14高三畢業(yè)班數(shù)學課本知識點整理歸納之十四 第十四章極限與導數(shù)

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1、2010-2011年高三畢業(yè)班數(shù)學課本知識點整理歸納之十四 第十四章 極限與導數(shù) 一、 基礎(chǔ)知識 1．極限定義：（1）若數(shù)列{un}滿足，對任意給定的正數(shù)ε，總存在正數(shù)m，當n>m且n∈N時，恒有|un-A|<ε成立（A為常數(shù)），則稱A為數(shù)列un當n趨向于無窮大時的極限，記為，另外=A表示x大于x0且趨向于x0時f(x)極限為A，稱右極限。類似地表示x小于x0且趨向于x0時f(x)的左極限。 2．極限的四則運算：如果f(x)=a, g(x)=b，那么[f(x)g(x)]=ab, [f(x)?g(x)]=ab, 3.連續(xù)：如果函數(shù)f(x)在x=x0處有定義，且f(x)存在，

2、并且f(x)=f(x0)，則稱f(x)在x=x0處連續(xù)。 4．最大值最小值定理：如果f(x)是閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，那么f(x)在[a,b]上有最大值和最小值。 5．導數(shù)：若函數(shù)f(x)在x0附近有定義，當自變量x在x0處取得一個增量Δx時（Δx充分?。蜃兞縴也隨之取得增量Δy(Δy=f(x0+Δx)-f(x0)).若存在，則稱f(x)在x0處可導，此極限值稱為f(x)在點x0處的導數(shù)（或變化率），記作(x0)或或，即。由定義知f(x)在點x0連續(xù)是f(x)在x0可導的必要條件。若f(x)在區(qū)間I上有定義，且在每一點可導，則稱它在此敬意上可導。導數(shù)的幾何意義是：f(x)在點x0

3、處導數(shù)(x0)等于曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0))處切線的斜率。 6．幾個常用函數(shù)的導數(shù)：（1）=0（c為常數(shù)）；（2）（a為任意常數(shù)）；（3）(4);(5);(6);（7）；（8） 7．導數(shù)的運算法則：若u(x),v(x)在x處可導，且u(x)≠0,則 （1）；（2）；（3）（c為常數(shù)）；（4）；（5）。 8．復合函數(shù)求導法：設(shè)函數(shù)y=f(u),u=(x)，已知(x)在x處可導，f(u)在對應的點u(u=(x))處可導，則復合函數(shù)y=f[(x)]在點x處可導，且（f[(x)]=. 9.導數(shù)與函數(shù)的性質(zhì)：（1）若f(x)在區(qū)間I上可導，則f(x)在I上連續(xù)；（2）若對一切x

4、∈(a,b)有，則f(x)在(a,b)單調(diào)遞增；（3）若對一切x∈(a,b)有，則f(x)在(a,b)單調(diào)遞減。 10．極值的必要條件：若函數(shù)f(x)在x0處可導，且在x0處取得極值，則 11.極值的第一充分條件：設(shè)f(x)在x0處連續(xù)，在x0鄰域(x0-δ,x0+δ)內(nèi)可導，（1）若當x∈(x-δ,x0)時，當x∈(x0,x0+δ)時，則f(x)在x0處取得極小值；（2）若當x∈(x0-δ，x0)時，當x∈(x0,x0+δ)時，則f(x)在x0處取得極大值。 12．極值的第二充分條件：設(shè)f(x)在x0的某領(lǐng)域(x0-δ,x0+δ)內(nèi)一階可導，在x=x0處二階可導，且。（1）若，則f(x

5、)在x0處取得極小值；（2）若，則f(x)在x0處取得極大值。 13．羅爾中值定理：若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)上可導，且f(a)=f(b)，則存在ξ∈(a,b)，使 [證明] 若當x∈(a,b)，f(x)≡f(a)，則對任意x∈(a,b)，.若當x∈(a,b)時，f(x)≠f(a)，因為f(x)在[a,b]上連續(xù)，所以f(x)在[a,b]上有最大值和最小值，必有一個不等于f(a)，不妨設(shè)最大值m>f(a)且f(c)=m，則c∈(a,b)，且f(c)為最大值，故，綜上得證。 14．Lagrange中值定理：若f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)上可導，則存在ξ∈(

