《第2章 單自由度系統(tǒng)計(jì)算固有頻率的能量法》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《第2章 單自由度系統(tǒng)計(jì)算固有頻率的能量法（32頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、 返回首頁(yè)第第2 2章章 單自由度系統(tǒng)單自由度系統(tǒng)-Theory of Vibration with Applications第第2 2章章 單自由度系統(tǒng)單自由度系統(tǒng)-2 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications第第2 2章章 單自由度系統(tǒng)單自由度系統(tǒng)-第第2 2章章 單自由度系統(tǒng)單自由度系統(tǒng)-3 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications第第2 2章章 單自由度系統(tǒng)單自由度系統(tǒng)-第第2 2章章 單自由度系統(tǒng)單自由度系統(tǒng)-4 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications 0
2、kxxm 在上面方程的兩邊乘以txxd/d，得到 0ddddtxkxtxxm 上式的物理意義是慣性力的功率與彈性力的功率之和為零。可以改寫(xiě)為 0dd2122tkxxm 令 2T21xmE，221kxU 它們分別是系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能。因而 常數(shù)EUET 由此可見(jiàn)，無(wú)阻尼自由振動(dòng)時(shí)，振動(dòng)系統(tǒng)為一保守系統(tǒng)，總機(jī)械能在運(yùn)動(dòng)中保持不變。 等于系統(tǒng)初始時(shí)刻的總機(jī)械能。等于系統(tǒng)初始時(shí)刻的總機(jī)械能。第第2 2章章 單自由度系統(tǒng)單自由度系統(tǒng)-第第2 2章章 單自由度系統(tǒng)單自由度系統(tǒng)-5 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications 位移函數(shù) )cos(ntAx 系統(tǒng)動(dòng)能 tA
3、mTn222nsin21 系統(tǒng)勢(shì)能 tkAUn22cos21tAmTn222nsin21 系統(tǒng)勢(shì)能 tkAUn22cos21 機(jī)械能守恒 222max21nnTTmAE2max21kAUTE注：以上動(dòng)能、勢(shì)能均是振動(dòng)系統(tǒng)振動(dòng)元件的動(dòng)能、勢(shì)能注：以上動(dòng)能、勢(shì)能均是振動(dòng)系統(tǒng)振動(dòng)元件的動(dòng)能、勢(shì)能第第2 2章章 單自由度系統(tǒng)單自由度系統(tǒng)-第第2 2章章 單自由度系統(tǒng)單自由度系統(tǒng)-6 返回首頁(yè)Theory of Vibration with ApplicationsTUnmax2瑞利商：瑞利商：maxmaxUET注：以上表達(dá)式中的質(zhì)量、剛度均是等效質(zhì)注：以上表達(dá)式中的質(zhì)量、剛度均是等效質(zhì)量與等效剛度量與
4、等效剛度第第2 2章章 單自由度系統(tǒng)單自由度系統(tǒng)-第第2 2章章 單自由度系統(tǒng)單自由度系統(tǒng)-7h解：取平衡位置為勢(shì)能零解：取平衡位置為勢(shì)能零點(diǎn)，此時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能點(diǎn)，此時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能與與m的重力勢(shì)能之和為零。的重力勢(shì)能之和為零。在振動(dòng)的初始位置，系統(tǒng)在振動(dòng)的初始位置，系統(tǒng)的動(dòng)能為零，總機(jī)械能等的動(dòng)能為零，總機(jī)械能等于系統(tǒng)的勢(shì)能。于系統(tǒng)的勢(shì)能。P18例例2.3第第2 2章章 單自由度系統(tǒng)單自由度系統(tǒng)-8hmkhmlmgmgklklklmghmlkE2222212121)()(21)sin()cos(txtx初始狀態(tài)系統(tǒng)總機(jī)械能為：初始狀態(tài)系統(tǒng)總機(jī)械能為：運(yùn)動(dòng)微分方程的解為：運(yùn)動(dòng)微分方程的解為：
