高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法 (2)

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1、Ir] 中 數(shù) 學(xué) 大 綱 高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法 一、課內(nèi)重視聽講，課后及時(shí)復(fù)習(xí)。 新知識(shí)的接受，數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)主要在課堂上進(jìn)行，所以要特點(diǎn)重視課內(nèi) 的學(xué)習(xí)效率，尋求正確的學(xué)習(xí)方法。上課時(shí)要緊跟老師的思路，積極展開 思維預(yù)測下面的步驟，比較自己的解題思路及教師所講有哪些不同。特別 要抓住基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的學(xué)習(xí)，課后要及時(shí)復(fù)習(xí)不留疑點(diǎn)。首先要在 做各種習(xí)題之前將老師所講的知識(shí)點(diǎn)回憶一遍，正確掌握各類公式的推理 過程，慶盡量回憶而不采用不清楚立即翻書之舉。認(rèn)真獨(dú)立完成作業(yè)，勤 于思考，從某種意義上講，應(yīng)不造成不懂即問的學(xué)習(xí)作風(fēng)，對(duì)于有些題目 由于自己的思路不清，一時(shí)難以解出，應(yīng)讓自己

2、冷靜下來認(rèn)真分析題目， 盡量自己解決。在每個(gè)階段的學(xué)習(xí)中要進(jìn)行整理和歸納總結(jié)，把知識(shí)的點(diǎn)、 線、面結(jié)合起來交織成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，納入自己的知識(shí)體系。 二、適當(dāng)多做題，養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣。 要想學(xué)好數(shù)學(xué)，多做題目是難免的，熟悉掌握各種題型的解題思路。剛開 始要從基礎(chǔ)題入手，以課本上的習(xí)題為準(zhǔn)，反復(fù)練習(xí)打好基礎(chǔ)，再找一些 課外的習(xí)題，以幫助開拓思路，提高自己的分析?、解決能力，掌握一般的 解題規(guī)律。對(duì)于一些易錯(cuò)題，可備有錯(cuò)題集，寫出H己的解題思路和正確 的解題過程兩者一起比較找出自己的錯(cuò)誤所在，以便及時(shí)更正。在平時(shí)要 養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣。讓自己的精力高度集中，使大腦興奮，思維敏捷， 能夠進(jìn)入最佳狀態(tài)

3、，在考試中能運(yùn)用自如。實(shí)踐證明：越到關(guān)鍵時(shí)候，你 所表現(xiàn)的解題習(xí)慣及平時(shí)練習(xí)無異。如果平時(shí)解題時(shí)隨便、粗心、大意等, 往往在大考中充分暴露，故在平時(shí)養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣是非常重要的。 三、調(diào)整心態(tài)，正確對(duì)待考試。 首先，應(yīng)把主要精力放在基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本方法這三個(gè)方面上， 因?yàn)槊看慰荚囌冀^大部分的也是基礎(chǔ)性的題目，而對(duì)于那些難題及綜合性 較強(qiáng)的題目作為調(diào)劑，認(rèn)真思考，盡量讓自己理出頭緒，做完題后要總結(jié) 歸納。調(diào)整好自己的心態(tài)，使自己在任何時(shí)候鎮(zhèn)靜，思路有條不紊，克服 浮躁的情緒。特別是對(duì)自己要有信心，永遠(yuǎn)鼓勵(lì)自己，除了自己，誰也不 能把我打倒，要有自己不垮，誰也不能打垮我的自豪感。

4、在考試前要做好準(zhǔn)備，練練常規(guī)題，把H己的思路展開，切忌考前去在保 證正確率的前提下提高解題速度。對(duì)于一些容易的基礎(chǔ)題要有十二分把握 拿全分；對(duì)于一些難題，也要盡量拿分，考試中要學(xué)會(huì)嘗試得分，使自己 的水平正常甚至超常發(fā)揮。 由此可見，要把數(shù)學(xué)學(xué)好就得找到適合自己的學(xué)習(xí)方法，了解數(shù)學(xué)學(xué)科的 特點(diǎn)，使自己進(jìn)入數(shù)學(xué)的廣闊天地中去。 高一數(shù)學(xué)第一冊(cè)上 第一章集合及簡易邏輯 一集合 1. 1集合 1. 2 子集、全集、補(bǔ)集 1. 3交集、并集 1. 4含絕對(duì)值的不等式解法 1. 5 一元一次不等式解法 閱讀材料 集合中元素的個(gè)數(shù) 二簡易邏輯 1. 6邏輯聯(lián)結(jié)詞 1. 7四種命題

5、 1. 8充分條件及必要條件 小結(jié)及復(fù)習(xí) 復(fù)習(xí)參考題一 第二章函數(shù) 一函數(shù) 2. 1函數(shù) 2. 2函數(shù)的表示法 2. 3函數(shù)的單調(diào)性 2. 4反函數(shù) 二指數(shù)及指數(shù)函數(shù) 2. 5指數(shù) 2. 6指數(shù)函數(shù) 三對(duì)數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù) 2. 7對(duì)數(shù) 閱讀材料對(duì)數(shù)的發(fā)明 2. 8對(duì)數(shù)函數(shù) 2. 9函數(shù)的應(yīng)用舉例 閱讀材料自由落體運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型 實(shí)習(xí)作業(yè)建立實(shí)際問題的函數(shù)模型 小結(jié)及復(fù)習(xí) 復(fù)習(xí)參考題二 第三章數(shù)列 3. 1數(shù)列 3. 2等差數(shù)列 3. 3等差數(shù)列的前n項(xiàng)和 閱讀材料有關(guān)儲(chǔ)蓄的計(jì)算 3. 4等比數(shù)列 3. 5等比數(shù)列的前n項(xiàng)和 研究性學(xué)習(xí)課題：數(shù)

6、列在分期付款中的應(yīng)用 小結(jié)及復(fù)習(xí) 高一數(shù)學(xué)第一冊(cè)下 第四章三角函數(shù) 一任意角的三角函數(shù) 4. 1角的概念的推廣 4. 2弧度制 4. 3任意角的三角函數(shù) 閱讀材料 三角函數(shù)及歐拉 4. 4同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 4. 5正弦、余弦的誘導(dǎo)公式 二兩角和及差的三角函數(shù) 4. 6兩角和及差的正弦、余弦、正切 4. 7二倍角的正弦、余弦、正切 三三角函數(shù)的圖象和性質(zhì) 4. 8正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì) 4. 9 函數(shù) y=Asin ( cox+ )的圖象 4. 10正切函數(shù)的圖象和性質(zhì) 4. 11已知三角函數(shù)值求角 閱讀材料 潮汐及港口水深 小結(jié)及復(fù)習(xí)

7、復(fù)習(xí)參考題四 第五章平面向量 一向量及其運(yùn)算 5. 1向量 5. 2向量的加法及減法 5. 3實(shí)數(shù)及向量的積 5. 4平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 5. 5線段的定比分點(diǎn) 5. 6平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律 5. 7平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示 5. 8平移 閱讀材料向量的三種類型 二解斜三角形 5. 9正弦定理、余弦定理 5. 10解斜三角形應(yīng)用舉例 實(shí)習(xí)作業(yè)解三角形在測量中的應(yīng)用 閱讀材料人們?cè)缙谠鯓訙y量地球的半徑？ 研究性學(xué)習(xí)課題：向量在物理中的應(yīng)用 小結(jié)及復(fù)習(xí) 復(fù)習(xí)參考題五 高二數(shù)學(xué)第二冊(cè)上 第六章不等式 6. 1不等式的性質(zhì) 7. 2算術(shù)平均數(shù)及幾何平均

