高中數學人教A版必修四 第三章 三角恒等變換 3.1.2(一) 課時作業(yè)含答案

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1、 人教版高中數學必修精品教學資料 3.1.2　兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(一) 課時目標　1.在兩角差的余弦公式的基礎上,會推導兩角和與差的正弦、余弦公式.2.靈活運用兩角和與差的正、余弦公式進行求值、化簡、證明． 1．兩角和與差的余弦公式 C(α－β)：cos(α－β)＝__________________. C(α＋β)：cos(α＋β)＝__________________. 2．兩角和與差的正弦公式 S(α＋β)：sin(α＋β)＝__________________________. S(α－β)：sin(α－β)＝______________

2、______________. 3．兩角互余或互補 (1)若α＋β＝________,其α、β為任意角,我們就稱α、β互余．例如：－α與__________互余,＋α與________互余． (2)若α＋β＝________,其α,β為任意角,我們就稱α、β互補．例如：＋α與______________互補,____________與π－α互補． 一、選擇題 1．計算sin 43cos 13－cos 43sin 13的結果等于(　　) A. B. C. D. 2．sin 245sin 125＋sin 155sin 35的值是(　　

3、) A．－ B．－ C. D. 3．若銳角α、β滿足cos α＝,cos(α＋β)＝,則sin β的值是(　　) A. B. C. D. 4．已知cos αcos β－sin αsin β＝0,那么sin αcos β＋cos αsin β的值為(　　) A．－1 B．0 C．1 D．1 5．若函數f(x)＝(1＋tan x)cos x,0≤x<,則f(x)的最大值為(　　) A．1 B．2 C．1＋ D．2＋

4、6．在三角形ABC中,三內角分別是A、B、C,若sin C＝2cos Asin B,則三角形ABC一定是(　　) A．直角三角形 B．正三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 題　號 1 2 3 4 5 6 答　案 二、填空題 7．化簡sin＋cos的結果是________． 8．函數f(x)＝sin x－cos x的最大值為________． 9．已知sin(α＋β)＝,sin(α－β)＝,則的值是__________． 10．式子的值是________． 三、解答題 11．已知<β<α<,co

5、s(α－β)＝,sin(α＋β)＝－,求sin 2α的值． 12．證明：－2cos(α＋β)＝. 能力提升 13．已知sin α＋cos＝,則sin的值是________． 14．求函數f(x)＝sin x＋cos x＋sin xcos x,x∈R的最值及取到最值時x的值． 1．兩角和差公式可以看成是誘導公式的推廣,誘導公式可以看成兩角和差公式的特例,例如：sin＝sin cos α－cos sin α＝－cos α. 2．使用和差公式時不僅要會正用,還要能夠逆用公式,如化簡

6、sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)時,不要將cos(α＋β)和sin(α＋β)展開,而應采用整體思想,作如下變形：sin βcos(α＋β)－cos βsin(α＋β)＝sin[β－(α＋β)]＝sin(－α)＝－sin α. 3．運用和差公式求值、化簡、證明時要注意,靈活進行三角變換,有效地溝通條件中的角與問題結論中的角之間的聯(lián)系,選用恰當的公式快捷求解． 3．1.2　兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(一) 答案 知識梳理 1．cos αcos β＋sin αsin β　cos αcos β－sin αsin β 2．sin αcos β＋cos

7、αsin β　sin αcos β－cos αsin β 3．(1)　＋α?。痢?2)π　π－α　α＋ 作業(yè)設計 1．A 2．B　[原式＝－sin 65sin 55＋sin 25sin 35 ＝－cos 25cos 35＋sin 25sin 35 ＝－cos(35＋25)＝－cos 60＝－.] 3．C　[∵cos α＝,cos(α＋β)＝, ∴sin α＝,sin(α＋β)＝. ∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝－＝.] 4．D　[cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)＝0. ∴α＋β

8、＝kπ＋,k∈Z, ∴sin αcos β＋cos αsin β＝sin(α＋β)＝1.] 5．B　[f(x)＝(1＋tan x)cos x＝cos x＋sin x＝2(cos x＋sin x)＝2sin(x＋), ∵0≤x<, ∴≤x＋<. ∴f(x)max＝2.] 6．C　[∵sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝2cos Asin B ∴sin Acos B－cos Asin B＝0.即sin(A－B)＝0,∴A＝B.] 7．cos α 解析　原式＝sin cos α＋cos sin α＋cos cos α－sin sin α＝cos

9、 α. 8. 解析　f(x)＝sin x－cos x＝＝＝sin. 9. 解析　 ∴, ∴＝＝. 10. 解析　原式＝ ＝ ＝＝tan 60＝. 11．解　因為<β<α<, 所以0<α－β<, π<α＋β<. 又cos(α－β)＝,sin(α＋β)＝－, 所以sin(α－β)＝＝＝, cos(α＋β)＝－＝－＝－. 所以sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β) ＝＋＝－. 12．證明?。?cos(α＋β) ＝ ＝ ＝ ＝ ＝. 13．－ 解析　sin α＋cos

10、＝sin α＋cos αcos ＋sin αsin ＝sin α＋cos α ＝ ＝ ＝sin＝. ∴sin＝. ∴sin＝－sin＝－. 14．解　設sin x＋cos x＝t, 則t＝sin x＋cos x＝＝sin, ∴t∈[－,], ∴sin xcos x＝＝. ∴f(x)＝sin x＋cos x＋sin xcos x 即g(t)＝t＋＝(t＋1)2－1,t∈[－,]． 當t＝－1,即sin x＋cos x＝－1時,f(x)min＝－1. 此時,由sin＝－, 解得x＝2kπ－π或x＝2kπ－,k∈Z. 當t＝,即sin x＋cos x＝時,f(x)max＝＋. 此時,由sin＝,sin＝1. 解得x＝2kπ＋,k∈Z. 綜上,當x＝2kπ－π或x＝2kπ－,k∈Z時,f(x)取最小值且f(x)min＝－1；當x＝2kπ＋,k∈Z時,f(x)取得最大值,f(x)max＝＋.