女子數學奧林匹克試題word版

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1、2014年女子數學奧林匹克試題 第一天 2014年8月12日 上午8：00-12：00 廣東中心華南師范大學中山附屬中學 1、 如圖， 與 交于 、 兩點，延長 交于點 ，延長 交于點 ，過點 作 交于另一點 。若 ，求證： 。（鄭煥供題） 解答： 2、 設 ，且 是 的一個排列，其中 是給定的整數。求 的最大值和最小值。 注： 表示不超過實數 的最大整數。（梁應德供題） 3、 在 名學生中，每名學生恰好認識 名男生和 名女生（認識是相互的）。求所有可能的正整數對 。（王新茂供題） 4、 對整數 ，定義 為滿足下列條件的數列 的個數：

2、 （1） 對每個； （2） （3） 對每個 求證：存在各項均為正數的正比數列 ，使得對任意整數 ，都有 （朱華偉供題） 第二天 2014年8月13日 上午8：00-12：00 廣東中心華南師范大學中山附屬中學 5.設正整數 不是完全平方數， 是關于 的方程 的一個實根。求證： 是無理數。（李勝宏供題） 6.如圖，在銳角 中， 、 分別是邊 、 的中點， 的外接圓與 的外接圓交于點 （異于點 ）， 的外接圓與 的外接圓交于點 （異于點 ）。求證： 。（付云皓供題） 7.對有限非空實數集 ，記 的元素個數為 ， 集合對 滿足 且 任取 ，令 對所有滿足上述條件的 與 ，求 的最大值。（何憶捷供題） 8.設 是正整數， 是 中所有與 互素的數構成的集合，記 如果 的元素個數是3的倍數，求證：集合 的元素個數相等。（王彬供題）