8、數(shù) 8. 3不等式的證明 9. 4不等式的解法舉例 6. 5含有絕對(duì)值的不等式 閱讀材料n個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)及幾何平均數(shù) 小結(jié)及復(fù)習(xí) 復(fù)習(xí)參考題六 第七章 直線和圓的方程 7. 1直線的傾斜角和斜率 7. 2直線的方程 7. 3兩條直線的位置關(guān)系 閱讀材料向量及直線 7. 4簡單的線性規(guī)劃 研究性學(xué)習(xí)課題及實(shí)習(xí)作業(yè)：線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng) 7. 5曲線和方程 閱讀材料笛卡兒和費(fèi)馬 10. 6圓的方程 小結(jié)及復(fù)習(xí) 復(fù)習(xí)參考題七 第八章圓錐曲線方程 11. 1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程 12. 2橢圓的簡單幾何性質(zhì) 13. 3雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 14. 4雙曲線的簡單

9、幾何性質(zhì) 8. 5拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 8. 6拋物線的簡單兒何性質(zhì) 閱讀材料圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用 小結(jié)及復(fù)習(xí) 復(fù)習(xí)參考題八 高二數(shù)學(xué)第二冊(cè)下A 第九章直線、平面、簡單幾何體 9. 1 平面 9. 2空間直線 9. 3直線及平面平行的判定和性質(zhì) 9. 4直線及平面垂直的判定和性質(zhì) 9. 5兩個(gè)平面平行的判定和性質(zhì) 9. 6兩個(gè)平面垂直的判定和性質(zhì) 9. 7棱柱 9. 8棱錐 閱讀材料柱體和錐體的體積 研究性學(xué)習(xí)課題：多面體歐拉定理的發(fā)現(xiàn) 閱讀材料歐拉公式和正多面體的種類 9. 9球 小結(jié)及復(fù)習(xí) 復(fù)習(xí)參考題九 第十章排列、組合和二項(xiàng)式定理 10.

10、 1分類計(jì)數(shù)原理及分步計(jì)數(shù)原理 11. 2排列 12. 3組合 閱讀材料從集合的角度看排列及組合 13. 4二項(xiàng)式定理 小結(jié)及復(fù)習(xí) 復(fù)習(xí)參考題十 第十一章概率 14. 1隨機(jī)事件的概率 15. 2互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率 16. 3相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率 閱讀材料抽簽有先有后，對(duì)個(gè)人公平嗎? 高二數(shù)學(xué)第二冊(cè)下B 第九章直線、平面、簡單幾何體 9. 1平面的基本性質(zhì) 9. 2空間的平行直線及異面直線 10 / 49 9. 3直線和平面平行及平面和平面平行 9. 4直線和平面垂直 9. 5空間向量及其運(yùn)算 9. 6空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算 9. 7直線和

11、平面所成的角及二面角 9. 8距離 閱讀材料向量概念的推廣及應(yīng)用 9. 9棱柱及棱錐 研究性學(xué)習(xí)課題：多面體歐拉定理的發(fā)現(xiàn) 閱讀材料歐拉公式和正多面體的種類 9. 10 球 小結(jié)及復(fù)習(xí) 復(fù)習(xí)參考題九 第十章排列、組合和二項(xiàng)式定理 10. 1分類計(jì)數(shù)原理及分布計(jì)數(shù)原理 11. 2排列 12. 3組合 閱讀材料 從集合的角度看排列及組合 10. 4二項(xiàng)式定理 小結(jié)及復(fù)習(xí) 復(fù)習(xí)參考題十 第十一章概率 11. 1隨機(jī)事件的概率 11. 2互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率 13. 3相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率 閱讀材料抽簽有先有后，對(duì)各人公平嗎? 小結(jié)及復(fù)習(xí) 復(fù)習(xí)參考

12、題十一 高三數(shù)學(xué)第三冊(cè)（理科） 第一章概率及統(tǒng)計(jì) 1. 1離散型隨機(jī)變量的分布列 1. 2離散型隨機(jī)變量的期望及方差 1. 3抽樣方法 1. 4總體分布的估計(jì) 閱讀材料累積頻率分布 1. 5正態(tài)分布 1. 6線性回歸 閱讀材料回歸直線方程的推導(dǎo) 實(shí)習(xí)作業(yè) 通過抽樣調(diào)查，研究實(shí)際問題 小結(jié)及復(fù)習(xí) 復(fù)習(xí)參考題一 第二章極限 2. 1數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例 閱讀材料不完全歸納法及完全歸納法 研究性學(xué)習(xí)課題：楊輝三角 2. 2數(shù)列的極限 2. 3函數(shù)的極限 2. 4極限的四則運(yùn)算 閱讀材料無窮等比數(shù)列的和 2. 5函數(shù)的連續(xù)性 小結(jié)及復(fù)習(xí) 復(fù)習(xí)參考題二

13、 第三章導(dǎo)數(shù) 3. 1導(dǎo)數(shù)的概念 3. 2兒中常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 閱讀材料變化率舉例 3. 3函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù) 3. 4復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 3. 5對(duì)數(shù)函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 閱讀材料近似計(jì)算 3. 6函數(shù)的單調(diào)性 3. 7函數(shù)的極值 3. 8函數(shù)的最大值及最小值 3. 9微積分建立的時(shí)代背景和歷史意義 小結(jié)及復(fù)習(xí) 復(fù)習(xí)參考題三 第四章數(shù)系的擴(kuò)充一復(fù)數(shù) 4. 1復(fù)數(shù)的概念 5. 2復(fù)數(shù)的運(yùn)算 6. 3數(shù)系的擴(kuò)充 研究性學(xué)習(xí)課題：復(fù)數(shù)及平面向量、三角函數(shù)的 聯(lián)系 小結(jié)及復(fù)習(xí) 復(fù)習(xí)參考題四 高三數(shù)學(xué)第三冊(cè)（文科） 第一章統(tǒng)計(jì) 1. 1抽樣方法 1.

14、 2總體分布的估計(jì) 1. 3總體期望值和方差的估計(jì) 實(shí)習(xí)作業(yè)通過抽樣調(diào)查研究實(shí)際問題 小結(jié)及復(fù)習(xí) 復(fù)習(xí)參考題一 附錄隨機(jī)數(shù)表 第二章導(dǎo)數(shù) 2. 1導(dǎo)數(shù)的背景 2. 2導(dǎo)數(shù)的概念 2. 3多項(xiàng)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 2. 4函數(shù)的單調(diào)性及極值 2. 5函數(shù)的最大值及最小值 2. 6微積分建立的時(shí)代背景和歷史意義 研究性學(xué)習(xí)課題：楊輝三角 小結(jié)及復(fù)習(xí) 復(fù)習(xí)參考題二 高中數(shù)學(xué)基本公式 基本性質(zhì)： 1. a (log (a) (b) )=b 2. log (a) (MN)=log(a) (M)+log(a) (N); 3. log (a) (M/N)=log(a) (M)

15、-log(a) (N); 4. log (a) (M*n)=nlog(a) (M) 三角函數(shù)的和差化積公式 sin ct +sinB =2sin ( a + B ) /2 ? cos ( a — ) /2 sin a —sin 3 =2cos ( q + B ) /2 , sin ( a — B ) /2 cos a +cos B =2cos ( a + B ) /2 ? cos ( a — ) /2 cos a —cos B=-2sin (a + B) /2 ? sin(Q — B) /2 三角函數(shù)的積化和差公式 sin a - cos P = 1/2 [sin ( a +

