傅里葉變換性質傅里葉變換的性質證明

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1、傅里葉變換性質-傅里葉變換的性質證明傅里葉變換性質-傅里葉變換的性質證明主要內容對稱性質對稱性質 線性性質線性性質奇偶虛實性尺度變換性質奇偶虛實性尺度變換性質時移特性頻移特性時移特性頻移特性 微分性質時域積分性質微分性質時域積分性質傅里葉變換性質-傅里葉變換的性質證明意義 傅里葉變換具有惟一性。傅氏變換的性質揭示了傅里葉變換具有惟一性。傅氏變換的性質揭示了信號的時域特性和頻域特性之間的確定的內在聯(lián)系。信號的時域特性和頻域特性之間的確定的內在聯(lián)系。討論傅里葉變換的性質，目的在于：討論傅里葉變換的性質，目的在于：了解特性的內在聯(lián)系；了解特性的內在聯(lián)系；用性質求用性質求F()；了解在通信系統(tǒng)領域中的

2、應用。了解在通信系統(tǒng)領域中的應用。傅里葉變換性質-傅里葉變換的性質證明)()( Ftf若若 ftF2則則 ftF2則則一對稱性質1 1性質性質2 2 意義意義 tFtF )()(相相同同，形形狀狀與與若若 2, )(幅幅度度差差形形狀狀相相同同，的的頻頻譜譜函函數(shù)數(shù)形形狀狀與與則則ttftF 為偶函數(shù)為偶函數(shù)若若tf傅里葉變換性質-傅里葉變換的性質證明 jF1 二線性性質1 1性質性質2 2例例)()(, )()(2211 FtfFtf若若為為常常數(shù)數(shù)則則2122112211,)()()()(ccFcFctfctfc tu tsgn2121傅里葉變換性質-傅里葉變換的性質證明三奇偶虛實性由定義

3、由定義可以得到可以得到 )(d)()(j FtetftfFt )(d)(d)()(jj FueuftetftfFut)()()()( FtfFtf，則，則若若證明：證明：)()()()( FtfFtf，則則若若傅里葉變換性質-傅里葉變換的性質證明四尺度變換性質意義意義 為為非非零零函函數(shù)數(shù)則則若若aaFaatfFtf,1),()( (1) 0a1 時域壓縮，頻域擴展時域壓縮，頻域擴展a倍。倍。 FFtftfa , 1 )3(說明說明說明說明說明說明傅里葉變換性質-傅里葉變換的性質證明3意義otE2 2 tfo E 2 F 2ot 2tfEo E2 22F (1) 0a1 時域壓縮，頻域擴展時域

4、壓縮，頻域擴展a倍。倍。 傅里葉變換性質-傅里葉變換的性質證明),()( Ftf若若;)()(0j0teFttf 則則)()()( jeFF 若若 0)(j0)()(teFttf 則則五時移特性 000ttt 左左右右相移相移幅度頻譜無變化，只影響相位頻譜，幅度頻譜無變化，只影響相位頻譜，)()( Ftf若若 abeaFabatf j1 則則 的證明過程的證明過程仿仿 taat 1時移加尺度變換傅里葉變換性質-傅里葉變換的性質證明)()( Ftf若若 號號為為常常數(shù)數(shù)，注注意意則則 00j0j )()( 00 FetfFetftt2證明 1性質 六頻移特性 teetfetftttd)()(jj

5、j00 F tetftd)(0j 0 F傅里葉變換性質-傅里葉變換的性質證明3說明4應用 )( FOO )(0 F0 0 )(0 F0 0j,)(0 右移右移頻域頻譜搬移頻域頻譜搬移乘乘時域時域tetf0j,)(0 左左移移頻頻域域頻頻譜譜搬搬移移乘乘時時域域tetf 通信中調制與解調，頻分復用。通信中調制與解調，頻分復用。傅里葉變換性質-傅里葉變換的性質證明七微分性質時域微分性質時域微分性質頻域微分性質頻域微分性質)(j)()()( FtfFtf ，則則),()( Ftf若若 djd)(Fttf則則 dd)(Ftjtf nnnFtfjt dd)( 或或 nnnFtftj)(傅里葉變換性質-傅

