高中數(shù)學 第二章 平面向量 2.1 向量的線性運算 2.1.4 數(shù)乘向量同步過關(guān)提升特訓 新人教B版必修4

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1、 2.1.4　數(shù)乘向量 課時過關(guān)·能力提升 1.設(shè)a是非零向量,λ是非零實數(shù),下列結(jié)論正確的是 (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.a與-λa的方向相反 B.|-λa|≥|a| C.a與λ2a的方向相同 D.|-λa|=|λ|a 解析:由于λ≠0,所以λ2>0,因此a與λ2a方向相同. 答案:C 2.若AP=13PB,AB=λBP,則實數(shù)λ的值是(　　) A.34 B.-34 C.43 D.-43 解析:如圖所示,由于AP=13PB, 所以AP=14AB, 即AB=4AP=-43BP,即λ=-43. 答案:D 3.已知O是△ABC所

2、在平面內(nèi)一點,D為BC邊的中點,且2OA+OB+OC=0,則(　　) A.AO=OD B.AO=2OD C.AO=3OD D.2AO=OD 解析:由2OA+OB+OC=0,可知O是底邊BC上的中線AD的中點,故AO=OD. 答案:A 4.如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,OA=a,OB=b,OC=c,OD=d,且E,F分別為AB,CD的中點,則(　　) A.EF=12(a+b+c+d) B.EF=12(a-b+c-d) C.EF=12(c+d-a-b) D.EF=12(a+b-c-d) 解析:如圖,連接OF,OE,則EF=OF-OE=12(OC+OD)-12(

3、OA+OB)=12(c+d)-12(a+b).故EF=12(c+d-a-b). 答案:C 5.在四邊形ABCD中,若DC=12AB,且|AD|=|BC|,則這個四邊形是(　　) A.平行四邊形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形 解析:由DC=12AB知DC∥AB,且|DC|=12|AB|,因此四邊形ABCD是梯形.又因為|AD|=|BC|,所以四邊形ABCD是等腰梯形. 答案:C 6.已知四邊形ABCD為菱形,點P在對角線AC上(不包括端點A,C),則AP等于(　　) A.λ(AB+AD),λ∈(0,1) B.λ(AB+BC),λ∈0,22 C.λ(AB-AD),λ∈(0,

4、1) D.λ(AB-BC),λ∈0,22 解析:由已知得AB+AD=AC,而點P在AC上,必有|AP|<|AC|,因此AP=λ(AB+AD),且λ∈(0,1). 答案:A ★7.已知△ABC和點M滿足MA+MB+MC=0.若存在實數(shù)m使得AB+AC=mAM成立,則m等于(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:如圖,在△ABC中,設(shè)D是BC邊的中點,由MA+MB+MC=0,易知M是△ABC的重心, ∴AB+AC=2AD. 又∵AD=32AM, ∴AB+AC=2AD=3AM,∴m=3.故選B. 答案:B 8.已知O為?ABCD的中心,AB=4e1,BC=6e

5、2,則3e2-2e1=　　　　　.  答案:BO或OD(答案不唯一) 9.如圖,已知AP=43AB,若用OA,OB表示OP,則OP=　　　　　.  答案:-13OA+43OB 10.給出下面四個結(jié)論: ①對于實數(shù)p和向量a,b,有p(a-b)=pa-pb; ②對于實數(shù)p,q和向量a,有(p-q)a=pa-qa; ③若pa=pb(p∈R),則a=b; ④若pa=qa(p,q∈R,a≠0),則p=q. 其中正確結(jié)論的序號為　　　　　.  解析:①②正確;③當p=0時不正確;④可化為(p-q)a=0,∵a≠0,∴p-q=0,即p=q,∴④正確.

6、 答案:①②④ 11.如圖,L,M,N是△ABC三邊的中點,O是△ABC所在平面內(nèi)的任意一點,求證:OA+OB+OC=OL+OM+ON. 證明OA+OB+OC=OL+LA+OM+MB+ON+NC =(OL+OM+ON)+(LA+MB+NC) =(OL+OM+ON)+12(CA+AB+BC) =(OL+OM+ON)+0 =OL+OM+ON. 故原式成立. ★12.已知在△ABC中,AB=a,AC=b.對于△ABC所在平面內(nèi)的任意一點O,動點P滿足 OP=OA+λa+λb,λ∈[0,+∞).試問動點P的軌跡是否過某一個定點?并說明理由. 解:是.理由:如圖,以AB,A

7、C為鄰邊作?ABDC,設(shè)對角線AD,BC交于點E,則AE=12AD=12(a+b). 由OP=OA+λa+λb,得 OP-OA=AP=2λ·12(a+b) =2λAE,λ∈[0,+∞). 故AP與AE共線. 由λ∈[0,+∞)可知動點P的軌跡是射線AE, 故動點P的軌跡必過△ABC的重心. 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375