《高中數(shù)學(xué) 第一章 解三角形 階段復(fù)習(xí)課 第1課 解三角形學(xué)案 新人教A版必修5》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第一章 解三角形 階段復(fù)習(xí)課 第1課 解三角形學(xué)案 新人教A版必修5(9頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第一課解三角形核心速填1正弦定理(1)公式表達(dá):2R.(2)公式變形:a2Rsin A,b2Rsin B,c2Rsin C;sin A,sin B,sin C;abcsin Asin Bsin C;2R.2余弦定理(1)公式表達(dá):a2b2c22bccos_A,b2a2c22accos_B,c2a2b22abcos_C.(2)推論:cos A,cos B,cos C.3三角形中常用的面積公式(1)Sah(h表示邊a上的高);(2)Sbcsin Aacsin Babsin C;(3)Sr(abc)(r為三角形的內(nèi)切圓半徑)體系構(gòu)建題型探究利用正、余弦定理解三角形在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分
2、別為a,b,c.已知bc2acos B.(1)證明:A2B;(2)若ABC的面積S,求角A的大小. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):91432090】解(1)證明:由正弦定理得sin Bsin C2sin Acos B,故2sin Acos Bsin Bsin(AB)sin Bsin Acos Bcos Asin B,于是sin Bsin(AB)又A,B(0,),故0AB,所以,B(AB)或BAB,因此A(舍去)或A2B,所以A2B.(2)由S,得absin C,故有sin Bsin Csin 2Bsin Bcos B,因?yàn)閟in B0,所以sin Ccos B,又B,C(0,),所以CB.當(dāng)BC時(shí),A;當(dāng)CB時(shí),
3、A.綜上,A或A.規(guī)律方法解三角形的一般方法:,(1)已知兩角和一邊,如已知A、B和c,由ABC求C,由正弦定理求a、b.(2)已知兩邊和這兩邊的夾角,如已知a、b和C,應(yīng)先用余弦定理求c,再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對的角,然后利用ABC,求另一角.(3)已知兩邊和其中一邊的對角,如已知a、b和A,應(yīng)先用正弦定理求B,由ABC求C,再由正弦定理或余弦定理求c,要注意解可能有多種情況.(4)已知三邊a、b、c,可應(yīng)用余弦定理求A、B、C.跟蹤訓(xùn)練1如圖11,在ABC中,B,AB8,點(diǎn)D在BC邊上,CD2,cosADC.圖11(1)求sinBAD;(2)求BD,AC的長解(1)在ADC中,因?yàn)閏o
4、sADC,所以sinADC.所以sinBADsin(ADCB)sinADC cos BcosADC sin B.(2)在ABD中,由正弦定理,得BD3.在ABC中,由余弦定理,得AC2AB2BC22ABBCcos B825228549.所以AC7.判斷三角形的形狀在ABC中,若B60,2bac,試判斷ABC的形狀思路探究:利用正弦定理將已知條件中邊的關(guān)系,轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系求角或利用余弦定理,由三邊之間的關(guān)系確定三角形的形狀解法一:(正弦定理邊化角)由正弦定理,得2sin Bsin Asin C.B60,AC120.2sin 60sin(120C)sin C.展開整理得sin Ccos C1.si
5、n(C30)1.0C8,應(yīng)舍去,所以x433.9,即這條公路的長約為3.9 km.(2)在ABD中,由正弦定理得,所以sinABDsinCBDsinADB0.8,所以cosCBD0.6.在CBD中,sinDCBsin(CBDBDC)sin(CBD75)0.80.260.60.970.79,由正弦定理得CDsinDBC3.9.故景點(diǎn)C與景點(diǎn)D之間的距離約為3.9 km.規(guī)律方法正弦定理、余弦定理在實(shí)際生活中有著非常廣泛的應(yīng)用.常用的有測量距離問題,測量高度問題,測量角度問題等.解決的基本思路是畫出正確的示意圖,把已知量和未知量標(biāo)在示意圖中(目的是發(fā)現(xiàn)已知量與未知量之間的關(guān)系),最后確定用哪個(gè)定理
