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1、
課時(shí)提升作業(yè)(六十四) 選修4-4 第一節(jié) 坐標(biāo)系
一、選擇題
1.在以O(shè)為極點(diǎn)的極坐標(biāo)系中,直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程是ρcosθ-2=0,直線(xiàn)l與極軸相交于點(diǎn)M,以O(shè)M為直徑的圓的極坐標(biāo)方程是 ( )
(A)ρ=2cosθ (B)ρ=2sinθ
(C)2ρ=cosθ (D)ρ=2+cosθ
2.(2013惠州模擬)已知點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(1,π),則過(guò)點(diǎn)P且垂直于極軸的直線(xiàn)方程為 ( )
(A)ρ=1 (B)ρ=cosθ
(C)ρ=-1cosθ (D)ρ=1cosθ
3.在極坐標(biāo)系中,與圓ρ=4sinθ相切的一條直線(xiàn)的方程是 ( )
(A)ρsin
2、θ=2 (B)ρcosθ=2
(C)ρcosθ=4 (D)ρcosθ=-4
二、填空題
4.(2012陜西高考)直線(xiàn)2ρcosθ=1與圓ρ=2cosθ相交的弦長(zhǎng)為 .
5.(2012江西高考)曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2x=0,以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立坐標(biāo)系,則曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為 .
6.在極坐標(biāo)系中,點(diǎn)(2,π3)到圓ρ=2cosθ的圓心的距離為 .
三、解答題
7.在極坐標(biāo)系中,已知圓C的圓心C(3,π3),半徑r=3.
(1)求圓C的極坐標(biāo)方程.
(2)若Q點(diǎn)在圓C上運(yùn)動(dòng),P在OQ的延長(zhǎng)線(xiàn)上,且OQ→=2QP→,求
3、動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.
8.在極坐標(biāo)系中,點(diǎn)M的坐標(biāo)是(2,π3),曲線(xiàn)C的方程為ρ=22sin(θ+π4);以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)M和極點(diǎn).
(1)寫(xiě)出直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程和曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程.
(2)直線(xiàn)l和曲線(xiàn)C相交于兩點(diǎn)A,B,求線(xiàn)段AB的長(zhǎng).
9.從極點(diǎn)O作直線(xiàn)l與另一直線(xiàn)ρcosθ=4相交于點(diǎn)M,在OM上取一點(diǎn)P,使OM→OP→=16.
(1)求點(diǎn)P的軌跡方程.
(2)圓N的方程為(x-2-5cosθ)2+(y-5sinθ)2=1(θ∈R),過(guò)圓N上任意一點(diǎn)K作P的軌跡的兩條切線(xiàn)KE,KF,切點(diǎn)分別為E,F,求KE→KF→的最小
4、值.
10.已知圓C的極坐標(biāo)方程ρ=2asinθ,求:
(1)圓C關(guān)于極軸對(duì)稱(chēng)的圓的極坐標(biāo)方程.
(2)圓C關(guān)于直線(xiàn)θ=3π4對(duì)稱(chēng)的圓的極坐標(biāo)方程.
11.在直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)為極點(diǎn),x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ-π3)=1,M,N分別為C與x軸,y軸的交點(diǎn).
(1)寫(xiě)出C的直角坐標(biāo)方程,并求M,N的極坐標(biāo).
(2)設(shè)MN的中點(diǎn)為P,求直線(xiàn)OP的極坐標(biāo)方程.
12.(2013福州模擬)已知橢圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2=123cos2θ+4sin2θ,點(diǎn)F1,F2為其左、右焦點(diǎn),直線(xiàn)l的參數(shù)方程為x=2-22t,y=-22t(t為參數(shù),t∈R)
5、.
(1)求直線(xiàn)l和曲線(xiàn)C的普通方程.
(2)求點(diǎn)F1,F2到直線(xiàn)l的距離之和.