16、B ) +sin ( a — P )] cos a ? sin P = 1/2 [sin ( a + 8 ) -sin ( a — |3 )] cos a ? cos B =1/2 [cos ( a + 8 ) +cos ( a — P )] sin a ? sin P =-1/2 [cos ( a + B ) —cos ( a — P )] 倍角公式 tan2A=2tanA/El-(tanA) 2] cos2a=(cosa) 2- (sina) 2=2 (cosa) 2 -1=1-2(sina) 2 半角公式 sin(A/2)= V ((1-cosA)/2) sin(A/2)

17、=- V ((1-cosA)/2) cos (A/2)= V ((1+cosA)/2) cos(A/2)=- V ((1+cosA)/2) tan(A/2)= V ((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=- V ((1-cosA)/((1+cosA )) cot(A/2)= V ((1+cosA)/((1-cosA)) cot(A/2)=- V ((1+cosA)/((1-cosA )) 某些數(shù)列前n項(xiàng)和 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n (n+1) /2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+ (2nT) =n2 - 2+4+6+8+1

18、0+12+14+…+(2n)=n(n+1) 5 r2+2^2+3^2+4*2+5^2+6~2+7^2+8~2+-+n*2=n(n+l) (2n+l)/6 I3+2-3+3~3+4-3+5"3+6-3+? ? ? n-3=n2 (n+1)2/4 l*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+???+n (n+l)=n (n+1) (n+2)/3 正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注： 其中 R 表示三角形的外 接圓半徑 余弦定理b 2=a 2+c 2~2accosB注：角B是邊a和邊c的夾角 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a) -2+(y-b)-2= r2注：(a,

19、b)是圓心坐標(biāo) 圓的一般方程 x-2+y-2+Dx+Ey+F=0 注：D"2+E"2-4F>0 拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程 y2=2px y- 2=-2Px x"2=2py x2=_2py 直棱柱側(cè)面積S=c*h斜棱柱側(cè)面積S二c*h 正棱錐側(cè)面積S=l/2c*h正棱臺(tái)側(cè)面積S=l/2(c+c，)h， 圓臺(tái)側(cè)面積S=l/2(c+c，)l=pi(R+r)l球的表面積S=4pi*r2 圓柱側(cè)面積S=c*h=2pi*h圓錐側(cè)面積S=l/2*c*l=pi*r*l 中數(shù)學(xué)重點(diǎn)知識(shí)及結(jié)論分類解析 一、集合及簡易邏輯 1 .集合的元素具有確定性、無序性和互異性. 2 .對(duì)集合A、B, 408 = 0

20、時(shí)，必須注意至IJ “極端”情況：A = 0或8 = 0; 求集合的子集時(shí)是否注意到0是任何集合的子集、0是任何非空集合的真 子集. 3 .對(duì)于含有〃個(gè)元素的有限集合“，其子集、真子集、非空子集、非空 真子集的個(gè)數(shù)依次為2"，2"-1, 2"-2. 2n-l, 4 . “交的補(bǔ)等于補(bǔ)的并，即G，(An8) = QAUGB” ； "并的補(bǔ)等于補(bǔ)的 交，即01)8) = "口品8”. 5 .判斷命題的真假 關(guān)鍵是“抓住關(guān)聯(lián)字詞”；注意："不或‘即 且‘，不且‘即或". 6 . “或命題”的真假特點(diǎn)是“一真即真，要假全假”；“且命題”的真 假特點(diǎn)是“一假即假，要真全真”；“非命題”的真假特點(diǎn)

21、是“一真一 假”. 7 .四種命題中“‘逆者交換也"、"‘否者否定也”. 原命題等價(jià)于逆否命題，但原命題及逆命題、否命題都不等價(jià).反證 法分為三步：假設(shè)、推矛、得果. 注意：命題的否定是“命題的非命題，也就是‘條件不變，僅否定結(jié) M 0■ OB MB ■■ ABB - ■ ■■ ■■ ■■ ■■ ■■ ■■ ■■ MB ■■ ■ MB ■■ ■■ MB ■■ MB ■> M MB OB 0■ ? 論所得命題"，但否命題是“既否定原命題的條件作為條件，又否定原 命題的結(jié)論作為結(jié)論的所得命題”. 8 .充要條件 二、函數(shù) 1 .指數(shù)式、對(duì)數(shù)式，消=/產(chǎn)，，，產(chǎn)”=n ah = N

22、o log。N = b(a > 0," W 1,N > 0), a0=l, log。1=0, log.a = l, Ig2 + lg5 = 1, log。x = Inx ,,. 2 . (1)映射是“全部射出‘加一箭一雕"；映射中第一個(gè)集合A中 的元素必有像，但第二個(gè)集合8中的元素不一定有原像(A中元素的像有 且僅有下一個(gè)，但8中元素的原像可能沒有，也可任意個(gè))；函數(shù)是“非空 數(shù)集上的映射”，其中“值域是映射中像集3的子集”. (2)函數(shù)圖像及x軸垂線至多一個(gè)公共點(diǎn)，但及y軸垂線的公共點(diǎn)可 能沒有，也可任意個(gè). (3)函數(shù)圖像一定是坐標(biāo)系中的曲線，但坐標(biāo)系中的曲線不一定能成 為函數(shù)圖像

23、. 3 .單調(diào)性和奇偶性 (1)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全 相同. 偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性恰恰相 反. 注意：(1)確定函數(shù)的奇偶性，務(wù)必先判定函數(shù)定義域是否關(guān)于 原點(diǎn)對(duì)稱.確定函數(shù)奇偶性的常用方法有：定義法、圖像法等等.對(duì)于偶 函數(shù)而言有：= = (2)若奇函數(shù)定義域中有0,則必有"0) = 0.即0e/(x)的定義域時(shí), /(0)=。是f(x)為奇函數(shù)的必要韭充分條件. (3)確定函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間，在解答題中常用：定義法(取 值、作差、鑒定）、導(dǎo)數(shù)法；在選擇、填空題中還有：數(shù)形結(jié)合法（圖像 法）、特殊值法等等.

24、（4）既奇又偶函數(shù)有無窮多個(gè)（/*） = 0,定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的 任意一個(gè)數(shù)集）. （7）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性特點(diǎn)是：“同性得增，增必同性；異性得減, 減必異性”. 復(fù)合函數(shù)的奇偶性特點(diǎn)是：“內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外”.復(fù)合函數(shù) 要考慮定義域的變化。（即復(fù)合有意義） 4 .對(duì)稱性及周期性（以下結(jié)論要消化吸收，不可強(qiáng)記） （1）函數(shù)y = f（x）及函數(shù)y = /（-x）的圖像關(guān)于直線X = 0 （y軸）對(duì)稱. 推廣一：如果函數(shù)y = /（x）對(duì)于一切都有/. +力=〃1） 成立，那么），= /（"）的圖像關(guān)于直線（由“X和的一半確定”）對(duì)稱. 推廣二：函數(shù)），="+%），的圖像關(guān)于直線（

25、由 a + x = 確定）對(duì)稱. （2）函數(shù)y = 及函數(shù)y = -/（X）的圖像關(guān)于直線），=0 （尤軸）對(duì)稱. （3）函數(shù)），= /（*）及函數(shù)），=-/（-力的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)中心對(duì)稱. 推廣：曲線/（x,y） =。關(guān)于直線），= 〃的對(duì)稱曲線是 f（y-h,x + b） = 0i 曲線/（A；y） = 0關(guān)于直線y = -x + b的對(duì)稱曲線是 /（-y+A -x+0） = 0 ? （5）類比“三角函數(shù)圖像”得：若,，= 71）圖像有兩條對(duì)稱軸 x = 〃,x = /"a"）,則），= /*）必是周期函數(shù)，且一周期為T = 2la-〃l. 如果”/⑴是R上的周期函數(shù)，且一個(gè)

