重積分的計算方法數(shù)學畢業(yè)論文

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1、重積分的計算方法摘要：本文介紹了幾種重積分的計算方法，著重從累次積分的計算、變量代換等方法闡述二重積分的計算，同時介紹了一類特殊的二重積分的計算方法，并由二重積分的計算方法推廣到三重積分的計算。關(guān)鍵詞：二重積分，三重積分，變量代換，對稱法引言：重積分包括二重積分和三重積分，它是定積分的推廣；被積函數(shù)由一元函數(shù)推廣為二元函數(shù)（三元函數(shù)）;積分范圍由數(shù)軸上的區(qū)域推廣為平面域（二重積分）和空間域（三重積分）。我個人在學習與復習多重積分這一塊時，感到多重積分的計算比較繁瑣，而在日常生活中多重積分有著很多的應(yīng)用。通過在圖書館查閱資料、以及老師的指點，重積分的計算方法還是有規(guī)律可循的。為了更好的應(yīng)用重積分

2、，本人結(jié)合前人的經(jīng)驗，在這里系統(tǒng)介紹幾種常用的重積分計算方法，以及一些小技巧。著重介紹累次積分的計算與變量代換。一 二重積分的計算1 常用方法（1） 化累次積分計算法對于常用方法我們先看一個例子（北京師范大學，2002年）例1 計算二重積分，其中為區(qū)域解：如圖1所示可分為在內(nèi)，在內(nèi) 對于重積分的計算主要采用累次積分法，即把一個二重積分表達為一個二次積分，通過兩次定積分的計算求得二重積分值，分析上面的例子累次積分法其主要步驟如下：第一步：畫出積分區(qū)域的草圖；第二步：按區(qū)域和被積函數(shù)的情況選擇適當?shù)姆e分次序，并確定積分的上、下限；第三步：計算累次積分。需要強調(diào)一點的是，累次積分要選擇適當?shù)姆e分次序

3、。積分次序的不同將影響計算的繁簡，有些題這兩種次序的難易程度可以相差很大，甚至對一種次序可以“積出來”，而對另一種次序卻“積不出來”。所以，適當選擇積分次序是個很重要的工作。選擇積分次序的原則是：盡可能將區(qū)域少分塊，以簡化計算過程；第一次積分的上、下限表達式要簡單，并且容易根據(jù)第一次積分的結(jié)果作第二次積分。例2 計算，是由 圍成的區(qū)域解：先畫出區(qū)域的圖形，如圖2先對后對積分，則由知如果先對后對積分，由于不能用初等函數(shù)表示，這時重積分“積不出來”。更換積分次序的理論依據(jù)是什么呢？對于給定一個二重積分，若分別把它化為積分次序不同的二次積分而得下列等式： 則顯然有如果首先給出式中的一個二次積分（例如

4、左端），而此時又無法計算結(jié)果或比較麻煩，則我們可以寫出式中的另一個二次積分（例如右端），這時重積分重要問題則轉(zhuǎn)化為更換積分次序問題。例3試更換的積分次序解：把先對積分更換為先對積分由原累次積分的上、下限可得，即由的聯(lián)立雙邊不等式可畫出域的圖形，如圖3再由圖形寫出先對的積分域的聯(lián)立雙邊不等式，為此，作平行于軸的箭頭穿區(qū)域，知先對后對積分必須將分為和，其中，如圖4則對上面的例題可得更換積分次序的一般步驟為：.由原累次積分的上、下限列出表示積分域的聯(lián)立雙邊不等式，例如.根據(jù)上列聯(lián)立雙邊不等式畫出區(qū)域的圖形.按新的累次積分次序，列出與之相應(yīng)的區(qū)域的聯(lián)立雙邊不等式.按3中的不等式組寫出新的累次積分的表達

5、式。關(guān)于這方面的應(yīng)用我們再看一個例子。例4（華中理工大學,2000年）設(shè)在上連續(xù)，證明證：改變積分順序得：（2） 變量替換法在計算定積分時，求積的困難在于被積函數(shù)的原函數(shù)不易求得。從而適當?shù)乩脫Q元法的好處是可以把被積函數(shù)的形狀進行轉(zhuǎn)化，以便于用基本求積公式。在計算重積分時，求積的困難來自兩個方面，除了被積函數(shù)的原因以外還在于積分區(qū)域的多樣性。而且，有時候其積分區(qū)域往往成為困難的主要方面。為此，針對不同的區(qū)域要討論重積分的各種不同算法。例4（湖北大學2002年，中南礦治學院）求，其中解：令，即則變成了可以說變量替換法步驟如下：i. 若可微分的連續(xù)函數(shù)把上的有限區(qū)域單值唯一地映射平面上的域及雅哥

