高中數(shù)學(xué) 第一章 解三角形 階段復(fù)習(xí)課 第1課 解三角形學(xué)案 新人教A版必修5

第一課解三角形核心速填1正弦定理(1)公式表達(dá)：2R.(2)公式變形：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；sin A，sin B，sin C；abcsin Asin Bsin C；2R.2余弦定理(1)公式表達(dá)：a2b2c22bccos_A，b2a2c22accos_B，c2a2b22abcos_C.(2)推論：cos A，cos B，cos C.3三角形中常用的面積公式(1)Sah(h表示邊a上的高)；(2)Sbcsin Aacsin Babsin C；(3)Sr(abc)(r為三角形的內(nèi)切圓半徑)體系構(gòu)建題型探究利用正、余弦定理解三角形在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知bc2acos B.(1)證明：A2B；(2)若ABC的面積S，求角A的大小. 【導(dǎo)學(xué)號：91432090】解(1)證明：由正弦定理得sin Bsin C2sin Acos B，故2sin Acos Bsin Bsin(AB)sin Bsin Acos Bcos Asin B，于是sin Bsin(AB)又A，B(0，)，故0<AB<，所以，B(AB)或BAB，因此A(舍去)或A2B，所以A2B.(2)由S，得absin C，故有sin Bsin Csin 2Bsin Bcos B，因?yàn)閟in B0，所以sin Ccos B，又B，C(0，)，所以CB.當(dāng)BC時，A；當(dāng)CB時，A.綜上，A或A.規(guī)律方法解三角形的一般方法：,(1)已知兩角和一邊，如已知A、B和c，由ABC求C，由正弦定理求a、b.(2)已知兩邊和這兩邊的夾角，如已知a、b和C，應(yīng)先用余弦定理求c，再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對的角，然后利用ABC，求另一角.(3)已知兩邊和其中一邊的對角，如已知a、b和A，應(yīng)先用正弦定理求B，由ABC求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多種情況.(4)已知三邊a、b、c，可應(yīng)用余弦定理求A、B、C.跟蹤訓(xùn)練1如圖11，在ABC中，B，AB8，點(diǎn)D在BC邊上，CD2，cosADC.圖11(1)求sinBAD；(2)求BD，AC的長解(1)在ADC中，因?yàn)閏osADC，所以sinADC.所以sinBADsin(ADCB)sinADC cos BcosADC sin B.(2)在ABD中，由正弦定理，得BD3.在ABC中，由余弦定理，得AC2AB2BC22ABBCcos B825228549.所以AC7.判斷三角形的形狀在ABC中，若B60，2bac，試判斷ABC的形狀思路探究：利用正弦定理將已知條件中邊的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系求角或利用余弦定理，由三邊之間的關(guān)系確定三角形的形狀解法一：(正弦定理邊化角)由正弦定理，得2sin Bsin Asin C.B60，AC120.2sin 60sin(120C)sin C.展開整理得sin Ccos C1.sin(C30)1.0<C<120，C3090.C60，則A60.ABC為等邊三角形法二：(余弦定理法)由余弦定理，得b2a2c22accos B.B60，b，2a2c22accos 60，化簡得(ac)20.ac.又B60，abc.ABC為等邊三角形規(guī)律方法根據(jù)已知條件(通常是含有三角形的邊和角的等式或不等式)判斷三角形的形狀時，需要靈活地應(yīng)用正弦定理和余弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系或角的關(guān)系.判斷三角形的形狀是高考中考查能力的常見題型，此類題目要求準(zhǔn)確地把握三角形的分類，三角形按邊的關(guān)系分為等腰三角形和不等邊三角形；三角形按角的關(guān)系分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形.判斷三角形的形狀，一般有以下兩種途徑：將已知條件統(tǒng)一化成邊的關(guān)系，用代數(shù)方法求解；將已知條件統(tǒng)一化成角的關(guān)系，用三角知識求解.跟蹤訓(xùn)練2在ABC中，若，試判斷ABC的形狀. 【導(dǎo)學(xué)號：91432091】解由已知，得.可有以下兩種解法法一：(利用正弦定理，將邊化角)由正弦定理得，即sin Ccos Csin Bcos B，即sin 2Csin 2B.B，C均為ABC的內(nèi)角，2C2B或2C2B180.即BC或BC90.ABC為等腰三角形或直角三角形法二：(利用余弦定理，將角化邊)，由余弦定理得，即(a2b2c2)c2b2(a2c2b2)a2c2c4a2b2b4，即a2b2a2c2c4b40.a2(b2c2)(c2b2)(c2b2)0，即(b2c2)(a2b2c2)0.b2c2或a2b2c20，即bc或a2b2c2.ABC為等腰三角形或直角三角形.正、余弦定理的實(shí)際應(yīng)用如圖12所示，某市郊外景區(qū)內(nèi)有一條筆直的公路a經(jīng)過三個景點(diǎn)A、B、C.景區(qū)管委會開發(fā)了風(fēng)景優(yōu)美的景點(diǎn)D.經(jīng)測量景點(diǎn)D位于景點(diǎn)A的北偏東30方向上8 km處，位于景點(diǎn)B的正北方向，還位于景點(diǎn)C的北偏西75方向上已知AB5 km.