答案解析
1.【解析】選A.直線(xiàn)l:ρcosθ-2=0的直角坐標(biāo)方程是x=2,直線(xiàn)l與x軸相交于點(diǎn)M(2,0),以O(shè)M為直徑的圓的直角坐標(biāo)方程為(x-1)2+y2=1,即x2-2x+y2=0,化為極坐標(biāo)方程是ρ2-2ρcosθ=0,即ρ=2cosθ.
2.【解析】選C.由點(diǎn)P坐標(biāo)知,過(guò)點(diǎn)P且垂直于極軸的直線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為x=-1,化為極坐標(biāo)方程為ρcosθ=-1,故選C.
3.【解析】選B.方法一:圓的極坐標(biāo)方程ρ=4sinθ即ρ2=4ρsinθ,所以直角坐標(biāo)方程為x2+y2-4y=0.
6、
選項(xiàng)A,直線(xiàn)ρsinθ=2的直角坐標(biāo)方程為y=2,代入圓的方程,得x2=4,∴x=2,不符合題意;
選項(xiàng)B,直線(xiàn)ρcosθ=2的直角坐標(biāo)方程為x=2,代入圓的方程,得(y-2)2=0,∴y=2,符合題意.同理,以后選項(xiàng)都不符合題意.
方法二:如圖,☉C的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ,
CO⊥Ox,OA為直徑,|OA|=4,直線(xiàn)l和圓相切,
l交極軸于點(diǎn)B(2,0),點(diǎn)P(ρ,θ)為l上任意一點(diǎn),
則有cosθ=|OB||OP|=2ρ,得ρcosθ=2.
4.【解析】直線(xiàn)2ρcosθ=1與圓ρ=2cosθ的普通方程為2x=1和(x-1)2+y2=1,圓心到直線(xiàn)的距離為1-12=12
7、,
∴弦長(zhǎng)為21-(12)2=3.
答案：3
5.【解析】∵x2+y2=ρ2,
∴x=ρcosθ,代入直角坐標(biāo)方程整理得ρ2-2ρcosθ=0,
∴ρ-2cosθ=0.
即極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ.
答案：ρ=2cosθ
6.【解析】由x=ρcosθ,y=ρsinθ及ρ=2cosθ,
得x=2cos2θ,y=2cosθsinθ,
則x=1+cos2θ,y=sin2θ,所以(x-1)2+y2=1,即圓心坐標(biāo)為(1,0),而點(diǎn)(2,π3)在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(1,3),所以所求的距離為3.
答案：3
7.【解析】(1)設(shè)M(ρ,θ)是圓C上任意一點(diǎn),在△OCM中,∠CO
8、M=|θ-π3|,由余弦定理,得CM2=OM2+OC2-2OMOCcos∠COM,
∴32=ρ2+32-23ρcos(θ-π3),
即ρ=6cos(θ-π3)為所求.
(2)設(shè)點(diǎn)Q為(ρ1,θ1),點(diǎn)P為(ρ,θ),由OQ→=2QP→,得OQ→=2(OP→-OQ→).
∴OQ→=23OP→,∴ρ1=23ρ,θ1=θ,代入圓方程ρ=
6cos(θ-π3)得23ρ=6cos(θ-π3),
即ρ=9cos(θ-π3)為所求.
8.【解析】(1)∵直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)M(2,π3)和極點(diǎn),
∴直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程是θ=π3(ρ∈R),
ρ=22sin(θ+π4)即ρ=2(sinθ+cosθ),
9、
兩邊同乘以ρ得ρ2=2(ρsinθ+ρcosθ),
∴曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2x-2y=0.
(2)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(1,3),直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)M和原點(diǎn),
∴直線(xiàn)l的直角坐標(biāo)方程為y=3x,
曲線(xiàn)C的圓心坐標(biāo)為(1,1),半徑r=2,圓心到直線(xiàn)l的距離為d=3-12,
∴|AB|=3+1.