26、周期為了，那么 f（x nT） = f（x）（n e Z）. 特別：若/（x + 4） = —/（x）awO）恒 成立，則T = 2a .若 /（x + a）= _L（aWO）恒成立，則丁 = 2a?若/（、+ 〃）=——匚伍工。）恒成立， /W /W 則 T = 2a. 三、數(shù) 列 1 .數(shù)列的通項(xiàng)、數(shù)列項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)，遞推公式及遞推數(shù)列，數(shù)列的通項(xiàng)及數(shù) 列的前.〃項(xiàng)和公式的關(guān)系：（必要時(shí)請(qǐng)分類討論）. ?主 意 ： an = - 4.1）+（4“-1 一 4”-2）+ …+（。2 — 41）+ ” ； an-X an-2 % 2 .等差數(shù)列n｝中： （1）等差數(shù)列公差

27、的取值及等差數(shù)列的單調(diào)性. （2 ） an = a1+ （〃 -1）4 = am + （〃 - m）d ; p + q = m + 〃 = ap + aq = a）n + an . ⑶團(tuán)…加｝、的”｝也成等差數(shù)列? （4）兩等差數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)和（差）組成的新數(shù)列仍成等差數(shù)列. （5 ） % + a2 + ??? + um,ak + ak+i + …+ 4+”i，…仍成等差數(shù)列. a a （6）,，，,寸= /（〃）=力=/（2〃-1）. Dn Ui\ （ 7 ） ap=qq = P（P 手 q）= ap+q=。 ； Sp = q.Sq = /?（/? W q） = Sp+q = -

28、（/? + q） ; S,…=Sm + S“ + mnd . （8）“首正”的遞減等差數(shù)列中，前〃項(xiàng)和的最大值是所有非負(fù)項(xiàng)之 和; “首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中，前〃項(xiàng)和的最小值是所有非正項(xiàng)之 和; （9）有限等差數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)和及偶數(shù)項(xiàng)和的存在必然聯(lián)系，由數(shù)列 的總項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)還是奇數(shù)決定.若總項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，則“偶數(shù)項(xiàng)和” 一 “奇 數(shù)項(xiàng)和”=總項(xiàng)數(shù)的一半及其公差的積；若總項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，則“奇數(shù)項(xiàng) 和”一“偶數(shù)項(xiàng)和”=此數(shù)列的中項(xiàng). （10）兩數(shù)的等差中項(xiàng)惟一存在.在遇到三數(shù)或四數(shù)成等差數(shù)列時(shí)， ?？紤]選用“中項(xiàng)關(guān)系”轉(zhuǎn)化求解. （11）判定數(shù)列是否是等差數(shù)列的主要方法有：定義法、中項(xiàng)

29、法、通 項(xiàng)法、和式法、圖像法（也就是說數(shù)列是等差數(shù)列的充要條件主要有這五 種形式）. 3 .等比數(shù)列0｝中： （1）等比數(shù)列的符號(hào)特征（全正或全負(fù)或一正一負(fù)），等比數(shù)列的首 項(xiàng)、公比及等比數(shù)列的單調(diào)性. （2） an= =amqn-m ； p + q = m + n=> bp ? bq= bm - hn . （3）｛"l｝、他im｝、伙%｝成等比數(shù)列；｛%｝、色｝成等比數(shù)列=｛。也｝ 成等比數(shù)列. （4）兩等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)積（商）組成的新數(shù)列仍成等比數(shù)列. (5 ) / +。2 + …+ am，4 + 4+1 + …+ ak+m-l* * * 成等比數(shù)列. ⑹ s? =< % -=

30、 %(1一夕”) 1 — q 1 — q (q = 1) ，M (q = 1) = a. n ax (#1) 一丁一 +「("i) \-q \-q 50 / 49 特別:一 = (a — 〃)(，"+ an"b + cr3b2 + …+ abn" + N). ⑺ 加“=s,“+/s“ = s“+E. （8） “首大于1”的正值遞減等比數(shù)列中，前.〃項(xiàng)積的最大值是所有 大于或等于1的項(xiàng)的積；“首小于1”的正值遞增等比數(shù)列中，前〃項(xiàng)積的 最小值是所有小于或等于1的項(xiàng)的積； （9）有限等比數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)和及偶數(shù)項(xiàng)和的存在必然聯(lián)系，由數(shù) 列的總項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)還是奇數(shù)決定.

31、若總項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)，則“偶數(shù)項(xiàng)和”= “奇數(shù)項(xiàng)和”及“公比”的積；若總項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，則“奇數(shù)項(xiàng)和”="首 項(xiàng)”加上“公比”及“偶數(shù)項(xiàng)和”積的和. （10）并非任何兩數(shù)總有等比中項(xiàng).僅當(dāng)實(shí)數(shù)a力同號(hào)時(shí)，實(shí)數(shù)〃步存 在等比中項(xiàng).對(duì)同號(hào)兩實(shí)數(shù)“力的等比中項(xiàng)不僅存在，而且有一對(duì) G = ^b,也就是說，兩實(shí)數(shù)要么沒有等比中項(xiàng)（非同號(hào)時(shí)），如果有，必 有一對(duì)（同號(hào)時(shí)）.在遇到三數(shù)或四數(shù)成等差數(shù)列時(shí)，常優(yōu)先考慮選用“中 項(xiàng)關(guān)系”轉(zhuǎn)化求解. （11）判定數(shù)列是否是等比數(shù)列的方法主要有：定義法、中項(xiàng)法、通 項(xiàng)法、和式法（也就是說數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件主要有這四種形式）. 4.等差數(shù)列及等比數(shù)列的聯(lián)系 （1）

32、如果數(shù)列伍“｝成等差數(shù)列，那么數(shù)列me（A%總有意義）必成 等比數(shù)列. （2）如果數(shù)列｛%｝成等比數(shù)列，那么數(shù)列｛logakl｝（"0,4Wl）必成等 差數(shù)列. （3）如果數(shù)列｛4｝既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列｛4）是非零常 數(shù)數(shù)列；但數(shù)列｛“J是常數(shù)數(shù)列僅是數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必 要非充分條件. （4）如果兩等差數(shù)列有公共項(xiàng)，那么由他們的公共項(xiàng)順次組成的新數(shù) 列也是等差數(shù)列，且新等差數(shù)列的公差是原兩等差數(shù)列公差的最小公倍 數(shù). 如果一個(gè)等差數(shù)列及一個(gè)等比數(shù)列有公共項(xiàng)順次組成新數(shù)列，那 么常選用“由特殊到一般的方法”進(jìn)行研討，且以其等比數(shù)列的項(xiàng)為主， 探求等比數(shù)列中那些

33、項(xiàng)是他們的公共項(xiàng)，并構(gòu)成新的數(shù)列. 注意：（1）公共項(xiàng)僅是公共的項(xiàng)，其項(xiàng)數(shù)不一定相同，即研究 =源.但也有少數(shù)問題中研究為="，這時(shí)既要求項(xiàng)相同，也要求項(xiàng)數(shù) 相同.（2）三（四）個(gè)數(shù)成等差（比）的中項(xiàng)轉(zhuǎn)化和通項(xiàng)轉(zhuǎn)化法. 5.數(shù)列求和的常用方法： （1）公式法：①等差數(shù)列求和公式（三種形式）， ②等比數(shù)列求和公式（三種形式）， （3）1 + 2 + 3 +…+ 〃 = + 1）, + 2~ + 3~ + …+ 〃~ = +1）（2/? +1）, 2 o 1 + 3 + 5 + ??? + （2/? - 1） = ir 9 1 + 3 + 5 +??? + （2〃 +1） = （〃

