高中數(shù)學(xué) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式評(píng)估驗(yàn)收卷 新人教A版選修45

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1、6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3

2、3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 第四講第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 評(píng)估驗(yàn)收卷(四) (時(shí)間：120 分鐘 滿分：150 分) 一、選擇題(本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1若命題A(n)(nN*)在nk(kN*)時(shí)命題成立，則有nk1 時(shí)命題成立現(xiàn)知命題對(duì)nn0(n0N*)時(shí)命題成立，則有( ) A命題對(duì)所有正整數(shù)都成立 B命題對(duì)小于n0的正整數(shù)不成立，對(duì)大于或等于n

3、0的正整數(shù)都成立 C命題對(duì)小于n0的正整數(shù)成立與否不能確定，對(duì)大于或等于n0的正整數(shù)都成立 D以上說(shuō)法都不正確 解析：依題意命題A(n)對(duì)大于或等于n0的正整數(shù)都成立 答案：C 2等式 122232n212(5n27n4)( ) An為任何正整數(shù)時(shí)都成立 B僅當(dāng)n1, 2，3 時(shí)成立 C當(dāng)n4 時(shí)成立，n5 時(shí)不成立 D僅當(dāng)n4 時(shí)不成立 解析：把n1，2，3，4，5 代入驗(yàn)證可知 B 正確 答案：B 3用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 11231331n321n(n2，nN)時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證不等式( ) A1123212 B1123133213 C1123213 D1123133214 解析：因?yàn)閚2

4、， 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F

5、3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 所以第一步驗(yàn)證不等式應(yīng)為n2 時(shí) 1123212. 答案：A 4設(shè)f(n)1121313n1(nN)，則f(n1)f(n)等于( ) A.13n2 B.13n13n1 C.13n113n2 D.13n13n113n2 解析：因?yàn)閒(n)1121313n1，所以f(n1)1121313n113n13n113n2，所以f(n1)f(n)13n13n113n2. 答案：D 5已知f(n)1n1n11n21n2，則( ) Af(n)

6、中共有n項(xiàng)，當(dāng)n2 時(shí)，f(2)1213 Bf(n)中共有n1 項(xiàng)，當(dāng)n2 時(shí)，f(2)121314 Cf(n)中共有n2n項(xiàng)，當(dāng)n2 時(shí)，f(2)1213 Df(n)中共有n2n1 項(xiàng)，當(dāng)n2 時(shí)，f(2)121314 解析：本題主要考查數(shù)列的概念 由n到n2一共有整數(shù)n2n1 個(gè)，所以f(n)有n2n1 項(xiàng)， 當(dāng)n2 時(shí)代入得， f(2)121314. 故本題正確答案為 D. 答案：D 6用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，xnyn能被xy整除”的第二步是( ) A假設(shè)n2k1 時(shí)正確，再推n2k3 時(shí)正確(kN) B假設(shè)n2k1 時(shí)正確，再推n2k1 時(shí)正確(kN) C假設(shè)nk時(shí)正確，再推

7、nk1 時(shí)正確(kN) D假設(shè)nk(k1)時(shí)正確，再推nk2 時(shí)正確(kN) 解析：n為正奇數(shù)，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證題的步驟，第二步應(yīng)先假設(shè)n取第k個(gè)正奇數(shù)也6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D

8、 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 成立，本題即假設(shè)n2k1 時(shí)正確，再推n取第(k1)個(gè)正奇數(shù)，即n2k1 時(shí)正確 答案：B 7平面內(nèi)原有k條直線，它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)記為f(k)，則增加一條直線l后，它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為( ) Af(k)1 Bf(k)k Cf(k)k1 Dkf(k) 解析：第k1 條直線與前k條直