5、第第2 2章章 單自由度系統(tǒng)單自由度系統(tǒng)-9由機(jī)械能守恒定律得：由機(jī)械能守恒定律得：hmkhmtktrJm2222221)cos(21)sin(212max2222121kUrJmrT由瑞利商得：由瑞利商得：JmrkrTU22max2第第2 2章章 單自由度系統(tǒng)單自由度系統(tǒng)-10阻尼自由振動(dòng)阻尼自由振動(dòng) 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications第第2 2章章單自由度系統(tǒng)單自由度系統(tǒng)-引言引言 什么是阻尼？ “阻”和“尼”均有“阻礙”、“阻止”的意思 阻尼是用來(lái)度量系統(tǒng)自身消耗振動(dòng)能量的物理量。在理論分析中最常用的阻尼是氣體和液體的粘性阻尼，它是由于氣體
6、或液體在某些機(jī)械部件中運(yùn)動(dòng)，因而擴(kuò)散到氣體或液體中的熱量等能量耗散的度量。第第2 2章章 單自由度系統(tǒng)單自由度系統(tǒng)-12 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications第第2 2章章單自由度系統(tǒng)單自由度系統(tǒng)-引言引言 比如汽車(chē)上常用的液壓筒式減振器，其內(nèi)部的工作缸被活塞分成上下兩腔，并充滿液體。當(dāng)活塞與工作缸有相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，強(qiáng)迫液體經(jīng)過(guò)活塞上的閥在上下腔運(yùn)動(dòng)，液體經(jīng)脫閥時(shí)產(chǎn)生的阻力，使運(yùn)動(dòng)能量變?yōu)闊崮芎纳⒌?。第? 2章章 單自由度系統(tǒng)單自由度系統(tǒng)-13 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications第第2 2章章單自由度系
7、統(tǒng)單自由度系統(tǒng)-引言引言 振動(dòng)系統(tǒng)的無(wú)阻尼振動(dòng)是對(duì)實(shí)際問(wèn)題的理論抽象。振動(dòng)系統(tǒng)的無(wú)阻尼振動(dòng)是對(duì)實(shí)際問(wèn)題的理論抽象。如果現(xiàn)實(shí)世界沒(méi)有阻止運(yùn)動(dòng)的話，整個(gè)世界將處在如果現(xiàn)實(shí)世界沒(méi)有阻止運(yùn)動(dòng)的話，整個(gè)世界將處在無(wú)休止的運(yùn)動(dòng)中。客觀實(shí)際是和諧的，有振動(dòng)又有無(wú)休止的運(yùn)動(dòng)中?？陀^實(shí)際是和諧的，有振動(dòng)又有阻尼，保證了我們生活在一個(gè)相對(duì)安靜的世界里。阻尼，保證了我們生活在一個(gè)相對(duì)安靜的世界里。 最常見(jiàn)的阻尼是最常見(jiàn)的阻尼是 粘性阻尼粘性阻尼viscous damping 庫(kù)侖阻尼（干摩擦阻尼）庫(kù)侖阻尼（干摩擦阻尼）Coulomb damping 結(jié)構(gòu)阻尼結(jié)構(gòu)阻尼structural damping 我們將著重討
8、論粘性阻尼，如果沒(méi)有特殊說(shuō)明，有我們將著重討論粘性阻尼，如果沒(méi)有特殊說(shuō)明，有阻尼系統(tǒng)就是粘性阻尼系統(tǒng)。阻尼系統(tǒng)就是粘性阻尼系統(tǒng)。 第第2 2章章 單自由度系統(tǒng)單自由度系統(tǒng)-14若物體以較大速度在空氣或液體中運(yùn)若物體以較大速度在空氣或液體中運(yùn)動(dòng)，阻尼與速度平方成正比。但當(dāng)物體以低速度在粘動(dòng)，阻尼與速度平方成正比。但當(dāng)物體以低速度在粘性介質(zhì)中運(yùn)動(dòng)（包括兩接觸面之間有潤(rùn)滑劑時(shí)）可以性介質(zhì)中運(yùn)動(dòng)（包括兩接觸面之間有潤(rùn)滑劑時(shí)）可以認(rèn)為阻尼與速度成正比。認(rèn)為阻尼與速度成正比。xcFc它與物體的形狀、尺寸及介質(zhì)的性質(zhì)有關(guān)，單位是牛頓米/秒(Ns/m)。 返回首頁(yè)Theory of Vibration wit