圖12(1)景區(qū)管委會準(zhǔn)備由景點(diǎn)D向景點(diǎn)B修建一條筆直的公路，不考慮其他因素，求出這條公路的長；(2)求景點(diǎn)C與景點(diǎn)D之間的距離(結(jié)果精確到0.1 km)(參考數(shù)據(jù)：1.73，sin 750.97，cos 750.26，tan 753.73，sin 530.80，cos 530.60，tan 531.33，sin 380.62，cos 380.79，tan 380.78)思路探究：(1)以BD為邊的三角形為ABD和BCD，在ABD中，一角和另外兩邊易得，所以可在ABD中利用余弦定理求解DB.(2)以CD為邊的兩個三角形中的其他邊不易全部求得，而角的關(guān)系易得，考慮應(yīng)用正弦定理求解解(1)設(shè)BDx km，則在ABD中，由余弦定理得5282x228xcos 30，即x28x390，解得x43.因?yàn)?3>8，應(yīng)舍去，所以x433.9，即這條公路的長約為3.9 km.(2)在ABD中，由正弦定理得，所以sinABDsinCBDsinADB0.8，所以cosCBD0.6.在CBD中，sinDCBsin(CBDBDC)sin(CBD75)0.80.260.60.970.79，由正弦定理得CDsinDBC3.9.故景點(diǎn)C與景點(diǎn)D之間的距離約為3.9 km.規(guī)律方法正弦定理、余弦定理在實(shí)際生活中有著非常廣泛的應(yīng)用.常用的有測量距離問題，測量高度問題，測量角度問題等.解決的基本思路是畫出正確的示意圖，把已知量和未知量標(biāo)在示意圖中(目的是發(fā)現(xiàn)已知量與未知量之間的關(guān)系)，最后確定用哪個定理轉(zhuǎn)化，用哪個定理求解，并進(jìn)行作答，解題時還要注意近似計(jì)算的要求.跟蹤訓(xùn)練3如圖13，a是海面上一條南北方向的海防警戒線，在a上點(diǎn)A處有一個水聲監(jiān)測點(diǎn)，另兩個監(jiān)測點(diǎn)B，C分別在A的正東方20 km和54 km處某時刻，監(jiān)測點(diǎn)B收到發(fā)自靜止目標(biāo)P的一個聲波信號，8 s后監(jiān)測點(diǎn)A,20 s后監(jiān)測點(diǎn)C相繼收到這一信號，在當(dāng)時氣象條件下，聲波在水中的傳播速度是1.5 km/s.圖13(1)設(shè)A到P的距離為x km，用x表示B，C到P的距離，并求x的值；(2)求靜止目標(biāo)P到海防警戒線a的距離(精確到0.01 km). 【導(dǎo)學(xué)號：91432092】解(1)由題意得PAPB1.5812(km)，PCPB1.52030(km)PBx12，PC18x.在PAB中，AB20 km，cosPAB.同理cosPAC.cosPABcosPAC，解得x.(2)作PDa于D，在RtPDA中，PDPAcosAPDPAcosPABx17.71(km)所以靜止目標(biāo)P到海防警戒線a的距離為17.71 km.與三角形有關(guān)的綜合問題探究問題1如圖14所示，向量與的夾角是B嗎？在ABC中，兩向量的數(shù)量積與余弦定理有怎樣的聯(lián)系？圖14提示：向量與的夾角是B的補(bǔ)角，大小為180B，由于|cos Abccos A.所以bccos A(b2c2a2)，有時直接利用此結(jié)論解決與向量數(shù)量積有關(guān)的解三角形問題2在解三角形的過程中，求某一個角有時既可以用余弦定理，也可以用正弦定理，兩種方法有什么利弊呢？提示：用余弦定理可以根據(jù)角的余弦值的符號直接判斷是銳角還是鈍角，但計(jì)算比較復(fù)雜用正弦定理計(jì)算相對比較簡單，但仍要結(jié)合已知條件中邊的大小來確定角的大小，所以一般選擇用正弦定理去計(jì)算比較小的邊所對的角，避免討論在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a>c，已知2，cos B，b3.求：(1)a和c的值；(2)cos(BC)的值. 【導(dǎo)學(xué)號：91432093】思路探究：(1)由平面向量的數(shù)量積定義及余弦定理，列出關(guān)于a，c的方程組即可求解(2)由(1)結(jié)合正弦定理分別求出B，C的正、余弦值，利用差角余弦公式求解解(1)由2得cacos B2.又cos B，所以ac6.由余弦定理，得a2c2b22accos B.又b3，所以a2c292613.解得或因?yàn)閍c，所以a3，c2.(2)在ABC中，sin B，由正弦定理，得sin Csin B.因?yàn)閍bc，所以C為銳角，因此cos C.于是cos(BC)cos Bcos Csin Bsin C.母題探究：1.(變條件，變結(jié)論)將本例中的條件“a>c，2，cos B，b3”變?yōu)椤耙阎猄ABC30且cos A”求的值解在ABC中，cos A，A為銳角且sin A，SABCbcsin Abc30.bc156.|cos Abccos A156144.2(變條件，變結(jié)論)在“母題探究1”中再加上條件“cb1”能否求a的值？解由余弦定理得a2b2c22bccos A(bc)22bc(1cos A)1215625，a5.規(guī)律方法正、余弦定理將三角形中的邊和角關(guān)系進(jìn)行了量化，為我們解三角形或求三角形的面積提供了依據(jù)，而三角形中的問題常與向量、函數(shù)、方程及平面幾何相結(jié)合，通常可以利用正、余弦定理完成證明、求值等問題.(1)解三角形與向量的交匯問題，可以結(jié)合向量的平行、垂直、夾角、模等知識轉(zhuǎn)化求解.(2)解三角形與其他知識的交匯問題，可以運(yùn)用三角形的基礎(chǔ)知識、正余弦定理、三角形面積公式與三角恒等變換，通過等價(jià)轉(zhuǎn)化或構(gòu)造方程及函數(shù)求解.6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375