6、轉(zhuǎn)化,用哪個(gè)定理求解,并進(jìn)行作答,解題時(shí)還要注意近似計(jì)算的要求.跟蹤訓(xùn)練3如圖13,a是海面上一條南北方向的海防警戒線,在a上點(diǎn)A處有一個(gè)水聲監(jiān)測點(diǎn),另兩個(gè)監(jiān)測點(diǎn)B,C分別在A的正東方20 km和54 km處某時(shí)刻,監(jiān)測點(diǎn)B收到發(fā)自靜止目標(biāo)P的一個(gè)聲波信號(hào),8 s后監(jiān)測點(diǎn)A,20 s后監(jiān)測點(diǎn)C相繼收到這一信號(hào),在當(dāng)時(shí)氣象條件下,聲波在水中的傳播速度是1.5 km/s.圖13(1)設(shè)A到P的距離為x km,用x表示B,C到P的距離,并求x的值;(2)求靜止目標(biāo)P到海防警戒線a的距離(精確到0.01 km). 【導(dǎo)學(xué)號(hào):91432092】解(1)由題意得PAPB1.5812(km),PCPB1.5
7、2030(km)PBx12,PC18x.在PAB中,AB20 km,cosPAB.同理cosPAC.cosPABcosPAC,解得x.(2)作PDa于D,在RtPDA中,PDPAcosAPDPAcosPABx17.71(km)所以靜止目標(biāo)P到海防警戒線a的距離為17.71 km.與三角形有關(guān)的綜合問題探究問題1如圖14所示,向量與的夾角是B嗎?在ABC中,兩向量的數(shù)量積與余弦定理有怎樣的聯(lián)系?圖14提示:向量與的夾角是B的補(bǔ)角,大小為180B,由于|cos Abccos A.所以bccos A(b2c2a2),有時(shí)直接利用此結(jié)論解決與向量數(shù)量積有關(guān)的解三角形問題2在解三角形的過程中,求某一個(gè)角
8、有時(shí)既可以用余弦定理,也可以用正弦定理,兩種方法有什么利弊呢?提示:用余弦定理可以根據(jù)角的余弦值的符號(hào)直接判斷是銳角還是鈍角,但計(jì)算比較復(fù)雜用正弦定理計(jì)算相對比較簡單,但仍要結(jié)合已知條件中邊的大小來確定角的大小,所以一般選擇用正弦定理去計(jì)算比較小的邊所對的角,避免討論在ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且ac,已知2,cos B,b3.求:(1)a和c的值;(2)cos(BC)的值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):91432093】思路探究:(1)由平面向量的數(shù)量積定義及余弦定理,列出關(guān)于a,c的方程組即可求解(2)由(1)結(jié)合正弦定理分別求出B,C的正、余弦值,利用差角余弦公式求解解(1)由2得c
9、acos B2.又cos B,所以ac6.由余弦定理,得a2c2b22accos B.又b3,所以a2c292613.解得或因?yàn)閍c,所以a3,c2.(2)在ABC中,sin B,由正弦定理,得sin Csin B.因?yàn)閍bc,所以C為銳角,因此cos C.于是cos(BC)cos Bcos Csin Bsin C.母題探究:1.(變條件,變結(jié)論)將本例中的條件“ac,2,cos B,b3”變?yōu)椤耙阎猄ABC30且cos A”求的值解在ABC中,cos A,A為銳角且sin A,SABCbcsin Abc30.bc156.|cos Abccos A156144.2(變條件,變結(jié)論)在“母題探究
10、1”中再加上條件“cb1”能否求a的值?解由余弦定理得a2b2c22bccos A(bc)22bc(1cos A)1215625,a5.規(guī)律方法正、余弦定理將三角形中的邊和角關(guān)系進(jìn)行了量化,為我們解三角形或求三角形的面積提供了依據(jù),而三角形中的問題常與向量、函數(shù)、方程及平面幾何相結(jié)合,通??梢岳谜⒂嘞叶ɡ硗瓿勺C明、求值等問題.(1)解三角形與向量的交匯問題,可以結(jié)合向量的平行、垂直、夾角、模等知識(shí)轉(zhuǎn)化求解.(2)解三角形與其他知識(shí)的交匯問題,可以運(yùn)用三角形的基礎(chǔ)知識(shí)、正余弦定理、三角形面積公式與三角恒等變換,通過等價(jià)轉(zhuǎn)化或構(gòu)造方程及函數(shù)求解.6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375