6、a,b)，使 [證明] 令F(x)=f(x)-,則F(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)上可導，且F(a)=F(b)，所以由13知存在ξ∈(a,b)使=0，即 15．曲線凸性的充分條件：設(shè)函數(shù)f(x)在開區(qū)間I內(nèi)具有二階導數(shù)，（1）如果對任意x∈I,,則曲線y=f(x)在I內(nèi)是下凸的；（2）如果對任意x∈I,,則y=f(x)在I內(nèi)是上凸的。通常稱上凸函數(shù)為凸函數(shù)，下凸函數(shù)為凹函數(shù)。 16．琴生不等式：設(shè)α1,α2,…,αn∈R+，α1+α2+…+αn=1。（1）若f(x)是[a,b]上的凸函數(shù)，則x1,x2,…,xn∈[a,b]有f(a1x1+a2x2+…+anxn)≤a1f(x1)

7、+a2f(x2)+…+anf(xn). 二、方法與例題 1．極限的求法。 例1 求下列極限：（1）；（2）；（3）；（4） [解]（1）=； （2）當a>1時， 當0

8、x)2，試討論f(x)在x=2處的連續(xù)性。 [解] 當x∈[0,1)時，有f(x)=x(1-x)2，在f(x+1)=2f(x)中令x+1=t，則x=t-1，當x∈[1,2)時，利用f(x+1)=2f(x)有f(t)=2f(t-1)，因為t-1∈[0,1),再由f(x)=x(1-x)2得f(t-1)=(t-1)(2-t)2,從而t∈[1,2)時,有f(t)=2(t-1)?(2-t)2；同理，當x∈[1,2)時，令x+1=t，則當t∈[2,3)時，有f(t)=2f(t-1)=4(t-2)(3-t)2.從而f(x)=所以 所以 ，所以f(x)=f(x)=f(2)=0，所以

9、f(x)在x=2處連續(xù)。 3．利用導數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程。 [解] 因為點(2,0)不在曲線上，設(shè)切點坐標為(x0,y0)，則，切線的斜率為，所以切線方程為y-y0=，即。又因為此切線過點（2,0），所以，所以x0=1，所以所求的切線方程為y=-(x-2)，即x+y-2=0. 4．導數(shù)的計算。 例5 求下列函數(shù)的導數(shù)：（1）y=sin(3x+1)；（2）；（3）y=ecos2x；（4）；（5）y=(1-2x)x(x>0且)。 [解] （1）3cos(3x+1). (2) （3） （4） （5） 5．用導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性。 例6 設(shè)a>0，

10、求函數(shù)f(x)=-ln(x+a)(x∈(0,+∞))的單調(diào)區(qū)間。 [解] ，因為x>0,a>0，所以x2+(2a-4)x+a2>0；x2+(2a-4)x+a+<0. （1）當a>1時，對所有x>0，有x2+(2a-4)x+a2>0，即(x)>0,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；（2）當a=1時，對x≠1,有x2+(2a-4)x+a2>0，即，所以f(x)在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增，在（1，+∞）內(nèi)遞增，又f(x)在x=1處連續(xù)，因此f(x)在(0,+∞)內(nèi)遞增；（3）當00，解得x<2-a-或x>2-a+，因此，f(x)在(0,2-a-)內(nèi)單調(diào)

11、遞增，在(2-a+,+∞)內(nèi)也單調(diào)遞增，而當2-a-2x. [證明] 設(shè)f(x)=sinx+tanx-2x，則=cosx+sec2x-2，當時，（因為0f(0)=0，即sinx+tanx>2x. 7.利用導數(shù)討論極值。 例8 設(shè)f(x)=alnx+bx2+x在x1=1和x2=2處都取得

12、極值，試求a與b的值，并指出這時f(x)在x1與x2處是取得極大值還是極小值。 [解] 因為f(x)在(0,+∞)上連續(xù)，可導，又f(x)在x1=1，x2=2處取得極值，所以，又+2bx+1，所以解得 所以. 所以當x∈(0,1)時，，所以f(x)在(0,1]上遞減； 當x∈(1,2)時，，所以f(x)在[1，2]上遞增； 當x∈(2,+∞)時，，所以f(x)在[2，+∞）上遞減。 綜上可知f(x)在x1=1處取得極小值，在x2=2處取得極大值。 例9 設(shè)x∈[0,π],y∈[0,1]，試求函數(shù)f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x的最小值。 [解

13、] 首先，當x∈[0,π],y∈[0,1]時， f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x=(1-y)2x=(1-y)2x，令g(x)=, 當時，因為cosx>0,tanx>x，所以； 當時，因為cosx<0,tanx<0,x-tanx>0，所以； 又因為g(x)在(0,π)上連續(xù)，所以g(x)在(0,π)上單調(diào)遞減。 又因為0<(1-y)xg(x)，即， 又因為，所以當x∈(0,π),y∈(0,1)時，f(x,y)>0. 其次，當x=0時，f(x,y)=0；當x=π時，f(x,y)=(1-y)sin(1-y)π≥0.