9.【解析】(1)方法一:設(shè)P(ρ,θ),M(4cosθ,θ),
OM→OP→=16,ρ4cosθ=16,
ρ=4cosθ(扣除極點(diǎn)).
方法二:設(shè)平面直角坐標(biāo)系下P點(diǎn)的坐標(biāo)為P(x,y),M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為ym,
xy=4ym,所以ym=4yx.
因?yàn)镺M→OP→=16,
所以
10、x2+y2=4x(扣除原點(diǎn)).
(2)點(diǎn)P的軌跡是以(2,0)為圓心,以2為半徑的圓.
設(shè)其圓心為A,|KA|的長(zhǎng)為t,
KE→KF→=|KE→||KF→|cos∠EKF
=(1-2sin2∠AKE)=(|KA→|2-4)(1-24|KA→|2)=t2+32t2-12,
因?yàn)閨NA→|=5,所以4≤t≤6,
設(shè)f(t)=t2+32t2-12,則f(t)=2t(t4-32)t4,
t∈[4,6]時(shí),f(t)>0,所以f(t)單增,
所以,f(t)的最小值為f(4)=6.
10.【解析】方法一:設(shè)所求圓上任意一點(diǎn)M的極坐標(biāo)為(ρ,θ).
(1)點(diǎn)M(ρ,θ)關(guān)于極軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為M
11、(ρ,-θ),代入圓C的方程ρ=2asinθ,得ρ=2asin(-θ),
即ρ=-2asinθ為所求.
(2)點(diǎn)M(ρ,θ)關(guān)于直線(xiàn)θ=3π4對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為(ρ,3π2-θ),代入圓C的方程ρ=
2asinθ,得ρ=2asin(3π2-θ),
即ρ=-2acosθ為所求.
方法二:由圓的極坐標(biāo)方程ρ=2asinθ,
得ρ2=2ρa(bǔ)sinθ,
利用公式x=ρcosθ,y=ρsinθ,ρ=x2+y2,
化為直角坐標(biāo)方程為x2+y2=2ay.
即x2+(y-a)2=a2,故圓心為C(0,a),半徑為|a|.
(1)關(guān)于極軸對(duì)稱(chēng)的圓的圓心為(0,-a),圓的方程為x2+(y+a)2=a
12、2,即x2+y2=-2ay,
∴ρ2=-2ρa(bǔ)sinθ,故ρ=-2asinθ為所求.
(2)由θ=3π4得tanθ=-1,故直線(xiàn)θ=3π4的直角坐標(biāo)方程為y=-x,
圓x2+(y-a)2=a2關(guān)于直線(xiàn)y=-x對(duì)稱(chēng)的圓的方程為(-y)2+(-x-a)2=a2,
即(x+a)2+y2=a2,于是x2+y2=-2ax.
∴ρ2=-2ρa(bǔ)cosθ.
此圓的極坐標(biāo)方程為ρ=-2acosθ.
11.【解析】(1)由ρcos(θ-π3)=1得ρ(12cosθ+32sinθ)=1.
從而C的直角坐標(biāo)方程為12x+32y=1.
即x+3y=2.當(dāng)θ=0時(shí),ρ=2,所以M(2,0);
當(dāng)θ=π2時(shí),ρ=233,所以N(233,π2).
(2)M點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(2,0),N點(diǎn)的直角坐標(biāo)為
(0,233).所以P點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(1,33),則P點(diǎn)的極坐標(biāo)為(233,π6).
所以直線(xiàn)OP的極坐標(biāo)方程為θ=π6(ρ∈R).
12.【解析】(1)直線(xiàn)l普通方程為y=x-2,曲線(xiàn)C的普通方程為x24+y23=1.
(2)∵F1(-1,0),F2(1,0),
∴點(diǎn)F1到直線(xiàn)l距離為d1=|-1-0-2|2=322,
點(diǎn)F2到直線(xiàn)l距離為d2=|1-0-2|2=22,
∴d1+d2=22.
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