34、+1）~ ? （2）分組求和法：在直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí)，常將“和式”中 “同類項(xiàng)”先合并在一起，再運(yùn)用公式法求和. （3）倒序相加法：在數(shù)列求和中，若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和 有其共性或數(shù)列的通項(xiàng)及組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則?？煽紤]選用倒序相加法，發(fā) 揮其共性的作用求和（這也是等差數(shù)列前〃和公式的推導(dǎo)方法）. （4）錯(cuò)位相減法：如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)及一個(gè)等 比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成，那么常選用錯(cuò)位相減法，將其和轉(zhuǎn)化為“一個(gè)新 的的等比數(shù)列的和“求解（注意：一般錯(cuò)位相減后，其中“新等比數(shù)列的 項(xiàng)數(shù)是原數(shù)列的項(xiàng)數(shù)減一的差”?。ㄟ@也是等比數(shù)列前”和公式的推導(dǎo)方 法之一）. （5

35、）裂項(xiàng)相消法：如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”的形式，且相 鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項(xiàng)相消法求和.常用裂項(xiàng)形式有： ①， 特別聲明： 運(yùn)用等比數(shù)列求和公式，務(wù)必檢查其公比及1的關(guān) 系，必要時(shí)分類討論. （6）通項(xiàng)轉(zhuǎn)換法。 四、三角函數(shù) 1 .。終邊及。終邊相同（。的終邊在。終邊所在射線上） <=> a = 0 + 2k7r（k eZ） . 戊終邊及6終邊共線（。的終邊在。終邊所在直線上）0. a終邊及。終邊關(guān)于尤軸對(duì)稱0a = -8 + 2A/r（AeZ）. a終邊及6終邊關(guān)于y軸對(duì)稱U> a = 7r-0+2k7r（k eZ） . a終邊及。終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱Oa =

36、 ;r + e + 2Qr（%Z）. 一般地：夕終邊及。終邊關(guān)于角夕的終邊對(duì)稱 0a = 2/7-。+ 2k7T* eZ）. 。及號(hào)的終邊關(guān)系由“兩等分各象限、一二三四”確定. 2 .弧長公式：/TaIR,扇形面積公式：S = ^lR = ^\a\ R2 , 1弧度（Irad） 573. 3 .三角函數(shù)符號(hào)特征是：一是全正、二正弦正、三是切正、四余弦正. 注意：sin 150 = cos75 =七點(diǎn),sin75 = cos 150 =烏史， 4 4 tan 15 = cot75 =2-6,tan75 = cot 15 =2 + 6 一 4 .三角函數(shù)線的特征是：正弦線“站在x軸

37、上（起點(diǎn)在x軸上）”、余弦 線”躺在x軸上（起點(diǎn)是原點(diǎn)）”、正切線”站在點(diǎn)A（1,O）處（起點(diǎn)是 A） ” .務(wù)必重視“三角函數(shù)值的大小及單位圓上相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān) 系，‘正弦O 縱坐標(biāo)、‘余弦O 橫坐標(biāo)‘、‘正切O 縱 坐標(biāo)除以橫坐標(biāo)之商’”；務(wù)必記住：單位圓中角終邊的變化及 sina土cosa值的大小變化的關(guān)系.a為銳角=> sin a

38、、系數(shù)（常值）的變換，其 核心是“角的變換”！ 角的變換主要有：已知角及特殊角的變換、已知角及目標(biāo)角的變換、 角及其倍角的變換、兩角及其和差角的變換. 如 a = [a + p）- p = [a- P） + p , 2a = （ + /7） + （a - P） , 2a = （" + a）-芻—導(dǎo)勾等. 常值變換主要指“1”的變換： 1 = sin2 x + cos2 x = sec2 x - tan2 x = tanx - cot x = tan . = sin . = cosO =…等. 三角式變換主要有：三角函數(shù)名互化（切割化弦）、三角函數(shù)次數(shù)的降 升（降次、升次）、運(yùn)算結(jié)構(gòu)

39、的轉(zhuǎn)化（和式及積式的互化）.解題時(shí)本著“三 看”的基本原則來進(jìn)行：“看角、看函數(shù)、看特征”，基本的技巧有:巧變 角，公式變形使用,化切割為弦,用倍角公式將高次降次. 注意：和（差）角的函數(shù)結(jié)構(gòu)及符號(hào)特征；余弦倍角公式的三種形式 選用；降次（升次）公式中的符號(hào)特征.“正余弦三兄妹 —sinxcosx> sinxcosx 的聯(lián)系”（常和三角換元法聯(lián)系在一起 t = sinxcosx e [-5/2,>/2],sin acosx =）. 輔助角公式中輔助角的確定：a sin x + bcosx = yla2 +b- sin （x + 0）（其中6 角所在的象限由a 8的符號(hào)確定，8角的值由確定）

40、在求最值、化簡時(shí)起 著重要作用.尤其是兩者系數(shù)絕對(duì)值之比為1或6的情 形.Asinx+8cosx = C有實(shí)數(shù)解0 A +8^ . 8 .三角函數(shù)性質(zhì)、圖像及其變換： （1）三角函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、有界性和周期性 注意：正切函數(shù)、余切函數(shù)的定義域；絕對(duì)值對(duì)三角函數(shù)周期性 的影響：一般說來，某一周期函數(shù)解析式加絕對(duì)值或平方，其周期性是： 弦減半、切不變.既為周期函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)向變量加絕對(duì)值，其周 期性不變；其他不定.如y = Suva-,y = |sill.v|的周期都是萬，但 尸卜回+母心二柚司+卬乂的周期為%, y二I tanx的周期不變，問函數(shù) 產(chǎn) cos |x

41、 , y = sinx?,y = sin 兇,y =cos，尸 cos|x| 是周期函數(shù)嗎? （2）三角函數(shù)圖像及其兒何性質(zhì)： （3）三角函數(shù)圖像的變換：兩軸方向的平移、伸縮及其向量的平移變 換. （4）三角函數(shù)圖像的作法：三角函數(shù)線法、五點(diǎn)法（五點(diǎn)橫坐標(biāo)成等 差數(shù)列）和變換法. 9 .三角形中的三角函數(shù)： （1）內(nèi)角和定理：三角形三角和為乃，任意兩角和及第三個(gè)角總互補(bǔ), 任意兩半角和及第三個(gè)角的半角總互余.銳角三角形。三內(nèi)角都是鎮(zhèn)角 今三內(nèi)角的余弦值為正值*任兩角和都是鈍角任意兩邊的平方和大于 第三邊的平方. （2）正弦定理：E = & = = 2R （A為三角形外接圓的半徑

42、）. sin A sinB sine 注意：己知三角形兩邊一對(duì)角，求解三角形時(shí)，若運(yùn)用正弦定理, 則務(wù)必注意可能有兩解. （3）余弦定理：cr=b2+ c2 — 2Z?ccos A, cos A = 〃-十< "十：J ——1 2bc 2bc 等，常選用余弦定理鑒定三角形的類型. （4）面積公式：S = ga% = gabsinC =. 2 2 4/\ 五、向量 1 .向量運(yùn)算的幾何形式和坐標(biāo)形式，請(qǐng)注意：向量運(yùn)算中向量起點(diǎn)、終 點(diǎn)及其坐標(biāo)的特征. 2 .幾個(gè)概念：零向量、單位向量（及通共線的單位向量是，特別： （若+谷），（獸-/））、平行（共線）向量（無傳遞性，是因?yàn)?/p>

