρ=2,正方形ABCD的頂點都在C2上,且A,B,C,D依逆時針次序排列,點A的極坐標(biāo)為(2,π3).
(1)求點A,B,C,D的直角坐標(biāo).
(2)設(shè)P為C1上任意一點,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范圍.
答案解析
1.【解析】選C.直線l:x=t,y=t+1(t為參數(shù))的普通方程為x-y+1=0,圓C:ρ=
2cosθ的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2x=0,即(x-1)2+y2=1,則圓心C(1,0)到直線l的距離d=|1-0+1|2=2.
2.【解析】選D.參數(shù)方程x=2cosθ,y=sinθ(θ為參數(shù))的普通方程為x24+y2=1,表
6、示橢圓.極坐標(biāo)方程ρ=-6cosθ的直角坐標(biāo)方程為(x+3)2+y2=9,表示圓.
3.【解析】選B.x=1+2t,y=2+t?x=1+5t25,y=2+5t15,
把直線代入x2+y2=9,得(1+2t)2+(2+t)2=9,
即5t2+8t-4=0,
∴|t1-t2|=(t1+t2)2-4t1t2=(-85)2+165=125.
∴弦長為5|t1-t2|=1255.
4.【解析】方法一:由直線x=2+t,y=-1-t(t為參數(shù))與曲線x=3cosα,y=3sinα(α為參數(shù))的參數(shù)方程得(2+t)2+(-1-t)2=9,整理,得
t2+3t-2=0,方程有兩個不相等的實數(shù)根,
7、所以直線與曲線的交點個數(shù)有2個.
方法二:將直線x=2+t,y=-1-t(t為參數(shù))與曲線x=3cosα,y=3sinα(α為參數(shù))的參數(shù)方程分別化為直角坐標(biāo)方程,得x+y-1=0,
x2+y2=9.原點(圓心)到直線的距離為d=12
8、角坐標(biāo)方程為x+y-6=0,圓C:x=cosφ,y=sinφ(φ為參數(shù))的普通方程為x2+y2=1,圓心(0,0)到直線l的距離為d=|-6|2=32>r=1,所以直線與圓相離,所以圓上的點到直線l的距離d的最大值為32+1.
答案：32+1
7.【解析】∵l過點P(1,-33),傾斜角為π3,
∴l(xiāng)的參數(shù)方程為x=1+tcosπ3,y=-33+tsinπ3(t為參數(shù)),
即x=1+12t,y=-33+32t(t為參數(shù)),
代入y=x-23得
-33+32t=1+12t-23,
解得t=4+23.
即t=23+4為直線l與l的交點Q所對應(yīng)的參數(shù)值,根據(jù)參數(shù)t的幾何意義,可知|t
9、|=|PQ|,
∴|PQ|=4+23.
8.【解析】(1)圓C的直角坐標(biāo)方程為(x-1)2+(y+1)2=4,
展開得x2+y2-2x+2y-2=0,
化為極坐標(biāo)方程為ρ2-2ρcosθ+2ρsinθ-2=0.
(2)點Q的直角坐標(biāo)為(2,-2),且點Q在圓C內(nèi),
因為|QC|=2,所以P,Q兩點距離的最小值為|PQ|=2-2.
9.【解析】(1)由x=t,y=1+kt得直線l的普通方程為y=kx+1.
由ρsin2θ=4cosθ得ρ2sin2θ=4ρcosθ,y2=4x,
曲線C的直角坐標(biāo)方程為y2=4x.
(2)把y=kx+1代入y2=4x得k2x2+(2k-4)x+1
10、=0,由Δ=(2k-4)2-4k2=0,解得k=1.
10.【解析】(1)直線的參數(shù)方程為x=1+tcosπ6,y=1+tsinπ6,(t為參數(shù))
即x=1+32t,y=1+12t(t為參數(shù))
(2)把直線的參數(shù)方程x=1+32t,y=1+12t(t為參數(shù))代入x2+y2=4得
(1+32t)2+(1+12t)2=4,t2+(3+1)t-2=0,
∴t1t2=-2,則點P到A,B兩點的距離之積為2.
11.【解析】(1)由ρ2-42ρcos(θ-π4)+6=0,得
ρ2-42(ρcosθ22+ρsinθ22)+6=0,
∴普通方程為x2+y2-4x-4y+6=0,即(x-2)2
11、+(y-2)2=2.
一個參數(shù)方程為x=2+2cosθ,y=2+2sinθ.(θ為參數(shù))
(2)xy=(2+2cosθ)(2+2sinθ)
=4+22(sinθ+cosθ)+2sinθcosθ
令sinθ+cosθ=t∈[-2,2]得
2sinθcosθ=t2-1,
xy=t2+22t+3=(t+2)2+1,
∴當(dāng)t=-2時,(xy)min=1,
當(dāng)t=2時,(xy)max=9.
12.【解析】(1)因為曲線C2的極坐標(biāo)方程ρ=2,所以曲線C2是圓心在極點,半徑為2的圓,正方形ABCD的頂點都在C2上,且A,B,C,D依逆時針次序排列,點A的極坐標(biāo)為(2,π3),故B(2,5
12、π6),
由對稱性得,直角坐標(biāo)分別為A(1,3),B(-3,1),C(-1,-3),D(3,-1).
(2)由于點P為曲線C1:x=2cosφ,y=3sinφ(φ為參數(shù))上任意一點,得P(2cosφ,3sinφ),則|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2
=(2cosφ-1)2+(3sinφ-3)2+(2cosφ+3)2+(3sinφ-1)2+(2cosφ+1)2+(3sinφ+3)2+(2cosφ-3)2+(3sinφ+1)2=16cos2φ+36sin2φ+16=32+20sin2φ
因為32≤32+20sin2φ≤52,
所以|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范圍是[32,52].
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