9、h Applications第第2 2章章單自由度系統(tǒng)單自由度系統(tǒng)-引言引言圖示為一有阻尼的彈簧圖示為一有阻尼的彈簧-質(zhì)量系統(tǒng)的簡(jiǎn)化模質(zhì)量系統(tǒng)的簡(jiǎn)化模型。以靜平衡位置型。以靜平衡位置O為坐標(biāo)原點(diǎn)，選為坐標(biāo)原點(diǎn)，選x軸鉛直軸鉛直向下為正，有阻尼的自由振動(dòng)微分方程向下為正，有阻尼的自由振動(dòng)微分方程 kxxcxm 022xxnxn 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applicationsmkn22ncm衰減系數(shù)，單位1/秒(1/s) 方程的解為方程的解為 rtex 第第2 2章章單自由度系統(tǒng)單自由度系統(tǒng)-運(yùn)動(dòng)微分方程運(yùn)動(dòng)微分方程22nnnr)ee(e222221tntnnt
10、nnCCxnrr21)(e21tCCxnt022 xpxnxn 運(yùn)動(dòng)微分方程運(yùn)動(dòng)微分方程 222221nnnnrnnr 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications第第2 2章章單自由度系統(tǒng)單自由度系統(tǒng)-運(yùn)動(dòng)微分方程運(yùn)動(dòng)微分方程0222nnrr臨界情形是從衰減振動(dòng)過(guò)渡到非周期運(yùn)動(dòng)的臨界狀臨界情形是從衰減振動(dòng)過(guò)渡到非周期運(yùn)動(dòng)的臨界狀態(tài)。這時(shí)系統(tǒng)的阻尼系數(shù)是表征運(yùn)動(dòng)規(guī)律在性質(zhì)上態(tài)。這時(shí)系統(tǒng)的阻尼系數(shù)是表征運(yùn)動(dòng)規(guī)律在性質(zhì)上發(fā)生變化的重要臨界值。發(fā)生變化的重要臨界值。設(shè)設(shè)cc為為臨界阻尼系數(shù)臨界阻尼系數(shù)，由于，由于z z =n/n =1，即，即kmmnmcnc22
11、2z z 阻尼系數(shù)與臨界阻尼系數(shù)的比值，是阻尼系數(shù)與臨界阻尼系數(shù)的比值，是z z 稱(chēng)為阻尼比的原因。稱(chēng)為阻尼比的原因。 znncnmnmcc22cc只取決于系統(tǒng)本身的質(zhì)量與彈性常量。由只取決于系統(tǒng)本身的質(zhì)量與彈性常量。由 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications第第2 2章章單自由度系統(tǒng)單自由度系統(tǒng)-運(yùn)動(dòng)微分方程運(yùn)動(dòng)微分方程 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications具有臨界阻尼的系統(tǒng)與過(guò)阻尼系統(tǒng)比較，它為最小阻尼系具有臨界阻尼的系統(tǒng)與過(guò)阻尼系統(tǒng)比較，它為最小阻尼系統(tǒng)。因此質(zhì)量統(tǒng)。因此質(zhì)量m將以最短的時(shí)間回到靜平
12、衡位置，并不作將以最短的時(shí)間回到靜平衡位置，并不作振動(dòng)運(yùn)動(dòng)，臨界阻尼的這種性質(zhì)有實(shí)際意義，例如大炮發(fā)振動(dòng)運(yùn)動(dòng)，臨界阻尼的這種性質(zhì)有實(shí)際意義，例如大炮發(fā)射炮彈時(shí)要出現(xiàn)反彈，應(yīng)要求發(fā)射后以最短的時(shí)間回到原射炮彈時(shí)要出現(xiàn)反彈，應(yīng)要求發(fā)射后以最短的時(shí)間回到原來(lái)的靜平衡位置，而且不產(chǎn)生振動(dòng)，這樣才能既快又準(zhǔn)確來(lái)的靜平衡位置，而且不產(chǎn)生振動(dòng)，這樣才能既快又準(zhǔn)確地發(fā)射第二發(fā)炮彈。顯然，只有臨界阻尼器才能滿足這種地發(fā)射第二發(fā)炮彈。顯然，只有臨界阻尼器才能滿足這種要求。要求。第第2 2章章單自由度系統(tǒng)單自由度系統(tǒng)-運(yùn)動(dòng)微分方程運(yùn)動(dòng)微分方程tntnCCx21-2-1ee1zznnrnnzz1z1Otxnrr21)