6、里葉變換的性質證明1時域微分注意注意)(j)()()( FtfFtf ，則則 )(j )( Ftfnn一般情況下一般情況下 nntfFF j)( 則則 ，若若已已知知)(tfFn :)(j)( FtfF 090j ,相相位位增增加加幅幅度度乘乘 傅里葉變換性質-傅里葉變換的性質證明注意如果如果f(t)中有確定的直流分量，應先取出單獨求傅里中有確定的直流分量，應先取出單獨求傅里變換，余下部分再用微分性質。變換，余下部分再用微分性質。 j1t j1)(, 1t),sgn(2121)()( 21t2222 utftftfttutfFu微分微分余下部分余下部分直流直流21ot tf11ot tuot

7、ttftudd1 1傅里葉變換性質-傅里葉變換的性質證明),()( Ftf若若 djd)(Fttf則則 dd)(jFttf 或或 nnnFtft dd)(j 2頻域微分性質或或 nnnFtftj)(推廣推廣傅里葉變換性質-傅里葉變換的性質證明八時域積分性質 ，則則若若 Ftf jd00FfFt 時時， j0d00FFfFt 時時，也可以記作：也可以記作： )(j1)( F傅里葉變換性質-傅里葉變換的性質證明證明證明 atfF atfF aFaatfF 1綜合上述兩種情況綜合上述兩種情況 teatfatfFtdj 因為因為xataxtatxad1d,0 ，令，令當當xatxaaxttaatxaa

8、ad1d,1 ,0 令令，當當 aFa 1 xexfaaxd1j aFa 1 xexfaxad1j xexfaaxd1j 傅里葉變換性質-傅里葉變換的性質證明等效脈沖寬度與等效頻帶寬度 Ot 0f tf O 0F F B 0dfttf BFF0d d21d2100jFeFftt ttfFd0 1 2 fBB等效脈沖寬等效脈沖寬度與占有的度與占有的等效帶寬成等效帶寬成反比。反比。傅里葉變換性質-傅里葉變換的性質證明例3-7-1t1即即 , 1t 21 tFt j2則則,j2)sgn( tF已知已知例3-7-2)sgn(2 )sgn(j 相移全通相移全通網(wǎng)絡網(wǎng)絡傅里葉變換性質-傅里葉變換的性質證明

9、 2Sa22 EFtutuEtf tc, 2Sa2 2Sa2122tEtEtFuuEfcccccc 例3-7-3，若若02 c的的方方波波寬寬度度為為02 )()Sa(0200 Gt 則則有有傅里葉變換性質-傅里葉變換的性質證明例3-7-4（時移性質，教材3-2）求圖求圖(a)所示三脈沖信號的所示三脈沖信號的頻譜。頻譜。 tft2 2 TT E(a)三脈沖信號的波形(a)三脈沖信號的波形解：解： ,00 Ftf信號，其頻譜函數(shù)信號，其頻譜函數(shù)表示矩形單脈沖表示矩形單脈沖令令 2Sa0 EF 2 0F EO(b)(b)傅里葉變換性質-傅里葉變換的性質證明, 2 a 4Sa22212 EFtf例3

10、-7-9 25j4Sa252 eEtf（向向右右）時時移移，對對255tb 的頻譜密度函數(shù)。的頻譜密度函數(shù)。，求，求已知已知522Sa tfEFtf 方法一：先標度變換，再時延方法一：先標度變換，再時延 5j2Sa55 eEtft（向向右右）：時時移移對對 25j4Sa2522 eEtf：壓壓縮縮對對所所有有方法二：先時延再標度變換方法二：先時延再標度變換 相同相同傅里葉變換性質-傅里葉變換的性質證明例3-7-6（教材例3-4）已知矩形調幅信號已知矩形調幅信號 ,cos0ttGtf 試求其頻譜函數(shù)。試求其頻譜函數(shù)。脈寬為脈寬為，為為為矩形脈沖，脈沖幅度為矩形脈沖，脈沖幅度其中其中, EtG 為