43、有6）、 \ab\ \ac\ \ab\ \ac\ 相等向量（有傳遞性）、相反向量、向量垂直、以及一個(gè)向量在另一向量 方向上的投影（d在B上的投影是=。cos<^^ >=^eR ）. 3 .兩非零向量平行（共線）的充要條件 aHb = a =入1)= (a b\ = (I a IIZ; I)2 = x1x2 + y\y2 = 0 ? 兩個(gè)非零向量垂直的充要條件 a 上b Q a b = 0 =1 a + b\=\a-b\ = x{x2 + y1y2 = 0 ? 特別：零向量和任何向量共線.Z = 4是向量平行的充分不必要條件! 4.平面向量的基本定理：如果e：和電是同一平面內(nèi)的兩

44、個(gè)不共線向量， 那么對(duì)該平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)為、冬，使a=4金+友比. 5.三點(diǎn)A、B、C共線O而、/共線； 向量而、麗、定中三終點(diǎn)4 3、C共線O存在實(shí)數(shù)a、/使得： 西=a而+ /?正且。+ / = 1. 6 .向量的數(shù)量積：l〃F=(a)2 =”?"，a-b^a\\b\cos0 = x1x2 + y\y2, 8se = m=…產(chǎn)， 何川 —y： & +貢 Z在讓的投影Ticos < 石 >=4 =二W 店而 注意：為銳角<=>a?B>0且a、B不同向； < a,b > 為直角 <=> a Z = 0 且 a、B H 6 ； <),B>為鈍角u> v

45、o且7、b不反向; 夕否V。是>為鈍角的必要非充分條件. 向量運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算有類似的地方也有區(qū)別：一個(gè)封閉圖形首尾連接 而成的向量和為零向量，這是題目中的天然條件，要注意運(yùn)用；對(duì)于一個(gè) 向量等式，可以移項(xiàng)，兩邊平方、兩邊同乘以一個(gè)實(shí)數(shù)，兩邊同時(shí)取模， 兩邊同乘以一個(gè)向量，但不能兩邊同除以一個(gè)向量，即兩邊不能約去一個(gè) 向量；向量的“乘法”不滿足結(jié)合律，即〃(5?(?) W(4?B)C ,切記兩向量不 能相除(相約). 7 . \\a\-\b\\<]ab\<\a\ + \b\ 注意：a、b 同向或有6 \a + b\=\a\ + \b \ — \; a. B反向或有。<^>\a

46、-b\=\a\ + \b\>\\al-\b\\^a^b\; 2、B不共線01|"|-由＜|"加＜|"| +而?（這些和實(shí)數(shù)集中類似） 8.中點(diǎn)坐標(biāo)公式，為的中點(diǎn). AA3C中，A撲衣過3C邊中點(diǎn)；（至+更）,（*■_尤）; \AB\ \AC\） \AB\ IACI 與痛共線的單位向量是土 AB PG = hPA + PB + PC) OG 為 AA3C 的 重心； 特別中+而+定=6 0P為的重心. 蘇?麗=麗?定=正屈=尸為AA3C的垂心； 〃皿+ 4-）（2*0）所在直線過AABC的內(nèi)心（是ZBAC的角平分 \AB\ \AC\ 線所在直線）； I而I正+1沅I

47、而+lNl麗= 6=P AA5C的內(nèi)心. S^=1|AB||AC|sinA = ；J研明已（福宿」. 乙 乙 六、不等式 1 . （1）解不等式是求不等式的解集，最后務(wù)必有集合的形式表示；不等 式解集的端點(diǎn)值往往是不等式對(duì)應(yīng)方程的根或不等式有意義范圍的端點(diǎn) 值. （2）解分式不等式的一般解題思路是什么？（移項(xiàng)通分，分子分母 分解因式，7的系數(shù)變?yōu)檎?標(biāo)根及奇穿過偶彈回）; （3）含有兩個(gè)絕對(duì)值的不等式如何去絕對(duì)值？（一般是根據(jù)定義分 類討論、平方轉(zhuǎn)化或換元轉(zhuǎn)化）; （4）解含參不等式常分類等價(jià)轉(zhuǎn)化，必要時(shí)需分類討論.注意：按 參數(shù)討論，最后按參數(shù)取值分別說明其解集，但若按未知數(shù)

48、討論，最后應(yīng) 求并集. 2 .利用重要不等式，，+〃之2&萬以及變式，必〈（字尸等求函數(shù)的最值時(shí)， 務(wù)必注意多 加R+ （或a , b非負(fù)），且“等號(hào)成立”時(shí)的條件是積數(shù)或 和a+b其中之一應(yīng)是定值（一正二定三等四同時(shí)）. 3 .常用不等式有：J吟立之弊之而看（根據(jù)目標(biāo)不等式左右的 a + b 運(yùn)算結(jié)構(gòu)選用） a、b、ceR, a2 +b2 +c2 >ab + bc + ca （當(dāng)且僅當(dāng)。= b = c時(shí),取等號(hào)） 4 .比較大小的方法和證明不等式的方法主要有：差比較法、商比較法、 函數(shù)性質(zhì)法、綜合法、分析法 5 .含絕對(duì)值不等式的性質(zhì)： 〃、b 同號(hào)或有0 <^>\a + b\

49、^a\ + \b\>\\a\-\b\^a-b\; a、。異號(hào)或有。O\a-bHa\ + \b\>\\a\-\b\^a+b\. 注意：不等式恒成立問題的常規(guī)處理方式？（常應(yīng)用方程函數(shù)思想和 “分離變量法”轉(zhuǎn)化為最值問題）. 6 .不等式的恒成立，能成立,恰成立等問題 （1） .恒成立問題 若不等式/（x）>A在區(qū)間。上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間。上 /（XLn>A 若不等式/（X）

50、數(shù)x使不等式/（x）v8成立，即/（x）vB在區(qū) 間。上能成立，，則等價(jià)于在區(qū)間。上的/（力.＜8. （3） .恰成立問題 若不等式/（、）＞ A在區(qū)間D上恰成立，則等價(jià)于不等式f（x）＞A 的解集為）. 若不等式在區(qū)間。上恰成立，則等價(jià)于不等式人“＜8 的解集為。， 七、直線和圓 1 .直線傾斜角及斜率的存在性及其取值范圍；直線方向向量的意義 （或％（0。）（4 = 0））及其直線方程的向量式（（x-xQty-yQ） = Aa （。為 直線的方向向量））.應(yīng)用直線方程的點(diǎn)斜式、斜截式設(shè)直線方程時(shí)，一般 可設(shè)直線的斜率為A,但你是否注意到直線垂直于x軸時(shí)，即斜率A不存 在的情況？

51、2 .知直線縱截距力，常設(shè)其方程為y = 或x = 0;知直線橫截距見,常 設(shè)其方程為x =,町，+/（直線斜率左存在時(shí)，，〃為女的倒數(shù)）或），=0.知 直線過點(diǎn)（％,凡），常設(shè)其方程為y = k（x-/） +約或X = ?% - 注意：（1）直線方程的幾種形式：點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截矩式、 一般式、向量式.以及各種形式的局限性.（如點(diǎn)斜式不適用于斜率不存 在的直線，還有截矩式呢？） 及直線/: Ax +為+ C =。平行的直線可表示為Ax + 8.v + G =。； 及直線/: Ar + 8.v + C =。垂直的直線可表示為Bx-Ay + C, =0； 過點(diǎn)P（x。，%）及