9、線都相交有交點(diǎn)，所以應(yīng)比原先增加k個(gè)交點(diǎn)故應(yīng)選 B. 答案：B 8在數(shù)列an中，a1 21，前n項(xiàng)和Snn11，先算出數(shù)列的前 4 項(xiàng)的值，根據(jù)這些值歸納猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式是( ) Aann11 Bann n11 Can 2nn Dann1n 解析：由題意，可知S2a1a2 31， 所以a2 31 21 3 2； S3a1a2a3 41， 所以a3S3S2 4 3， 同理，可得a4S4S3 5 4，故可猜想ann1n. 答案：D 9F(n)是一個(gè)關(guān)于自然數(shù)n的命題，若F(k)(kN*)真，則F(k1)真，現(xiàn)已知F(7)不真，則有 F(8)不真 F(8)真 F(6)不真 F(6)真 F(5)不真

10、 F(5)真 其中正確的是( ) A B C D 解析：因?yàn)镕(k)(kN*)真，則F(k1)真的逆否命題是：F(k1)不真，則F(k)不真，從而可結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法的原理知：當(dāng)F(7)不真時(shí)，F(xiàn)(6)不真，F(xiàn)(5)亦不真，故是正確的 答案：A 10設(shè) 02，已知a12cos ，an1 2an，則猜想an為( ) A2cos 2n B2cos 2n1 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7

11、 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 C2cos 2n1 D2sin 2n 解析：a12cos ，a2 22cos 2c

12、os 2，a322cos 22cos 4， 猜想an2cos 2n1. 答案：B 11已知 123332433n3n13n(nab)c對(duì)一切nN*都成立，則a，b，c的值為( ) Aa12，bc14 Babc14 Ca0，bc14 D不存在這樣的a，b，c 解析：因?yàn)榈仁綄?duì)一切nN*均成立， 所以n1，2，3 時(shí)等式成立， 即13（ab）c，12332（2ab）c，12333233（3ab）c， 整理得3a3bc1，18a9bc7，81a27bc34，解得a12，b14，c14. 答案：A 12已知f(n)(2n7)3n9，存在自然數(shù)m，使得對(duì)任意n N，都能使m整除f(n)，則最大的m的值為

13、( ) A30 B26 C36 D6 解析：f(1)36，f(2)108，n3 時(shí)f(n)9(2n7)3n21，(2n7)3n21，當(dāng)n3 時(shí)能被 4 整除，結(jié)合選項(xiàng)知 C 正確 答案：C 二、填空題(本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分把答案填在題中的橫線上) 13 若 用 數(shù) 學(xué) 歸 納 法 證 明 ： 2n 1n2n 2 成 立 時(shí) ， 第 一 步 應(yīng) 驗(yàn) 證_ 答案：n03，243232 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D

14、D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 14用數(shù)學(xué)歸納法證明

15、命題：12223242(1)n1n2(1)n1n（n1）2(nN)，(從“第k步到k1 步”時(shí)，兩邊應(yīng)同時(shí)加上_ 答案：(1)k(k1)2 15用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n是非負(fù)整數(shù)時(shí)，55n145n235n能被 11 整除”的第一步應(yīng)寫成：當(dāng)n_時(shí)，55n145n235n_，能被 11 整除 解析：本題考查對(duì)運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問(wèn)題的掌握情況，由于n是非負(fù)整數(shù)，所以第一步應(yīng)考慮n0. 答案：0 514230 22 16 已知數(shù)列an， 其中a26， 且滿足an1an1an1an1n， 則a1_，a3_，a4_，猜想an_ 解析：由已知可得a2a11a2a111， a3a21a3a212，a4a3

16、1a4a313， 將a26 代入以上三式，解得：a11，a315，a428. 由于a11，a223，a335，a447， 猜想得ann(2n1) 答案：1 15 28 n(2n1) 三、解答題(本大題共 6 小題，共 70 分解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟) 17(本小題滿分 10 分)用數(shù)學(xué)歸納法證明：12414616812n（2n2）n4（n1）(nN*) 證明：(1)當(dāng)n1 時(shí)， 左邊121（22）18，右邊14（11）18， 左邊右邊 所以當(dāng)n1 時(shí)，等式成立 (2)假設(shè)nk(kN*)時(shí)等式成立，即有 12414616812k（2k2）k4（k1）， 則當(dāng)nk1 時(shí)，