11、為的頻譜的頻譜已知矩形脈沖已知矩形脈沖 GtG 2Sa EG解：解：因為因為 tteetGtf00jj21 為為頻譜頻譜根據(jù)頻移性質，根據(jù)頻移性質， Ftf 002121 GGF t tfo2 2 E(a)矩形調幅信號的波形(a)矩形調幅信號的波形傅里葉變換性質-傅里葉變換的性質證明頻譜圖 2Sa22Sa2 21210000 EEGGF0 二二，向向左左、右右各各平平移移將將包包絡絡線線的的頻頻譜譜一一分分為為 20 0 O0 2 E F( (b b) )矩矩形形調調幅幅信信號號的的頻頻譜譜傅里葉變換性質-傅里葉變換的性質證明求三角函數(shù)的頻譜密度函數(shù)求三角函數(shù)的頻譜密度函數(shù)例3-7-5o tf

12、t2 2 Eo F2 E 4 4 傅里葉變換性質-傅里葉變換的性質證明分析o tft2 2 E方波方波三角形函數(shù)三角形函數(shù)求導求導 o tf t2 2 E2沖激函數(shù)沖激函數(shù)方波方波求導求導 o tf t2 2 E2 E2 E4傅里葉變換性質-傅里葉變換的性質證明 FF22j 2j2j22421 eEEeEF tetEtEtEtfFtd22422j 2j2j2221 eeE2224j4j24sinj222 EeeE222224Sa2444sin8 EE2j2j242 eEEeE傅里葉變換性質-傅里葉變換的性質證明例3-7-8 tftF2 解：解： ？，求求已已知知 tftFFtf2)()( FF

13、2ddj tfttfF2 傅里葉變換性質-傅里葉變換的性質證明1 nntt F 21 ddj1Ft 例3-7-9解：解： 22ddjj1 Ftt nnnnnnnFt d2djddj1 ntF求求傅里葉變換性質-傅里葉變換的性質證明例3-7-10 1. 求單位階躍函數(shù)的傅里葉變換求單位階躍函數(shù)的傅里葉變換 ttttud)()( 已已知知1)(t )(j11)(j1)( tu則則 2Sa)( tG 00)0Sa( F，知，知由由 2Sajd tGF 2Sajd tGt)(1tG O2 2 積分的頻譜函數(shù)。積分的頻譜函數(shù)。求門函數(shù)求門函數(shù)tG . 2t)(tG O2 2 1解：解：解：解：傅里葉變換

14、性質-傅里葉變換的性質證明證明證明設設f(t)是實函數(shù)（為虛函數(shù)或復函數(shù)情況相似，略）是實函數(shù)（為虛函數(shù)或復函數(shù)情況相似，略） tetfFtd)()(j tttftttfdsinjdcos 顯然顯然 tttfXtttfRdsindcos RR 的的偶偶函函數(shù)數(shù)關關于于 FF FtfF已已知知 FtfF XX的奇函數(shù)的奇函數(shù)關于關于 傅里葉變換性質-傅里葉變換的性質證明證明證明 tebatfFtd)(j1 xaeexfFabxad1)(jj1 abeaFa j1 abxaabxteeee jjjj xaeexfFabxad1)(jj1 xeexfaabxad)(1jj abxaabeaFaxex

15、fea jjj1d)(1 xatabxtxbatad1d,0 則則設設時時當當xatabxabxtxbataaad1d,0 則則設設時時當當傅里葉變換性質-傅里葉變換的性質證明證明 tefttddj tetuftddj 變上限積分用帶時移的變上限積分用帶時移的單位階躍的無限積分表單位階躍的無限積分表示，成為示，成為 tutf ddj tetuft交換積分順序交換積分順序 ，即先求時移的單位階躍即先求時移的單位階躍信號的傅里葉變換信號的傅里葉變換 后后先先t dj1j ef常常數(shù)數(shù)，移移到到積積分分外外為為而而言言對對積積分分變變量量 續(xù)續(xù) dj1j ef傅里葉變換性質-傅里葉變換的性質證明 dj1j ef F j1 FFj1 j0FF 則則第第一一項項為為零零如如果果,00 F j0j1dFFFft j1Ftutf續(xù)續(xù)傅里葉變換性質-傅里葉變換的性質證明 d)(21)(j teFtf dj)(21j teFtf)(jj)()( FFtf )(j)( FtfF 證明證明即即傅里葉變換性質-傅里葉變換的性質證明(flash)此課件下載可自行編輯修改，供參考！此課件下載可自行編輯修改，供參考！感謝你的支持，我們會努力做得更好！感謝你的支持，我們會努力做得更好！