52、直線/：6+ 8），+。= 0平行的直線可表示為： A（x-xo） + B（y-yo） = O； 過點(diǎn)P（x0,%）及直線/： 4人+州+。=。垂直的直線可表示為： B（x-xo）-A（y-yo） = O. （2）直線在坐標(biāo)軸上的截距可正、可負(fù)、也可為0.直線兩截距相等 O直線的斜率為-1或直線過原點(diǎn)；直線兩截距互為相反數(shù)O直線的斜率 為1或直線過原點(diǎn)；直線兩截距絕對(duì)值相等。直線的斜率為1或直線過 原點(diǎn). （3）在解析兒何中，研究兩條直線的位置關(guān)系時(shí)，有可能這兩條直 線重合，而在立體兒何中一般提到的兩條直線可以理解為它們不重合. 3.相交兩直線的夾角和兩直線間的到角是兩個(gè)不同的概念

53、：夾角特 指相交兩直線所成的較小角，范圍是（0.與］,而其到角是帶有方向的角，范 圍是（0,充）. 注：點(diǎn)到直線的距離公式 特別：k& = 一吟、勺都存在時(shí)）=A4+4紇=0； 也蔻3、區(qū)都存在時(shí)）=依號(hào)麴; 卜，2重合普工”…都存在時(shí)）=般;懸或3cJ 4 .線性規(guī)劃中幾個(gè)概念：約束條件、可行解、可行域、目標(biāo)函數(shù)、最優(yōu) 解. 5 .圓的方程：最簡方程./ +3，2 =心 標(biāo)準(zhǔn)方程(X-4+(y-療=代； 一般式方程 x2 + y2 + Dx +Ey + F = 0(D2 + E2 -4F >0)； 參數(shù)方程為參數(shù))； 直徑式方程(x-x,)(x -x2) + (y- y,

54、) (y - y2) = 0. 注意： (1)在圓的一般式方程中，圓心坐標(biāo)和半徑分別是 (-烏,-與)]=^D2 + E2-4F . (2)圓的參數(shù)方程為“三角換元”提供了樣板，常用三角換元有： / +)?=1 -> x = cos。, y = sin0 , Y +)理=2 - x = VIcos^.y = VIsin0 , x2 + y2 x = rcosd,y = rsin8(0 x= rcos O.y = rsin 8(0

55、要的是發(fā)揮“圓的平面幾何性質(zhì)(如半徑、半 弦長、弦心距構(gòu)成直角三角形，切線長定理、割線定理、弦切角定理等等) 的作用！ ” (1)過圓x2 + y2=R2上一點(diǎn)P(6城圓的切線方程是:注―2, 過圓(x-a)2 +(y-b)2 =R上一點(diǎn)戶(七,打)圓的切線方程是： (x-a)(x0-a) + (y-a)(y0-a) = R2 , 過圓/+ / +6+4+尸=0 (。2 +爐一42>0)上一點(diǎn)P(x0,y0)圓的切 線方程是：必)+。+9(刀+/)+與()，+)")+/=0 . 如果點(diǎn)P(XQ，。)在圓外，那么上述直線方程表示過點(diǎn)P兩切線上兩 切點(diǎn)的“切點(diǎn)弦”方程. 如果點(diǎn)P（XQ，

56、0）在圓內(nèi)，那么上述直線方程表示及圓相離且垂直于 0/ （01為圓心）的直線方程，iqpi/ = /?2 （"為圓心。|到直線的距離）. 7.曲線G：/*，y） = o及G：g*，y） = o的交點(diǎn)坐標(biāo)u＞方程組的解； 過兩圓G"（x,y） = 0、C2:g（x,y） = 0交點(diǎn)的圓（公共弦）系為 /（A-,y） + 24?（A-,y） = 0,當(dāng)且僅當(dāng)無平方項(xiàng)時(shí)，/（毛），）+通（乂），） = 0為兩圓公共弦 所在直線方程. 八、圓錐曲線 1.圓錐曲線的兩個(gè)定義，及其“括號(hào)”內(nèi)的限制條件,在圓錐曲線問題 中，如果涉及到其兩焦點(diǎn)（兩相異定點(diǎn)），那么將優(yōu)先選用圓錐曲線第一 定義；如果涉及到

57、其焦點(diǎn)、準(zhǔn)線（一定點(diǎn)和不過該點(diǎn)的一定直線）或離心 率，那么將優(yōu)先選用圓錐曲線第二定義；涉及到焦點(diǎn)三角形的問題，也要 重視焦半徑和三角形中正余弦定理等兒何性質(zhì)的應(yīng)用. （1）注意：①圓錐曲線第一定義及配方法的綜合運(yùn)用； ②圓錐曲線第二定義是：”點(diǎn)點(diǎn)距為分子、點(diǎn)線距為分母”，橢 圓O點(diǎn)點(diǎn)距除以點(diǎn)線距商是小于1的正數(shù)，雙曲線。點(diǎn)點(diǎn)距除以點(diǎn)線距 商是大于1的正數(shù)，拋物線O點(diǎn)點(diǎn)距除以點(diǎn)線距商是等于1.③圓錐曲線 的焦半徑公式如下圖： 2.圓錐曲線的幾何性質(zhì)：圓錐曲線的對(duì)稱性、圓錐曲線的范圍、圓錐曲 線的特殊點(diǎn)線、圓錐曲線的變化趨勢.其中。=,橢圓中2 =6二7、雙 a a 曲線中介二〃7二

58、7. a 重視“特征直角三角形、焦半徑的最值、焦點(diǎn)弦的最值及其‘頂點(diǎn)、 焦點(diǎn)、準(zhǔn)線等相互之間及坐標(biāo)系無關(guān)的幾何性質(zhì)”，尤其是雙曲線中焦 半徑最值、焦點(diǎn)弦最值的特點(diǎn), 注意：等軸雙曲線的意義和性質(zhì). 3 .在直線及圓錐曲線的位置關(guān)系問題中，有“函數(shù)方程思想”和“數(shù)形 結(jié)合思想”兩種思路，等價(jià)轉(zhuǎn)化求解.特別是： ①直線及圓錐曲線相交的必要條件是他們構(gòu)成的方程組有實(shí)數(shù)解，當(dāng) 出現(xiàn)一元二次方程時(shí)，務(wù)必“判別式20”，尤其是在應(yīng)用韋達(dá)定理解決 問題時(shí),必須先有“判別式20” . ②直線及拋物線（相交不一定交于兩點(diǎn)）、雙曲線位置關(guān)系（相交的四 種情況）的特殊性，應(yīng)謹(jǐn)慎處理. ③在直線及圓錐曲

59、線的位置關(guān)系問題中，常及“弦”相關(guān)，“平行弦” 問題的關(guān)鍵是“斜率”、“中點(diǎn)弦”問題關(guān)鍵是“韋達(dá)定理”或“小小直 角三角形”或“點(diǎn)差法”、“長度（弦長）”問題關(guān)鍵是長度（弦長）公 式 （I AB 1= a/（X| - x,）~ + （V] — yy）~ ， I AB 1= + k~ lx, — x, 1= Jl + k” , ―, a ： -1——— - 一 \a\ I AB 1= J1+-11歲一刈?）或二小小直角三角影二 ④如果在一條直線上出現(xiàn)“三個(gè)或三個(gè)以上的點(diǎn)”，那么可選擇應(yīng)用 “斜率”為橋梁轉(zhuǎn)化. 4 .要重視常見的尋求曲線方程的方法（待定系數(shù)法、定義法、直譯法、