14、 當y=1時，f(x,y)=-sinx+sinx=0；當y=1時，f(x,y)=sinx≥0. 綜上，當且僅當x=0或y=0或x=π且y=1時，f(x,y)取最小值0。 三、基礎(chǔ)訓練題 1．=_________. 2．已知，則a-b=_________. 3．_________. 4．_________. 5．計算_________. 6．若f(x)是定義在(-∞,+∞)上的偶函數(shù)，且存在，則_________. 7．函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上可導，且，則_________. 8．若曲線f(x)=x4-x在點P處的切線平行于直線3x-y=0，則點P坐標為_______

15、__. 9．函數(shù)f(x)=x-2sinx的單調(diào)遞增區(qū)間是_________. 10．函數(shù)的導數(shù)為_________. 11．若曲線在點處的切線的斜率為，求實數(shù)a. 12.求sin290的近似值。 13．設(shè)0

16、 7．過拋物線x2=2py上一點(x0,y0)的切線方程為_________. 8．當x>0時，比較大?。簂n(x+1) _________x. 9.函數(shù)f(x)=x5-5x4+5x3+1,x∈[-1,2]的最大值為_________，最小值為_________. 10．曲線y=e-x(x≥0)在點M(t,e-t)處的切線l與x軸、y軸所圍成的三角形面積為S(t)，則S(t)的最大值為_________. 11．若x>0，求證：(x2-1)lnx≥(x-1)2. 12．函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)可導。導函數(shù)是減函數(shù)，且>0，x0∈(0,+∞).y=kx+m是曲線y=f(x

17、)在點(x0,f(x0))處的切線方程，另設(shè)g(x)=kx+m，（1）用x0,f(x0),表示m；（2）證明：當x∈(0,+∞)時，g(x)≥f(x)；（3）若關(guān)于x的不等式x2+1≥ax+b≥在(0,+∞)上恒成立，其中a,b為實數(shù)，求b的取值范圍及a,b所滿足的關(guān)系。 13.設(shè)各項為正的無窮數(shù)列{xn}滿足lnxn+,證明：xn≤1(n∈N+). 五、聯(lián)賽一試水平訓練題 1．設(shè)Mn={（十進制）n位純小數(shù)0?只取0或1（i=1,2,…,n-1），an=1}，Tn是Mn中元素的個數(shù)，Sn是Mn中所有元素的和，則_________. 2．若(1-2x)9展開式的第3項為288，則___

18、______. 3．設(shè)f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當x<0時， ，且g(-3)=0，則不等式f(x)g(x)<0的解集為_________. 4．曲線與的交點處的切線夾角是_________. 5．已知a∈R+，函數(shù)f(x)=x2eax的單調(diào)遞增區(qū)間為_________. 6．已知在(a,3-a2)上有最大值，則a的取值范圍是_________. 7．當x∈(1,2]時，f(x)=恒成立，則y=lg(a2-a+3)的最小值為_________. 8．已知f(x)=ln(ex+a)(a>0)，若對任意x∈[ln(3a),ln(4a)]，不等式|m-f-1(x

19、)|+ln[]<0恒成立，則實數(shù)m取值范圍是_________. 9.已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,（1）求函數(shù)f(x)的最大值；（2）設(shè)0

20、（2）討論gA(x)的單調(diào)性； （3）若x1∈Ik=[k2,(k+1)2],x2∈Ik+1=[(k+1)2,(k+2)2]，證明： 六、聯(lián)賽二試水平訓練題 1．證明下列不等式：（1）； （2）。 2．當01. 2010-2011年高三畢業(yè)班數(shù)學課本知識點整理歸納之十八 第十八章 組合 一、方法與例題 1．抽屜原理。 例1 設(shè)整數(shù)n≥4,a1,a2,…,an是區(qū)間(0,2n)內(nèi)n個不同的整數(shù)，證明：存在集合{a1,a2,…,an}的

21、一個子集，它的所有元素之和能被2n整除。 [證明] （1）若n{a1,a2,…,an},則n個不同的數(shù)屬于n-1個集合{1,2n-1}，{2,2n-2},…,{n-1,n+1}。由抽屜原理知其中必存在兩個數(shù)ai,aj(i≠j)屬于同一集合，從而ai+aj=2n被2n整除； （2）若n∈{a1,a2,…,an}，不妨設(shè)an=n，從a1,a2,…,an-1(n-1≥3)中任意取3個數(shù)ai, aj, ak(ai,