13、(e21tCCxnt 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications第第2 2章章單自由度系統(tǒng)單自由度系統(tǒng)-運(yùn)動(dòng)微分方程運(yùn)動(dòng)微分方程dnrzj （nn） dndnnnnrnnnrjjjj222221。，221jnnd)sincos(e21tCtCxddnt其中C1和C2為積分常數(shù)，由物塊運(yùn)動(dòng)的起始條件確定。設(shè)t = 0時(shí)， 可解00 xxxx ，dxnxC002C1=x0 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications第第2 2章章單自由度系統(tǒng)單自由度系統(tǒng)-運(yùn)動(dòng)微分方程運(yùn)動(dòng)微分方程000220020tan)(nxxxnxx
14、xAdd)sin(etAxdnt初相位角 振 幅阻尼振動(dòng)振幅；ntAe 這種情形下，自由振動(dòng)不是等幅簡(jiǎn)諧振動(dòng)，是按負(fù)指數(shù)衰減的這種情形下，自由振動(dòng)不是等幅簡(jiǎn)諧振動(dòng)，是按負(fù)指數(shù)衰減的衰減運(yùn)動(dòng)。衰減運(yùn)動(dòng)的頻率為衰減運(yùn)動(dòng)。衰減運(yùn)動(dòng)的頻率為 d，衰減速度取決于衰減速度取決于 zn，二者分二者分別為本征值的虛部和實(shí)部。別為本征值的虛部和實(shí)部。 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications第第2 2章章單自由度系統(tǒng)單自由度系統(tǒng)-運(yùn)動(dòng)微分方程運(yùn)動(dòng)微分方程衰減振動(dòng):物塊在平衡位置附近作具有振動(dòng)性質(zhì)的往復(fù)運(yùn)動(dòng)，但它的振幅不是常數(shù)，隨時(shí)間的推延而衰減。有阻尼的自由振動(dòng)視為準(zhǔn)周
15、期振動(dòng)。 )sin(etAxdnt 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications第第2 2章章單自由度系統(tǒng)單自由度系統(tǒng)-衰減振動(dòng)衰減振動(dòng)221)(1122zTnTndddT=2p/n為無(wú)阻尼自由振動(dòng)的周期。欠阻尼自由振動(dòng)的周期欠阻尼自由振動(dòng)的周期Td ：物體由最大偏離位置起經(jīng)過(guò)物體由最大偏離位置起經(jīng)過(guò)一次振動(dòng)循環(huán)又到達(dá)另一最大偏離位置所經(jīng)過(guò)的時(shí)間。一次振動(dòng)循環(huán)又到達(dá)另一最大偏離位置所經(jīng)過(guò)的時(shí)間。由于阻尼的存在，使衰減振動(dòng)的周期加大。通常z 很小，阻尼對(duì)周期的影響不大。例如，當(dāng)z=0.05時(shí)，Td=1.00125T，周期 Td 僅增加了 0.125%。當(dāng)材料
16、的阻尼比 z1時(shí)，可近似認(rèn)為有阻尼自由振動(dòng)的周期與無(wú)阻尼自由振動(dòng)的周期相等。 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications第第2 2章章單自由度系統(tǒng)單自由度系統(tǒng)-阻尼對(duì)振動(dòng)周期的影響阻尼對(duì)振動(dòng)周期的影響設(shè)衰減振動(dòng)經(jīng)過(guò)一周期Td，在同方向的相鄰兩個(gè)振幅分別為Ai和Ai+1，即)(sine)sin(e)(1didTtniidntiTtAAtAAdii兩振幅之比為dnTiiAAe1稱(chēng)為振幅減縮率或減幅系數(shù)。如仍以z =0.05為例，算得 ,物體每振動(dòng)一次，振幅就減少27%。由此可見(jiàn) ，在欠阻尼情況下，周期的變化雖然微小，但振幅的衰減卻非常顯著 ，它是按幾何級(jí)數(shù)衰
