高中數(shù)學論文：對《兩角差的余弦公式》推導的思索

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1、 對《兩角差的余弦公式》推導的思索 　 數(shù)學概念、公式是自然的，不是強加于人。知識背景、形式過程，應該是合情推理、水到渠成的。學習貴于疑，而問題是數(shù)學學習的“心臟”。通過創(chuàng)設問題情境，引入需要學習的內容，然后引導學生自己發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，思考問題，經歷實踐動手，自主學習，主動探索，不斷地從具體到抽象，從特殊到一般，形成批判性的理性思維和嚴謹?shù)目茖W態(tài)度。 首先通過章頭圖實際問題的引入，又作恰當?shù)臄?shù)據(jù)改變，起點要低，要淺，讓學生感受到研究兩角差的余弦公式的必要，通過求的特殊問題，引起學生學習興趣。學生能輕易地解決，然后作相應的推廣，引發(fā)知識矛盾沖突，同時明確探究目標。推導過程分四個層次：

2、一是直覺精神，主要通過計算猜想，兩角差余弦公式，特殊驗證，作出初步決策。二要適當?shù)狞c撥推廣，在為銳角的情形下，在初中平面幾何知識內的探究。要貼近學生實際知識水平，從頭至尾要反思探索過程，讓學生回憶高中數(shù)學知識中的三角函數(shù)定義及單位圓上的三角函數(shù)線來研究問題，這樣從多種途徑對《兩角差的余弦公式》的推導，有助于學生理解公式，加強數(shù)學內容之間的聯(lián)系，增加學生利用已學過的知識來解決實際問題的機會，只是上面的推導過程比較繁難，而且都在特殊情況下進行。三是對一般情形探究，主要是應用三角函數(shù)定義，向量的數(shù)量積的知識來推導，讓學生體會運用向量工具進行探索，過程多么簡潔，從而進一步深化向量的豐富知識背景。認識它

3、是溝通代數(shù)、幾何和三角函數(shù)的一種工具，運用向量解決問題可以發(fā)展自身的推理能力和運算能力，然后讓學生發(fā)現(xiàn)推導過程不嚴謹之處，請學生補充完善。四是對探究過程的反思升華，應用三角函數(shù)定義及兩點間距離公式推導公式。這樣教學過程符合數(shù)學研究問題的規(guī)律。使學生感受到學習探究過程中是不斷猜想，不斷矯正，從特殊到一般的思考過程。 一、 展示實例，創(chuàng)設情境素材 某城市的電視發(fā)射塔建在市郊的一座小山上，如圖1所示，在地平面上有一點A，測得A、C兩點間的距離為a米，從A觀測電視發(fā)射塔的視角（）約為，，求①AD的長度，②的值？（由學生作答） 圖1 解：作

4、CEAD交AD于E，在Rt中，CE=，AE=，在 Rt中，，ED=，從而計算出AD=， 在Rt中，AB==，在Rt中， cos15==。 二、 問題懸念，激發(fā)知識矛盾 你認為cos15= cos（45—30）= cos45—cos30正確嗎？學生答出cos45=，sin45=,cos30=，sin30= 。經驗證顯然不成立。 學生會猜想出cos15= cos（45—30）= cos45 cos30+ sin45 s

5、in30 或sin45 cos30+ cos45 sin30，這樣引發(fā)困惑，激起決策欲望。通過特殊驗證，讓學生計算cos10= cos（30—20）= cos30 cos20+ sin30 sin20，還是sin30 cos20+ cos30 sin20，作出初步選擇，學生學習發(fā)現(xiàn)計算可猜想出初步結論，培養(yǎng)直覺的數(shù)學觀察能力。教師也可以通過《幾何畫板》來直覺猜想，作相應的點撥推廣：當45改為 ，30改為時，cos（）= cos cos+ sin sin，對任意的，是否成立？拋出問題，激發(fā)探索的欲望。要提醒學生我們先從均為銳角情形下來推導，驗證。我們仍用圖1來解決問題，所用知識只是初中平面幾何