22、數(shù)之差不被n整除；不妨設(shè)a1與a2之差(a2-a1>0)不被n整除，考慮n個數(shù)a1,a2,a1+a2,a1+a2+a3,…,a1+a2+…+an-1。 ⅰ）若這n個數(shù)中有一個被n整除，設(shè)此數(shù)等于kn，若k為偶數(shù)，則結(jié)論成立；若k為奇數(shù)，則加上an=n知結(jié)論成立。 ⅱ）若這n個數(shù)中沒有一個被n整除，則它們除以n的余數(shù)只能取1,2,…,n-1這n-1個值，由抽屜原理知其中必有兩個數(shù)除以n的余數(shù)相同，它們之差被n整除，而a2-a1不被n整除，故這個差必為ai, aj, ak-1中若干個數(shù)之和，同ⅰ）可知結(jié)論成立。 2．極端原理。 例2 在nn的方格表的每個小方格內(nèi)寫有一個非負整數(shù)，并且在某

23、一行和某一列的交叉點處如果寫有0，那么該行與該列所填的所有數(shù)之和不小于n。證明：表中所有數(shù)之和不小于。 [證明] 計算各行的和、各列的和，這2n個和中必有最小的，不妨設(shè)第m行的和最小，記和為k，則該行中至少有n-k個0，這n-k個0所在的各列的和都不小于n-k，從而這n-k列的數(shù)的總和不小于(n-k)2，其余各列的數(shù)的總和不小于k2，從而表中所有數(shù)的總和不小于(n-k)2+k2≥ 3.不變量原理。 俗話說，變化的是現(xiàn)象，不變的是本質(zhì)，某一事情反復地進行，尋找不變量是一種策略。 例3 設(shè)正整數(shù)n是奇數(shù)，在黑板上寫下數(shù)1，2，…，2n，然后取其中任意兩個數(shù)a,b,擦去這兩個數(shù)，并寫上|

24、a-b|。證明：最后留下的是一個奇數(shù)。 [證明] 設(shè)S是黑板上所有數(shù)的和，開始時和數(shù)是S=1+2+…+2n=n(2n+1)，這是一個奇數(shù)，因為|a-b|與a+b有相同的奇偶性，故整個變化過程中S的奇偶性不變，故最后結(jié)果為奇數(shù)。 例4 數(shù)a1, a2,…,an中每一個是1或-1，并且有S=a1a2a3a4+ a2a3a4a5+…+ana1a2a3=0. 證明：4|n. [證明] 如果把a1, a2,…,an中任意一個ai換成-ai，因為有4個循環(huán)相鄰的項都改變符號，S模4并不改變，開始時S=0，即S≡0，即S≡0(mod4)。經(jīng)有限次變號可將每個ai都變成1，而始終有S≡0(mod4

25、)，從而有n≡0(mod4)，所以4|n。 4．構(gòu)造法。 例5 是否存在一個無窮正整數(shù)數(shù)列a1,

26、箭頭，如果此時對每個頂點，指向它的箭頭數(shù)均為偶數(shù)，則命題成立。若有某個頂點A，指向它的箭頭數(shù)為奇數(shù)，則必存在另一個頂點B，指向它的箭頭數(shù)也為奇數(shù)（因為棱總數(shù)為偶數(shù)），對于頂點A與B，總有一條由棱組成的“路徑”連結(jié)它們，對該路徑上的每條棱，改變它們箭頭的方向，于是對于該路徑上除A，B外的每個頂點，指向它的箭頭數(shù)的奇偶性不變，而對頂點A，B，指向它的箭頭數(shù)變成了偶數(shù)。如果這時仍有頂點，指向它的箭頭數(shù)為奇數(shù)，那么重復上述做法，又可以減少兩個這樣的頂點，由于多面體頂點數(shù)有限，經(jīng)過有限次調(diào)整，總能使和是對每個頂點，指向它的箭頭數(shù)為偶數(shù)。命題成立。 5．染色法。 例7 能否在55方格表內(nèi)找到一條線路

27、，它由某格中心出發(fā)，經(jīng)過每個方格恰好一次，再回到出發(fā)點，并且途中不經(jīng)過任何方格的頂點？ [解] 不可能。將方格表黑白相間染色，不妨設(shè)黑格為13個，白格為12個，如果能實現(xiàn)，因黑白格交替出現(xiàn)，黑白格數(shù)目應相等，得出矛盾，故不可能。 6．凸包的使用。 給定平面點集A，能蓋住A的最小的凸圖形，稱為A的凸包。 例8 試證：任何不自交的五邊形都位于它的某條邊的同一側(cè)。 [證明] 五邊形的凸五包是凸五邊形、凸四邊形或者是三角形，凸包的頂點中至少有3點是原五邊形的頂點。五邊形共有5個頂點，故3個頂點中必有兩點是相鄰頂點。連結(jié)這兩點的邊即為所求。 7．賦值方法。 例9 由22的方格紙去掉