17、減的。 37. 1ednT 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications第第2 2章章單自由度系統(tǒng)單自由度系統(tǒng)-阻尼對(duì)振幅的影響阻尼對(duì)振幅的影響振幅減縮率的自然對(duì)數(shù)稱(chēng)為對(duì)數(shù)減縮率對(duì)數(shù)減縮率或?qū)?shù)減幅系數(shù)，以 表示lnz2例例 在欠阻尼（在欠阻尼（z z 1）的系統(tǒng)中，）的系統(tǒng)中，在振幅衰減曲線的包絡(luò)線上，已測(cè)在振幅衰減曲線的包絡(luò)線上，已測(cè)得相隔得相隔N個(gè)周期的兩點(diǎn)個(gè)周期的兩點(diǎn)P、R的幅值的幅值之比之比xP/xR=r r，如圖所示，試確定此，如圖所示，試確定此振動(dòng)系統(tǒng)的阻尼比振動(dòng)系統(tǒng)的阻尼比z z。 返回首頁(yè)Theory of Vibration with
18、Applicationsdnttdndnneeezzzzlnln)(11212zzdnT212znd第第2 2章章單自由度系統(tǒng)單自由度系統(tǒng)-阻尼對(duì)振幅的影響阻尼對(duì)振幅的影響解：振動(dòng)衰減曲線的包絡(luò)線方程為ntAxe設(shè)P、R兩點(diǎn)在包絡(luò)線上的幅值為xP、xR ，則有rdnNTRPxxe當(dāng)z 21時(shí) 此式對(duì)估算小阻尼系統(tǒng)的z值是很方便的。例如，經(jīng)過(guò)10個(gè)周期測(cè)得P、R兩點(diǎn)的幅值比r=2，將N=10、r=2代入上式，得到該系統(tǒng)的阻尼比011. 0202lnzNN2lnln2rzrzrzzln122N 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications第第2 2章章單自由度
19、系統(tǒng)單自由度系統(tǒng)-衰減振動(dòng)衰減振動(dòng)第第2 2章章 單自由度系統(tǒng)單自由度系統(tǒng)-27第第2 2章章 單自由度系統(tǒng)單自由度系統(tǒng)-28幾種常用材料的對(duì)數(shù)衰減率材料橡膠0.25200鉚接的鋼結(jié)構(gòu)0.189混凝土0.126木材0.0189冷軋鋼0.00378冷軋鋁0.00126磷青銅0.00044 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications2.4.2 庫(kù)倫阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)庫(kù)倫阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)物體在干燥表面上相對(duì)滑動(dòng)時(shí)所受到的摩擦阻力稱(chēng)為庫(kù)倫阻庫(kù)倫阻尼或干摩擦阻尼尼或干摩擦阻尼。它與正壓力成比例，而與相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度的方向相反。即庫(kù)倫阻尼力的大小為Fd = fFN。式
20、中f為摩擦系數(shù)，F(xiàn)N為法向約束力的大小。由于這種阻尼力的大小不依賴于質(zhì)點(diǎn)的位移和速度，所以庫(kù)倫阻尼是一種常數(shù)阻尼。 第第2 2章章單自由度系統(tǒng)單自由度系統(tǒng)-庫(kù)倫阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)庫(kù)倫阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng) 返回首頁(yè)Theory of Vibration with Applications2.4.2 庫(kù)倫阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)庫(kù)倫阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)根據(jù)牛頓第二定律得質(zhì)量m的運(yùn)動(dòng)微分方程為dFkxxm 0dxFkxxm 0dxFkxxm )cos()(1n1dtpAkFtx0 x 0)cos()(2n2dxtpAkFtx第第2 2章章單自由度系統(tǒng)單自由度系統(tǒng)-庫(kù)倫阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)庫(kù)倫阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)第第2 2章章 單自由度系統(tǒng)單自由度系統(tǒng)-312.18，2.19，2.20
第2章 單自由度系統(tǒng)計(jì)算固有頻率的能量法