17、12414616812k（2k2）12（k1）2（k1）2k4（k1）6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C

18、 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 14（k1）（k2）k（k2）14（k1）（k2） （k1）24（k1）（k2）k14（k2）k14（k11）. 所以當(dāng)nk1 時(shí)，等式也成立 由(1)(2)可知，對(duì)于一切nN*等式都成立 18(本小題滿分 12 分)用數(shù)學(xué)歸納法證明：f(n)352n123n1(nN*)能被 17 整除 證明：(1)當(dāng)n1 時(shí)，f(1)353243911723， 故f(1)能

19、被 17 整除 (2)假設(shè)nk時(shí)，命題成立 即f(k)352k123k1能被 17 整除，則當(dāng)nk1 時(shí)，f(k1)352k323k452352k15223k15223k123k425f(k)1723k1. 由歸納假設(shè)，可知f(k)能被 17 整除，又 1723k1顯然可被 17 整除， 故f(k1)能被 17 整除 綜合(1)(2)可知，對(duì)任意正整數(shù)n，f(n)能被 17 整除 19(本小題滿分 12 分)求證：平面上通過(guò)同一點(diǎn)的n條直線分平面為 2n個(gè)部分 證明：(1)當(dāng)n1 時(shí)，一條直線把平面分成兩部分，故命題成立 (2)假設(shè)nk(k1，kN*)時(shí)，平面上通過(guò)同一點(diǎn)的k條直線把平面分成

20、2k個(gè)部分，設(shè)第(k1)條直線落在相鄰的兩條直線之間， 它把這兩條直線所圍成的平面上的兩個(gè)區(qū)域變成 4 個(gè)區(qū)域，也即增加一條直線后，平面上的區(qū)域共有 2k22(k1)個(gè)，故命題對(duì)于nk1 也成立 由(1)，(2)知，原命題對(duì)于任何正整數(shù)n都成立 20(本小題滿分 12 分)設(shè)xn是由x12，xn1xn21xn(nN)定義的數(shù)列，求證：xn 21n. 證明：(1)當(dāng)n1 時(shí)，x12 21，不等式成立 (2)假設(shè)當(dāng)nk(k1)時(shí)，不等式成立， 即xk 21k，那么，當(dāng)nk1 時(shí)，xk1xk21xk. 由歸納假設(shè)，xk 21k，則xk22212k，1xk121k. 因?yàn)閤k 2，所以1xk22. 6

21、 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3

22、 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 所以xk1xk21xk2212k22 212k 21k1. 即xk1 21k1. 所以當(dāng)nk1 時(shí)，不等式xn 21n成立 綜上所述，得xn 21n(nN) 21(本小題滿分 12 分)數(shù)列1n（n1）的前n項(xiàng)和記為Sn. (1)求出S1，S2，S3的值； (2)猜想出Sn的表達(dá)式； (3)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想 (1)解：an1n（n1）， S1a112； S2a1a2121623； S3a1a2a3121611234. (2

23、)解：猜想：Snnn1(nN) (3)證明：當(dāng)n1 時(shí)，S1a112，右邊12.等式成立 假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，Skkk1， 則當(dāng)nk1 時(shí)，Sk1Skak1kk11（k1）（k2）（k1）2（k1）（k2）k1k2 k1（k1）1. 即當(dāng)nk1 時(shí)，等式成立 由可得Snnn1(nN) 22(本小題滿分 12 分)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn，an的等差中項(xiàng)為 1. (1)寫出a1，a2，a3； (2)猜想an的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1

24、9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 解：(1)由題意Snan2，可得a11，a212，a314. (2)猜想an12n1. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： 當(dāng)n1 時(shí)，a11，12n11201，等式成立 假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，等式成立，即ak12k1， 則當(dāng)nk1 時(shí)，由Sk1ak12，Skak2， 得(Sk1Sk)ak1ak0， 即 2ak1ak， 所以ak112ak1212k112（k1）1， 即當(dāng)nk1 時(shí)，等式成立 由可知，對(duì)nN，an12n1.