6、知識和三角函數(shù)定義。 圖2 解：Rt中，cos（）=，令AC=a=1，此時，cos（）=AB，在Rt中，cos =，sin= ，在Rt中，cos=AE，sin=CE，在Rt中，=tan，從而發(fā)現(xiàn)等量關系：cos（）=AB= cosAD= cos（AE+ED），AE+ED= cos+ED= cos+EC tan= cos+ sintan，cos（）= cos（cos+ sintan）= coscos+ sin sin 這樣處理，放低了知識要求，學生容易推導，激發(fā)推導欲望。 三、展開聯(lián)想，回歸定義引申 由于涉及的是三角函數(shù)問題，學生會考慮回到基礎定義，可用單位圓上的三角函數(shù)線來推

7、導，教師要利用多媒體，積極引導學生經歷作角——找線——找探求過程中的等量關系。方法1是教材中已有（從略），關鍵在于羅列已有條件，利用幾何直觀尋找OM的表達式。但有學生不是利用圖3作角的方法，于是有圖4所示。 圖3 解：作，，，ACOB于C，連AB，A（cos，sin），B（cos，sin），則cos（）=OC，AC=sin（），在Rt中，AC= sin（）， CB=1-cos（），又因為AC+BC=AB 所以[sin（）]+[1—cos（）] =[ cos—cos]+[ sin—sin] 從而得到： 圖

8、4 cos（）= coscos+ sin sin 四、 多種途徑，運用向量推導 以上推導過程都是在 都是銳角，且>的情況下得到，而且推導過程和推廣工作非常艱難，學生在第二章已學習向量是解決幾何問題的有力工具，有著極其豐富的實際背景。我們可通過提出問題暗示，從合情推理過渡到邏輯推理。在第二章向量中用什么知識可求cos的值？這種開放性提問暗示，學生的眼光會發(fā)出色彩，開拓了學生思維的空間。人教版已有，這里從略。在探索過程中，我們不必追求一步到位，先不理會其中的細節(jié)，抓住線索，明確目標進行探索，然后再反思在哪些方面需要完善，體現(xiàn)了數(shù)學發(fā)現(xiàn)的一般方法。一方面引導學生朝著正確的目標前進，體會向量方法

9、的作用；另一方面，采用設問的方式，關注學生思維的漏洞，幫助學生完善。通過多種途徑思考，培養(yǎng)學生的自主探究能力，對向量的坐標表示以及向量數(shù)量積運算有了進一步的理解。同時，推導過程的補充完善，對形成嚴謹?shù)臄?shù)學思維品質有益處。事實上，在《幾何畫板》中對角移動，可推出來補充完善。 五、 反思過程，提煉解題方法 有學生對圖4作稍微改變，有了最精華的推導方法，圖5所示 解：作，， 作， C（1，0） 利

10、用相等圓心角所對弦長相等， 所以AB=CD C ∴[ cos—cos]+[ sin—sin] 圖5= sin（）+[1—cos（）] 圖5 cos（）= coscos+ sin sin 這時，對任意的角都成立。 在反思以上學生的推導過程，提煉出如此經典的方法，真是“柳暗花明又一村”，我用贊賞的眼光大膽地表揚了學生。學生在“試一試”、“猜一猜”、“證一證”、“用一用”過程中，體會到向量是好東西，也體現(xiàn)了數(shù)學的科學性與藝術性是相結合的。在忠于教材，又不拘泥于教材的處理過程中，通過合作學習，合理探索，互動交流，學生的學習是舒適的。在發(fā)掘、歸納、不斷提升，增厚了學生的學習興趣。培養(yǎng)了