60、代點(diǎn)法、參數(shù)法、交軌法、向量法等），以及如何利用曲線的方程討論曲 線的幾何性質(zhì)（定義法、幾何法、代數(shù)法、方程函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、 分類討論思想和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想等），這是解析兒何的兩類基本問題，也是 解析幾何的基本出發(fā)點(diǎn). 注意：①如果問題中涉及到平面向量知識(shí),那么應(yīng)從已知向量的特點(diǎn) 出發(fā)，考慮選擇向量的幾何形式進(jìn)行“摘帽子或脫靴子”轉(zhuǎn)化，還是選擇 向量的代數(shù)形式進(jìn)行“摘帽子或脫靴子”轉(zhuǎn)化. ②曲線及曲線方程、軌跡及軌跡方程是兩個(gè)不同的概念,尋求軌跡或 軌跡方程時(shí)應(yīng)注意軌跡上特殊點(diǎn)對(duì)軌跡的“完備性及純粹性”的影響. ③在及圓錐曲線相關(guān)的綜合題中，常借助于“平面兒何性質(zhì)”數(shù)形結(jié) 合（如角平

61、分線的雙重身份）、”方程及函數(shù)性質(zhì)”化解析幾何問題為代 數(shù)問題、”分類討論思想”化整為零分化處理、”求值構(gòu)造等式、求變量 范圍構(gòu)造不等關(guān)系”等等. 九、直線、平面、簡單多面體 1.計(jì)算異面直線所成角的關(guān)鍵是子移（補(bǔ)形）轉(zhuǎn)化為兩直線的夾角計(jì)算 2.計(jì)算直線及平面所成的角關(guān)鍵是作面的垂線撥射影，或向量法（直線 上向量及平面法向量夾角的余角），三余弦公式（最小角定理, cos^ = cos^cos^）,或先運(yùn)用等積法求點(diǎn)到直線的距離，后虛擬直角三角 形求解.注：一斜線及平面上以斜足為頂點(diǎn)的角的兩邊所成角相等n斜線 在平面上射影為角的平分線. 3 .空間平行垂直關(guān)系的證明，主要依據(jù)相關(guān)定義、公理

62、、定理和空間向 量進(jìn)行，請(qǐng)重視線面平行關(guān)系、線面垂直關(guān)系（三垂線定理及其逆定理） 的橋梁作用.注意：書寫證明過程需規(guī)范. 特別聲明： ①證明計(jì)算過程中，若有“中點(diǎn)”等特殊點(diǎn)線，則常借助于“中位線、 重心”等知識(shí)轉(zhuǎn)化. ②在證明計(jì)算過程中常將運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，將具體問題轉(zhuǎn)化（構(gòu)造）為 特殊幾何體（如三棱錐、正方體、長方體、三棱柱、四棱柱等）中問題， 并獲得去解決. ③如果根據(jù)已知條件，在幾何體中有“三條直線兩兩垂直”，那么往 往以此為基礎(chǔ)，建立空間直角坐標(biāo)系，并運(yùn)用空間向量解決問題. 4 .直棱柱、正棱柱、平行六面體、長方體、正方體、正四面體、棱錐、 正棱錐關(guān)于側(cè)棱、側(cè)面、對(duì)角面、平行于底

63、的截面的兒何體性質(zhì). 如長方體中：對(duì)角線長/ ,棱長總和為4（a+Z? + c）,全（表） 面積為 2（ab + bc + ca）f （結(jié)合（。+。+ c）2 =a2 + h2 +c2 + lab + 2bc + 2ca 可得關(guān)于 他們的等量關(guān)系，結(jié)合基本不等式還可建立關(guān)于他們的不等關(guān)系式）， cos2 a + cos2 p + cos2 / = 2（1）; 如三棱錐中：側(cè)棱長相等（側(cè)棱及底面所成角相等）O頂點(diǎn)在底上射 影為底面外心，側(cè)棱兩兩垂直（兩對(duì)對(duì)棱垂直）U*頂點(diǎn)在底上射影為底面 垂心，斜局長相等（側(cè)面及底面所成相等）且頂點(diǎn)在底上在底面內(nèi)U*頂點(diǎn) 在底上射影為底面內(nèi)心. 如正四面

64、體和正方體中： 5 .求幾何體體積的常規(guī)方法是：公式法、割補(bǔ)法、等積（轉(zhuǎn)換）法、比 例（性質(zhì)轉(zhuǎn)換）法等.注意：補(bǔ)形：三棱錐n三棱柱=＞平行六面體 分 割：三棱柱中三棱錐、四三棱錐、三棱柱的體積關(guān)系是. 6 .多面體是由若干個(gè)多邊形圍成的幾何體.棱柱和棱錐是特殊的多面體. 正多面體的每個(gè)面都是相同邊數(shù)的正多邊形，以每個(gè)頂點(diǎn)為其一端都 有相同數(shù)目的棱，這樣的多面體只有五種， 即正四面體、正六面體、正 八面體、正十二面體、正二十面體. 9.球體積公式，球表面積公式S = 4/rW,是兩個(gè)關(guān)于球的幾何度量公 式.它們都是球半徑及的函數(shù). 十. 數(shù)列 1 .定義： ⑴等差數(shù)列

65、； ⑵等比數(shù)列 等 差 數(shù) 2 .等差、等比數(shù)列性質(zhì) 列 等比數(shù)列 前n項(xiàng)和 an=am+ (n m) d, (Dan=amqn-m; m+n=p+q am+an=ap+aq ② m+n=p+q aman=apaq ③成AP 成GP ④成AP, ④成GP, 等差數(shù)列特有性質(zhì): 1 項(xiàng)數(shù)為 2n 時(shí)：S2n=n(an+an+1) =n(al+a2n)； 2 項(xiàng)數(shù)為 2n-l 時(shí)：S2n-l=(2n-l)；； 3 .數(shù)列通項(xiàng)的求法: ⑴分析法；⑵定義法（利用AP,GP的定義）；⑶公式法：累加法（： ⑷疊乘法（型）；⑸構(gòu)造法（型）；（6）迭代法;

66、數(shù)學(xué) ⑺間接法（例如：）;⑻作商法（型）；（9）待定系數(shù)法；（10）（理科） 歸納法。 注：當(dāng)遇到時(shí)，要分奇數(shù)項(xiàng)偶數(shù)項(xiàng)討論，結(jié)果是分段形式。 4 .前項(xiàng)和的求法: ⑴拆、并、裂項(xiàng)法；⑵倒序相加法；⑶錯(cuò)位相減法。 5 .等差數(shù)列前n項(xiàng)和最值的求法： ⑴ ；⑵利用二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)。 十一，復(fù)數(shù) 1 .概念： ⑴z=a+biWR b=0 (a,bER) z= z2N0： ⑵z=a+bi 是虛數(shù) bWO(a,b&R)； ⑶z=a+bi 是純虛數(shù) a=0 且 bWO(a,b&R) z+ =0 (zWO) z2<0； (4)a+bi=c+di a=c c=d (a, b, c, d G R) 2 .復(fù)數(shù)的代數(shù)形式及其運(yùn)算：設(shè)zl=a + bi , z2=c + di (a, b, c, d R),則： (1) z 1 z2 = (a + b) (c + d)i； (2) zl. z2 = (a+bi) ? (c+di)= (ac-b