28、一個方格余下的圖形稱為拐形，用這種拐形去覆蓋57的方格板，每個拐形恰覆蓋3個方格，可以重疊但不能超出方格板的邊界，問：能否使方格板上每個方格被覆蓋的層數(shù)都相同？說明理由。 [解] 將57方格板的每一個小方格內(nèi)填寫數(shù)-2和1。如圖18-1所示，每個拐形覆蓋的三個數(shù)之和為非負。因而無論用多少個拐形覆蓋多少次，蓋住的所有數(shù)字之和都是非負的。另一方面，方格板上數(shù)字的總和為12(-2)+231=-1，當被覆蓋K層時，蓋住的數(shù)字之和等于-K，這表明不存在滿足題中要求的覆蓋。 -2 1 -2 1 -2 1 -2 1 1 1 1 1 1 1 -2 1 -2 1 -2

29、 1 -2 1 1 1 1 1 1 1 -2 1 -2 1 -2 1 -2 8．圖論方法。 例10 生產(chǎn)由六種顏色的紗線織成的雙色布，在所生產(chǎn)的雙色布中，每種顏色的紗線至少與其他三種顏色的紗線搭配過。證明：可以挑出三種不同的雙色布，它們包含所有的顏色。 [證明] 用點A1，A2，A3，A4，A5，A6表示六種顏色，若兩種顏色的線搭配過，則在相應的兩點之間連一條邊。由已知，每個頂點至少連出三條邊。命題等價于由這些邊和點構(gòu)成的圖中有三條邊兩兩不相鄰（即無公共頂點）。因為每個頂點的次數(shù)≥3，所以可以找到兩條邊不相鄰，設(shè)為A1A2，A3A4。 （1）若A5

30、與A6連有一條邊，則A1A2，A3A4，A5A6對應的三種雙色布滿足要求。 （2）若A5與A6之間沒有邊相連，不妨設(shè)A5和A1相連，A2與A3相連，若A4和A6相連，則A1A2，A3A4，A5A6對應的雙色布滿足要求；若A4與A6不相連，則A6與A1相連，A2與A3相連，A1A5，A2A6，A3A4對應的雙色布滿足要求。 綜上，命題得證。 二、習題精選 1．藥房里有若干種藥，其中一部分藥是烈性的。藥劑師用這些藥配成68副藥方，每副藥方中恰有5種藥，其中至少有一種是烈性的，并且使得任選3種藥恰有一副藥方包含它們。試問：全部藥方中是否一定有一副藥方至少含有4種烈性藥？（證明或否定） 2．

31、21個女孩和21個男孩參加一次數(shù)學競賽，（1）每一個參賽者最多解出6道題；（2）對每一個女孩和每一個男孩至少有一道題被這一對孩子都解出。求證：有一道題至少有3個女孩和至少有3個男孩都解出。 3．求證：存在無窮多個正整數(shù)n，使得可將3n個數(shù)1, 2,…, 3n排成數(shù)表 a1, a2…an b1, b2…bn c1, c2…cn 滿足：（1）a1+b1+c1= a2+b2+c2=…= an+bn+cn=，且為6的倍數(shù)。 （2）a1+a2+…+an= b1+b2+…+bn= c1+c2+…+cn=，且為6的倍數(shù)。 4．給定正整數(shù)n，已知克數(shù)都是正整數(shù)的k塊砝碼和一臺天平可以稱出質(zhì)量為1

32、，2，…，n克的所有物品，求k的最小值f(n)。 5．空間中有1989個點，其中任何3點都不共線，把它們分成點數(shù)各不相同的30組，在任何3個不同的組中各取一點為頂點作三角形。試問：為使這種三角形的總數(shù)最大，各組的點數(shù)應分別為多少？ 6．在平面給定點A0和n個向量a1，a2，…，an，且使a1+a2+…+an =0。這組向量的每一個排列都定義一個點集：A1，A2，…，An=A0，使得 求證：存在一個排列，使由它定義的所有點A1，A2，…，An-1都在以A0為角頂?shù)哪硞€600角的內(nèi)部和邊上。 7．設(shè)m, n, k∈N，有4個酒杯，容量分別為m,n,k和m+n+k升，允許進行如下操作：將一個

33、杯中的酒倒入另一杯中或者將另一杯倒?jié)M為止。開始時，大杯中裝滿酒而另3個杯子卻空著，問：為使對任何S∈N，S