11、學生的理性精神和嚴謹科學態(tài)度。在運用多種途徑解決問題過程中，發(fā)散學生的思維，提高處理問題的能力，有助于理解公式，深化加強數(shù)學文化的修養(yǎng)。在對知識探索的過程中，在學習的實踐中，學生有所感悟、有所體驗、有所提高，同時感受、理解知識產生和發(fā)展的過程，形成了數(shù)學的科學精神和創(chuàng)新思維的習慣。從學生已有知識、經驗、方法出發(fā)，在教師引導下提出解決問題的門徑，引導學生“自得”，激發(fā)了學生的探究精神和主動參與到學習活動中來。 我思：通過以上四個層次的推導過程，是符合學生認識規(guī)律，貼近學生實際知識水平，同時學生感受到學習過程中不斷猜想，不斷否定，不斷修正，從特殊到一般的思維過程，體現(xiàn)了探究過程中“大膽設想，小心

12、求證”。好像是在建設青藏鐵路，體會了獲取知識的艱難和喜悅，在冰山雪地中尋找美麗的雪蓮花，經歷了登山的樂趣。發(fā)現(xiàn)數(shù)學是嚴謹?shù)模瑪?shù)學是美麗的，數(shù)學能提高我們學習的能力，數(shù)學是有趣的，數(shù)學是有用的。學生會投入更大的熱情來學習數(shù)學。 我想這樣的設計符合認知規(guī)律，使學生感受到學習過程是快樂的，研究問題是從特殊到一般的思維過程。通過探究和證明不但培養(yǎng)學生的邏輯推理能力，而且培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力及優(yōu)異的數(shù)學思維品質。又體現(xiàn)了“大膽猜想，小心求證”的教學思想，使學習過程變成火熱的思考過程。研究數(shù)學題像是在尋求“空谷中的幽蘭，高寒中的杜鵑，老林中的人參，冰山上的雪蓮，絕頂上的靈芝，抽象思維的牡丹?！睆穆鋵嵵R為出

13、發(fā)點，培養(yǎng)學生能力為歸宿點的教學設計過程中，確定目標，分析任務，同時了解學生的實際知識水平，作些必要的搭橋設計活動，是符合學生認知的心理特征的。從困惑中展開聯(lián)想，從一題多解激發(fā)學生的發(fā)散思維，從“猶抱琵琶半遮面”，到“千呼萬喚始出來”過程中，彈奏出推導方法的多樣性。學生會自覺投入到探索數(shù)學問題中來。 在“算一算”、“試一試”、“猜一猜”、“證一證”的過程中，不拘泥于教材，又忠于教材的處理是體現(xiàn)數(shù)學學習的科學性和藝術性相統(tǒng)一。在對傳統(tǒng)教學的反思，對新課程的理念的思考，對教材的分析的基礎上，通過合作學習，合理探索，師生互動的教學過程中，能提高學生的數(shù)學應用意識和創(chuàng)新意識，從而提高學習數(shù)學的興趣，

14、逐步認識數(shù)學的應用價值和文化價值。在以教學內容為知識載體，以教學目標為靈魂出發(fā)點的探索過程，通過一題多解，縱向聯(lián)系，多種途徑推導，聚沙成塔，日積月累，能拓展學生的數(shù)學視野，形成嚴謹?shù)乃季S品質和鍥而不舍的科學精神。 我思：高中數(shù)學的公式課很重要。重點要放在探索過程中，可以分成五個步驟： 創(chuàng)設問題情形，激發(fā)學習欲望。注重公式如何發(fā)現(xiàn)，要貼近學生實際水平，要前后呼應。 培養(yǎng)學生的猜想能力，呼喚公式的出現(xiàn)。這個過程是自然的，學生聽起來是舒適的。 深化加強理性認識。對有不嚴謹之處請學生補充完善。著重理性文化的滲透，形成批判性的理性思維。 多種途徑探索，有助于理解公式，形成能力。 歸納公式的結構特征與練習，發(fā)現(xiàn)數(shù)學是美麗的，增厚學習的興趣。通過變式練習，鞏固落實知識的目標。 參考文獻： 1.《普通高中課程標準實驗教科書》必修4、人教版 2004年5月第一版 2.《高中數(shù)學課程標準》2003年4月 3.《教學目標——不該被因為遺忘的教學起點》 蔣亮 《數(shù)學通報》 2005.6