6、比式則下之公式正確ii. 設(shè)廣義極坐標變換將平面上的有界閉區(qū)域一一地變成平面上有界閉區(qū)域，在上連續(xù)，則特別，當時，公式變?yōu)椋簶O坐標變換公式計算二重積分時，要從被積函數(shù)和積分域兩個方面來考慮如何適當?shù)剡x擇坐標系，如能采用適當?shù)淖鴺讼担梢允盏绞掳牍Ρ兜男Ч?。從積分域來考慮，一般情況下，圓形、扇形或者環(huán)形可以選用極坐標系。關(guān)于這方面的應(yīng)用我們看下面的例子：例5將連續(xù)函數(shù)在兩圓和 之間的環(huán)形區(qū)域上之二重積分化為二次積分。解：先畫出域的圖形，如圖5若用直角坐標，則需將分為四個區(qū)域：如圖5所示，所以，在上的積分若用極坐標，有顯然，極坐標系下運算比較方便。（3） 對稱法對稱法就是利用區(qū)域和被積函數(shù)的對

7、稱性簡化積分。在做題時，先考慮區(qū)域和被積函數(shù)有無對稱性，有時一看就知道積分為零，有時可使積分化簡。否則的話，就會把時間花在無謂的計算上，有時不僅僅“得不償失”，而且往往是“有失無得”。利用區(qū)域和被積函數(shù)對稱性簡化積分的方法可以總結(jié)為： 設(shè)域關(guān)于軸對稱，軸上方部分為，下方為，當把中的看作常數(shù)時，若是的奇函數(shù)，則。當把中的看作常數(shù)時，若是的偶函數(shù)，則 設(shè)域關(guān)于軸對稱，軸右邊的部分為,左邊的部分為，當把中的看作常數(shù)時，若是的奇函數(shù)，則；當把中的看作常數(shù)時，若是的偶函數(shù)，則我們只對第一個結(jié)論的前一部分做個簡單的證明：例6計算重積分，其中為兩種形式：是由所構(gòu)成；是關(guān)于軸對稱的平面凸域，其邊界為和，如圖6

8、解：其中利用了當時，又再看一個例子例7（武漢大學，1992年）計算下列積分（1），其中為常數(shù)，；（2），其中為直線與曲線圍成的有界區(qū)域。解：（1）（2）由對稱性及被積函數(shù)為關(guān)于的偶函數(shù)（4） 特例當積分區(qū)域是一矩形，被積函數(shù)可以分離成只含 的函數(shù)和只含的函數(shù)相乘時二重積分可作兩個定積分相乘，即根據(jù)這一性質(zhì)，其中這是一個比較特殊的例子，也是重積分與單積分的互換。例8（武漢大學，1995年）設(shè)在上連續(xù)，證明：，其中為以為頂點的三角區(qū)域。證：如圖示令，即，則變成注意到二重積分的值與積分變量的記號無關(guān)，二 三重積分三重積分概念可以看作是二重積分概念的直接推廣，它的計算也是化為累次積分，適當?shù)剡x擇變量代

9、換可使三重積分容易計算。與前面二重積分情況相同，三重積分也可以應(yīng)用對稱法計算，即一般地，若區(qū)域關(guān)于z平面對稱，被積函數(shù)關(guān)于 是奇函數(shù)，則三重積分必為零，類似地還可推出其它各種對稱情況的三重積分。計算三重積分的一般步驟為：1 畫出空間域的草圖；2 根據(jù)被積函數(shù)和積分域選擇適當?shù)淖鴺撕屠鄞畏e分的次序，并將域用相應(yīng)的雙邊不等式組表示；3 完成累次積分的計算。這里，畫好圖形是計算的關(guān)鍵，因為積分變量變化的范圍就是從圖形上看出來的，于是也就順利地寫出了積分限。其中柱坐標系中的定限化為平面直角坐標系的定限，球坐標中定限化為平面極坐標系的定限?？梢哉f，三重積分的計算方法可由二重積分推廣過來，不再累述。我們有

10、一般的，在不同坐標中域的表達式和相應(yīng)的積分表達式引用下表示：坐標系區(qū)域計算公式直角坐標系柱坐標系球坐標系選擇在哪種坐標系下計算三重積分，要以被積函數(shù)和積分域的情況這兩個方面全面考慮，若僅從積分域的角度考慮，三種坐標系下的情況分別為：坐標系積分區(qū)域體積元素變量替換積分表達式直角坐標系長方體、四面體或任意體柱坐標系柱形區(qū)域球坐標系球形區(qū)域三 結(jié)語綜上所述，重積分的計算的方法是有規(guī)律可循的?？傮w上，重積分的主要計算思路是先化重積分為累次積分，難點是積分區(qū)域的分塊、積分上下限的確定、積分次序的互換以及利用變量代換是重積分簡化。參考文獻：1錢吉林等主編.數(shù)學分析解題精粹M，第2版，武漢：崇文書局，200

11、3年8月：P486-P498，P508 2丁家泰.微積分解題方法（續(xù)）M，北京：北京師范大學出版社，1985年12月第一版：P382 3華東師范大學數(shù)學系編.數(shù)學分析M，高等教育出版社，2001年6月第3版 4郝涌、盧士堂主編.考研數(shù)學精解M，華中理工大學出版社，1999年3月第1版HEAVY TOTAL MARK COMPUTING TECHNOLOGYAbstract：This text introduce several serious computing technology of total mark, explain dual calculation of integration

12、from tired times of calculation, variable person who replace method of total mark emphatically, introduced a kind of special dual total mark computing technology at the same time , and popularize the calculation to the triple total mark from the dual total mark computing technology.Keyword: Dual total mark .Triple total mark .The variable replacing. Symmetrical law11