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1、本科畢業(yè)論文（設(shè)計）題 目： Jensen不等式的推廣院（系）專業(yè)： 數(shù)學(xué)系（數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)）學(xué)生姓名： 馮德文 學(xué) 號： 2003701107 導(dǎo)師（職稱）： 楊慧章 (助教) 日 期： 2012年6月 紅河學(xué)院本科畢業(yè)論文(設(shè)計)摘 要凸函數(shù)是一種性質(zhì)特殊的函數(shù)，而凸函數(shù)的Jensen 不等式是一個很重要的不等式，由它可推出一系列不等式，而凸函數(shù)的構(gòu)造也有其妙處。為使其更廣泛應(yīng)用于不等式的證明，本文利用凸函數(shù)的性質(zhì)對Jensen不等式進(jìn)行了推廣，得到幾個重要的積分不等式并進(jìn)行了證明。關(guān)鍵詞：凸函數(shù) ； 積分 AbstractThe convex function is one functi
2、on with special properties, but the Jensen inequality of convex function is a very important inequality. According to the function, we can evolve a series of inequalities, and use it more easily to prove some important inequalities, but the convex function structures also have their advantages, In o
3、rder to make good use of proving inequalities widely, in this paper, we use the properties of convex function to expand the Jensen inequality, obtain several important integral inequalities and give the proof of them.Key word：Convex Function；IntegralII目 錄緒論11 預(yù)備知識21.1 凸函數(shù)21.2 Jensen不等式22 Jensen不等式的推
4、廣42.1 積分型Jensen不等式42.2 其它積分不等式52.3 應(yīng)用8結(jié)論10感謝信11參考文獻(xiàn)12緒論緒 論不等式是研究分析數(shù)學(xué)的重要工具，在高等數(shù)學(xué)中我們要用到各種形式的不等式。本文主要利用凸函數(shù)的定義及性質(zhì)去證明不等式。其關(guān)鍵是尋找合適的凸函數(shù),若不能直接找出,則對不等式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?從而達(dá)到證明不等式的目的。本文內(nèi)容安排如下：第一章 預(yù)備知識。先介紹凸函數(shù)的定義及充要條件，再給出凸函數(shù)的Jensen不等式及其證明。第二章 Jensen不等式的推廣。先利用凸函數(shù)的定義及性質(zhì)把前一章給出的Jensen不等式推廣到積分形式，并給出證明。再由前章給出的知識以及積分型的Jensen不等式
5、推出幾個重要積分不等式并進(jìn)行證明。最后給出兩個例子介紹它們的應(yīng)用。 11預(yù)備知識1 預(yù)備知識1.1 凸函數(shù)定義 設(shè)為定義在區(qū)間上的函數(shù)，若對上的任意兩點和任意實數(shù)總有則稱為上的凸函數(shù)。反之，如果總有則稱為上的凹函數(shù)。定理1 設(shè)為上的可導(dǎo)函數(shù)，則為上的凸函數(shù)的充要條件是， 或 對上的任意兩點，有 1.2 Jensen不等式定理2 (Jensen不等式) 為區(qū)間上的凸函數(shù)，則對任意，且，有 (1-1)2再把上式兩端分別相加，得由 及，上式變?yōu)?即注：當(dāng)時，有，則(1-1)式變?yōu)?(1-2) 3結(jié)論2 Jensen不等式的推廣2.1 積分型Jensen不等式命題1 若在區(qū)間上連續(xù)，處處2階可導(dǎo)且，則
6、有 (2-1)證法：把區(qū)間等分，把代入(1-2)式，有 即 因為，在上連續(xù)，當(dāng)時，有 所以2.2 其它積分不等式命題2 若在連續(xù)，則 (2-3)證明：設(shè)，則，所以為凸函數(shù)。由命題1可得 即 所以 注：命題2為命題1的一般形式，相當(dāng)于命題一中的。因為為凹函數(shù)，所以符號相反。命題3 若在區(qū)間連續(xù)且，則 (2-4)證法一：設(shè)，則。因為，所以，即為凸函數(shù)。根據(jù)命題1有 即 結(jié)論得證。 注：命題3由命題1所得，相當(dāng)于。證法二：把 等分，分點為。因為算術(shù)平均值大于調(diào)和平均值，所以有 =由有 令，取極限得 結(jié)論得證。命題5 設(shè)在連續(xù)，且則有證：因為函數(shù) 為凸函數(shù)，由Jensen不等式有 =。 =綜上可得 注
7、：上式為均值不等式。2.3 應(yīng)用例1 證明。證：令因為且的連續(xù)性，所以由Jensen不等式有 = = =。結(jié) 論凸函數(shù)是一個傳統(tǒng)研究課程，具有廣泛的實際背景和應(yīng)用價值。對凸函數(shù)性質(zhì)的探討是一個重要的研究方向。 本文凸函數(shù)Jensen不等式的應(yīng)用僅僅是限于一元函數(shù)而言，可將其推廣到多元函數(shù)，將空間擴充到凸集的范圍，這些類似定理和結(jié)論以及相關(guān)應(yīng)用有待一步研究。9紅河學(xué)院本科畢業(yè)論文(設(shè)計)感謝信在畢業(yè)論文完成之際,向給予我?guī)椭椭笇?dǎo)的各位老師和同學(xué)表示衷心的感謝!首先,我要感謝我的論文導(dǎo)師楊慧章老師,因為有她耐心的指導(dǎo)、鼓勵和幫助我才順利完成我的畢業(yè)論文。借此機會我向數(shù)學(xué)系老師表示衷心的感謝,感謝
8、他們四年來的精心指導(dǎo)和培養(yǎng)。10參考文獻(xiàn)1林玎,劉偉.Jensen不等式的幾個推論及其應(yīng)用J.吉林師范大學(xué)學(xué)報,2003,8(3)：28-232劉飛燕.Jensen不等式及其應(yīng)用J.云南民族大學(xué)學(xué)報,2003,7(3)：148-1513徐偉.積分形Jensen不等式的巧用J.高等數(shù)學(xué)研究,2002,6(4)：15-164陳欣.關(guān)于Jensen不等式的應(yīng)用J.武漢工業(yè)學(xué)院學(xué)報,2005,9(3)：113-1155劉鴻雁.由Jensen不等式導(dǎo)出某些重要不等式 J.成都大學(xué)學(xué)報 ,2003,12(4)：32-356尚亞東,游淑軍.凸函數(shù)及其在不等式證明中的應(yīng)用J.廣州大學(xué)學(xué)報,2005,2(1):1-6. 11
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